拓撲閱讀指南｜從“形狀的直覺”到“結構的智慧”

導語

如果說幾何學關注“形狀中的度量”，那么拓撲學則更加關注“形狀在連續變形下的不變性”。它揭示了世界深層的結構：那些超越距離與角度、卻能決定聯系與整體的規律。

在《拓撲學的思維革命：從空間直覺到系統科學》課程中，我們將以系統科學與數學思想史為線索，探索拓撲如何成為理解復雜系統與現代科學思維的核心語言。為了幫助大家更好地在課前/課后延展思考，課程主講金威老師特別整理了一份分層次的閱讀書單。

趙思怡|作者

金威|審校

科普推薦

《繩圈的數學》——姜伯駒

本書由姜伯駒院士所著，以清晰生動的筆觸介紹拓撲學的核心思想，重點講解拓撲學中與紐結論相關的基本概念，涵蓋瓊斯多項式、懷特公式等及其在 DNA 研究中的應用等。寫法深入淺出而富啟發性，適合中學生及以上讀者閱讀與思考。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3778426/

《拓撲學奇趣》——V. G. Boltyanski? & V. A. Efremovich（裘光明譯）

英文原著《Intuitive Combinatorial Topology》。本書以富有趣味的敘述，將平面與曲面的拓撲問題呈為一系列謎題與故事，既有直觀的幾何想象也有嚴謹的邏輯推演。內容涉及皮亞諾曲線、歐拉公式、四色定理等名題，同倫、同調與莫爾斯理論等核心概念，以及拓撲思想在液晶等物理系統中的應用，并安排了200余道習題。裘光明教授的譯文流暢，保留了原著的數學美感與啟發性，適合希望以輕松方式進入拓撲世界的讀者。

書籍鏈接：https://www.amazon.com/Intuitive-Combinatorial-Topology-Universitext-Boltyanskii-ebook/dp/B000PY3NWI

《Intuitive topology》——V. V. Prasolov

本書從“橡膠”的形變出發介紹了一系列低維拓撲學中的直觀概念：紐結、向量場、紐結不變量、曲面及其分類，章節短小，圖文并茂，而且也配有習題（部分有答案）。遺憾的是似乎沒有中譯版。本書作者Прасолов（Виктор Васильевич），著有多部數學教材和科普作品。此書選入AMS（美國數學會）的“Mathmatical world”科普系列叢書。本叢書中的第二本《Fixed Points》和第六冊《Knots and surfaces》也與拓撲學主題有關。

教材推薦

在教材方面，對讀者的建議水平是：至少大致學過微積分和線性代數。但更重要的是好奇心和“數學上的成熟性”。

《基礎拓撲學講義》——尤承業

本書延續了邏輯較為嚴謹，結構清晰，內容涵蓋點集拓撲與代數拓撲的初步概念，是上世紀中文拓撲教材中的代表之一。尤老師講解清晰、層次分明，幫助讀者在嚴密推理中建立直觀理解。

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與之定位大致類似的國外教材是Munkres的《拓撲學》（點集拓撲內容較為詳盡，代數拓撲講到基本群和Van Kampen定理）

和Armstrong的《基礎拓撲學》（講解較通俗）。

《拓撲學引論》——江澤涵

這本書是中國最早的現代拓撲學教材之一，以精煉的語言和嚴密的邏輯奠定了拓撲學教學的典范。全書結構緊湊、論證嚴謹，體現了江澤涵先生深厚的數學功底與清晰的思想脈絡。雖然行文簡練，卻處處蘊含啟發，適合具備一定基礎、希望打牢理論根基的讀者。

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《拓撲學導論》——鮑里索維奇等

這本蘇聯經典以獨特的數學敘述風格，將拓撲學講得既嚴謹又富有直觀魅力。作者兼顧幾何直覺與代數方法，從數學中的例子出發，配以大量生動插圖，幫助讀者在邏輯與想象之間自由切換。內容涵蓋點集拓撲、連續性以及代數拓撲的核心思想。本書英文版是《introduction to topology》（Yu. Borisovich, N. Bliznyakov, Ya. Izrailevich, T. Fomenko）。

