運用初等方法研究數論的新理論體系

運用初等方法研究數論的新理論體系

摘要：本文采用基礎的方法，避免復雜的解析技術，對正整數固有的規律進行了系統性研究，進而構建了一套新的數論理論框架。

數論的新理論體系通過構建多個等差數列的組合，形成一個正整數空間。在這個空間內，素數和合數都可以用一個固定的項數N來表示，同時確保這個選定的正整數空間與其他空間相互獨立。由此，可以導出“合數項公式”和相對應的“素數項公式”，進而利用這些公式探究素數與合數在正整數中的固有規律。

借助這一理論體系，我們能夠對諸如a^2+1猜想、孿生素數猜想、哥德巴赫猜想等古典數論難題進行證明。本文的核心基礎理論即是“正整數空間”，也就是（Ltg-空間理論）的概念。

關鍵詞：L-tg空間理論、素數分布規律、素數項公式、哥德巴赫猜想、孿生素數猜想。

說明：“新正整數空間”這一概念容易與數學史上已有的正整數空間概念相混淆，因此我們將其重新命名為“L-tg空間理論”。這一理論體系的本質在于使用等差數列組構建正整數的結構空間。在本文的論述中，正整數空間的概念將統一采用L-tg空間理論中的術語。

目錄：

第一章、數論基礎理論部分

第一節、數論里基本問題的提出

第二節、正整數空間概念的出現和它的意義

第三節、不同類型空間特性

第二章、Ltg-空間理論的應用

第一節、a^2+1猜想證明

第二節、孿生素數猜想證明

第三節、哥德巴赫猜想證明

第一章 數論基礎理論部分

第一節 數論里面基本問題的提出

一、 數論幾個基礎概念

1. 正整數的分類是：

單位：1

素數：2、3、5、7、11、13、17、19、23……

合數：4、6、8、9、10、12、14、15、16……

素數的定義：一個大于1的正整數，如果它僅有的“因子”是1和它自己，這個數就是素數，反之就是合數。

2. 歐幾里得用優美的方式證明了，在正整數里面的素數是無窮多的。

3 . 等差數列的常識

等差數列可以分成三種：

1） 奇數等差數列，比如2N+1=1、3、5、7……

2） 偶數等差數列，比如2N+2=2、4、6、8……

3） 奇偶混合等差數列，比如3N+1=1、4、7、11……

3N+2=2、5、8、13……

二、舊數論理論面臨的問題

1、 關于素數公式的探索

數論和幾何圖形自古以來便是人類文明知識體系的核心組成部分。盡管早在兩千年前，人類對幾何圖形及其計算的理解已經相當成熟，但在正整數領域內，尤其是素數的規律，至今仍未形成一個完善的科學體系，問題的復雜性令人望而卻步。主要障礙在于，盡管人們投入巨大的努力，卻始終未能揭示素數在自然數序列中的分布規律，數學家們孜孜以求的“素數公式”似乎并不存在，例如費馬和梅森公式等嘗試均告失敗。此外，像n^2-n+41和n^2-79n+1601這樣的公式，隨著n的增加，它們產生的結果并非素數，因此不能被視為“通用的素數公式”。

實際上，素數公式的存在并非必然，其不存在本身就是一種客觀規律。我們無需刻意去尋找它。然而，一個普遍的誤解在于，一些人試圖通過“概率離散分布”的方法來探究素數在自然數中的規律，這實際上是一個嚴重的錯誤。素數在自然數中的分布并非無規律可循，也不是隨機的，它們遵循著自己獨特的規律。

2、 關于等差數列表示素數的問題

諸如3N+1、4N+3、5N+2、6N±1、7N+5、8N+5等眾多的等差數列，均能表示素數。自古以來，無論是專業的數學家還是業余的數學愛好者，都對這一問題抱有濃厚的興趣，并進行了無數次的研究。然而，在這些研究中，成果最為顯著的當屬數學家狄利克雷。

如果我們把等差數列寫成kN+A的形式，那么就會有一個級數，N+A，2N+A，3N+A，4N+A，……kN+A……

如果k ｜A 互素，那么這個等差數列kN+A 里面就含有素數。

這是“狄利克雷定理”。

我們深刻體會到了這一理論的局限性及其引發的問題。以3N+1和8N+5等差數列為例，盡管我們可以利用狄利克雷定理來判斷它們是否含有素數，但該定理無法闡釋這些數列之間的內在聯系。實際上，這個問題的重要性遠超證明孿生素數猜想和哥德巴赫猜想，這一點在學術界常常被忽略，人們往往過分強調“哥德巴赫猜想”的重要性。然而，我的“Ltg-空間”理論成功攻克了這一難題，我的發現和理論在深度和廣度上都超越了狄利克雷定理。

以數列5N+2為例，這是一個包含素數的數列，其中可能包含的素數有2、7、12、17等。然而，我們無法確定這個數列中的素數是否無限多，也無法確定它與其他數列之間的關系。例如，數列中的7可以被表示為N+7、2N+5、3N+4等多種數列形式，這導致了混亂，似乎沒有實際價值。只有當我們將5N+2數列置于“多維正整數空間”5N+A中時，它才顯得有意義。