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《現代幾何學》（三卷本）——諾維科夫等

這套三卷本堪稱蘇聯幾何與拓撲傳統的巔峰之作。作者以極高的自由度，從具體的例子出發，逐步引入抽象的幾何、拓撲與代數結構，展現了幾何思想與物理直覺的深度融合。全書內容廣博，涵蓋曲面拓撲、同調與上同調理論、莫爾斯理論、博特（Bott）周期律、示性類等核心主題，既有理論高度和深度，也有與力學、物理相結合的深刻洞見，注重聯系，非常有蘇聯特色。英譯本收入 GTM 叢書，中文譯本則收錄于《俄羅斯數學教材選譯》系列。

作者之一諾維科夫曾獲列寧獎、羅巴切夫斯基獎、羅蒙托索夫獎等，且為菲爾茲獎、沃爾夫獎得主。本書對任何想涉足幾何、拓撲的愛好者和研究者，包括數學家和物理學家，都是必讀的著作。

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《拓撲學導論》——V. A. Vassiliev

本書以莫斯科獨立大學的講義為基礎，系統展現了現代拓撲的理論框架與思想精髓。作者 V. A. Vassiliev 是紐結理論中著名“Vassiliev 不變量”的提出者，同時也是兼具創造力與哲學深度的數學家。全書寫作風格嚴謹、抽象而富啟發性，適合具備扎實數學基礎的讀者閱讀。本書收錄于美國數學會的 Student Mathematical Library 叢書。

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《點集拓撲與代數拓撲引論》——包志強

近年來的國內教材中，包志強老師的《點集拓撲與代數拓撲引論》和101計劃中雷逢春、楊志青、李風玲老師的《基礎拓撲學及應用》也很不錯，前者富含對拓撲學各個概念的動機介紹，而后者的習題選擇（劃分了難度）和最后一章“應用”則更加突出。

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《Topology——An Invitation》——K. Parthasarathy

本書中除介紹拓撲學基本概念外，還引用了不少這些概念的發展史料。

數學史書籍推薦

《數學及其歷史》——John Stillwell

數學家和歷史挖掘者Stillwell教授通過生動的故事講述數學的發展脈絡，從古代幾何到現代拓撲，讀來如同一次思想的遠征。書中拓撲部分尤為精彩，展示了歐拉、黎曼、龐加萊等數學巨匠如何塑造現代數學的面貌。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/36000336/

《代數拓撲和微分拓撲簡史》——干丹巖

本書是相關學科史領域的中文首創。凝練梳理代數拓撲和微分拓撲學發展脈絡，重點呈現思想演化的邏輯。語言平實，便于理解拓撲從幾何到抽象的歷史必然性。

《米爾諾眼中的數學與數學家》——Milnor

菲爾茲、沃爾夫、阿貝爾獎得主米爾諾以簡潔犀利的筆觸，分享他心中的數學美學與思維方式。書中既有數學史，也呈現拓撲大師對創造力、簡潔性與深刻性的獨到理解。

書籍鏈接：http://www.360doc.com/content/23/1028/22/77855143_1101989638.shtml

進階閱讀推薦

如果學員想進一步深入，那么根據不同的領域，值得一讀的書有：

代數拓撲

《同調論》——姜伯駒

凝聚了中國數學家原創思想的代數拓撲著作，姜伯駒院士以獨特且簡潔深邃的方式闡釋同調與代數結構的關系。據多位聽者講述，姜院士開設的同調論課程可能是世界最好的，而這些聽者也已成為了目前世界知名的數學家和學者。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1805814/

《Algebraic Topology》——Allen Hatcher

當代代數拓撲領域最受歡迎的（研究生）教材之一，內容豐富、敘述優雅，插圖清晰，是世界公認的代數拓撲標準教材，也是無數專業學生的必讀著作。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/2332224/

微分拓撲

《從微分觀點看拓撲》——John Milnor

米爾諾以簡潔而深刻的風格，揭示微分拓撲的核心概念：流形、切空間與光滑映射。書薄而精，猶如聆聽大師親授，堪稱以最少篇幅講最深思想的經典之作。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3235763/

《Differential Topology》——Guillemin & Pollack

本書系統而細致地講述微分拓撲的基本理論，邏輯清晰、條理分明，是眾多研究生課程指定教材，也是微分拓撲入門與進階學習的經典之作。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/12447872/

幾何拓撲和低維流形（2-3維）

《An Introduction to Geometric Topology》——Bruno Martelli

近年來Bruno Martelli的《An Introduction to Geometric Topology》是一本優秀的著作，國內的杜曉明老師和合作者不辭辛勞，將其翻譯成了中文，同時在B站上也有相關的講課視頻。而研究4維流形則需要更多的復幾何、微分幾何和分析學知識。

書籍鏈接：https://arxiv.org/abs/1610.02592

紐結論

《Knots and Links》——Rolfsen

Rolfsen于1976年出版的這本書系統構建了紐結與鏈環的數學理論，是紐結論領域的經典基礎著作，至今仍被廣泛引用和學習。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/6088883/

《Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots》——Francis Bonahon

Bonahon的這本書系統介紹了低維幾何與拓撲，從歐氏曲面到雙曲紐結，內容涵蓋紐結論及相關低維拓撲問題。它兼具幾何直覺與數學嚴謹性，是《大學生數學圖書館》第49本，適合希望了解雙曲幾何和低維拓撲領域并發展相關直覺的讀者。

書籍鏈接：https://bookstore.ams.org/stml-49/

微分幾何和纖維叢

《陳省身文集》——陳省身

這部文集收錄了陳省身教授關于微分幾何、纖維叢及相關拓撲問題的論文和科普文章，語言精煉而富有洞見，既展示了大師的數學思想，也提供了拓撲與幾何在物理中直觀應用案例。適合希望從大師視角理解微分幾何與拓撲聯系的讀者。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/6893675/

應用書籍推薦

《Elementary Applied Topology》——Robert Ghrist

在數學之外的應用領域，比較系統的書籍相對較少——作者一般是根據應用場景和具體問題，“挑選”“有用”的理論，并且分散于各個著作和論文。除上文中《基礎拓撲學及應用》外，Ghrist的《Elementary Applied Topology》也匯集了不少應用，講述拓撲在機器人、傳感器網絡、數據分析中的具體應用，因此尤為難得。本書語言現代，例子鮮活。

書籍鏈接：https://www2.math.upenn.edu/~ghrist/notes.html

《Geometry, Topology and Physics, Second Edition》——Nakahara

本書是物理學者的經典參考書籍，系統地講述了拓撲和微分幾何在現代物理中的應用，如規范場論、貝里（Berry）相位及超對稱與弦論。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/1768683/

《Gauge Fields, Knots, and Gravity》——John Baez

本書以清晰的幾何語言，將規范場理論（包括麥克斯韋電磁場）、紐結與引力統一到幾何與拓撲學框架中。既適合數學愛好者，也適合物理研究者，是理解數學與物理交叉領域的經典讀物。

書籍鏈接：https://book.douban.com/subject/3495755/

Thouless（作者在1960年和Kosterlitz合作發現拓撲相變，并因此獲得2016年諾貝爾物理學獎；蘇聯科學家Berezinskii也獨立地發現了這種相變）的《非相對論物理學中的拓撲量子數》、《拓撲與物理》（楊振寧、[英國] 羅杰·彭羅斯等編，常亮、崔星山、于立偉等譯）等，這兩本書更接近于專著和論文集，需要讀者有較好的數學和物理基礎。

書籍鏈接：https://www.dushu.com/book/11421703/

書籍鏈接：https://www.qidian.com/book/1029128553/

從“空間”到“思維”的連續變形

拓撲學不僅是一門數學，更是一種理解世界結構的方式。它教我們超越形狀與尺度，看見隱藏在變化背后的不變，看見系統中各部分之間的連續與整體。無論你是初學者、研究者，還是對復雜系統充滿好奇的思考者，拓撲學都能帶來一種獨特的智性愉悅——那是一種從混沌中辨認秩序、從形式中體悟本質的快感。

希望這份書單能成為你的“思維地圖”，幫助你在歐拉的七橋、龐加萊的洞、陳省身的曲面、姜伯駒的結環之間，看見一個更深的世界：——一個可以被連續變形、卻始終保持聯系的思想宇宙。

“拓撲學，是形狀的哲學；而內蘊形，是思想的幾何。”

拓撲學課程：從空間直覺到系統科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統中會出現周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經網絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數學的抽象分支，更提供了系統的思維方式，讓我們理解連續性、結構不變性乃至復雜系統的整體規律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

集智學園聯合北京大學博士金威老師開設，課程將于11月23日開啟，現在加入可享早鳥價格。

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