在多維正整數空間5N+A中，可以將五個數列組合成一組，從而代表所有自然數。如下表（圖一）

從表格中我們不用證明就會看到，含素數數列5N+1、5N+2、5N+3、5N+4四個數列中的素數都是有無窮多的。

證明狄利克雷定理的過程是極其復雜的，但借助Ltg-空間理論，我們無需再對狄利克雷定理進行證明。通過查看表格，我們可以發現狄利克雷定理實際上已經成為了“公理”。

第二節、正整數空間概念的出現和它的定義

一、正整數空間概念的出現過程和定義

1、正整數空間出現的過程

眾多科普書籍中都探討了“數論”領域的問題，我在2002年春天被這些問題深深吸引。當時，我思考著無論哥德巴赫猜想、孿生素數對猜想、勒讓德猜想，還是費馬大定理和狄利克雷定理等，數學家們似乎總是在“自然數的范疇內”尋求解答。我開始思索，是否應該從“自然數的范疇外”來審視自然數，探尋它們的規律。如果能夠發現這樣的“規律”，那么這些難題是否就能迎刃而解呢？

關于“自然數外部”與“自然數內部”的概念，可能對一些人來說難以理解，因為這并非一個普遍存在的概念。數學不僅是一種思想，一種思維方式，更是一種“數學思維”的能力，它與個人的思維習慣息息相關。

當我們采用“第三視角”來觀察問題時，我們是在事物的外部審視其全貌。數學亦是如此，數學家們通常在“數學內部”將正整數視為一個整體，并研究其局部問題。而當你站在“正整數的外部”，將正整數視為一個整體來尋找其整體規律時，你就是在正整數的外部進行研究。這正是正整數內部與外部研究的區別所在。

在正整數的領域之外探索其規律，我幾乎陷入了三天的深思熟慮，終于在一個夜晚，凝視著墻上的瓷磚，獲得了靈感。請看圖二。

這個靈感就是：“所有的正整數都可以用1、2、3三個等差數列一組來表示”。

2、正整數空間的定義

為了研究問題的方便，我們不再使用等差數列的教科書的形式，而采用KN+A的形式表示等差數列。其中只要K與N互素，這個等差數列就是“含素數數列”，數列所含的素數都是無窮多的。如果把每一個正整數空間都像圖一那樣做一個表格，狄利克雷定理就失去了意義，在表格上這個現象就成了公理。

正整數空間的定義：

所有正整數1、2、3 ……均可由一組等差數列表示，這些等差數列按序1、2、3 ……構成無限空間。選定特定等差數列空間后，這個空間自然就要與其他空間隔離，此時全部正整數（包括素數及合數）均獲得固定位置，并對應唯一項數N。因此，素數及合數的出現均遵循特定規律而非隨機離散發生。

設Zk為全體正整數空間，則有公式：

Zk=kN+A （公式 1）

其中：k表示維度，k=1,2,3…

N為各正整數對應的項數，N=0,1,2,3…

A為特定空間內等差數列的順序號，A=1,2,3…

用代數式可以這樣表示：

N+1

2N+1,2N+2

3N+1,3N+2,3N+3

4N+1,4N+2,4N+3,4N+4

5N+1，5N+2,5N+3,5N+4,5N+5

許許多多……

kN+1，kN+2，kN+3，kN+4…… kN+k 。

上面的橫向每一組等差數列（空間）都可以代表全部整數，當選定某空間后其它空間里面的等差數列就不會進入到這一個空間里來了，實現了空間隔離。

圖三表示如下，

這個表格中橫向的每一組等差數列都可以代表全部正整數，從1至無窮。當然這些等差數列可以轉換成代數式，就是初等函數的直線方程。

二、正整數空間具有的意義

1、 正整數空間N+1 的意義

1）合數項數列與合數、素數產生的原因

正整數空間N+1，圖四表格如下，

有了“正整數分空間”的定義后，我們完全可以把全部正整數看成是一個空間，此時與以往數學家們研究的不同是這里增加了一個“序號”項數N，這就與過去的研究方法有了天壤之別。數列N+1就代表了全部正整數。并且每一個正整數，包括素數和合數都有一個項數N相對應。

注意在用等差數列研究正整數的規律時，必須首先注明是在哪一個“正整數空間”里研究，只有這樣這些等差數列才具有真實的指向和現實的意義，否則等差數列都是混亂和無效的。

利用項數N我們可以寫出按次序無數多的合數項數列，如下

1k+0

2k+1

3k+2

5k+4

7k+6……

Sk+n……

這些合數項數列公式可以寫成，Sk+n 的形式。

S是一個素數，k是系數,取值范圍0、1、2…… ，n是合數出現的初項位。

我們看3k+2 合數項數列。

當k=0時，合數項數列3k+2=2.注意這個2是項數,代入N+1數列，得3。后面都是以3為周期的合數,6、9、12……

我們是可以把正整數1、2、3……看成是一個等差數列，為何不直接使用“合數數列”而是使用“合數項數列”？

就是增加了一個項數N就與過去的研究方法有了天壤之別，現在我們研究的是“正整數空間”里面的N+A(A=1)空間，這時這個空間與其他空間屏蔽，其他空間里面的等差數列，比如3N+A，4N+A等等不再進入這個空間里來。

同時我們注意關鍵的一點，一旦每一個正整數包括素數都被項數固定后，這個等差數列就可以表示成了“函數形式”。所以說：“Ltg-空間”理論是“等差數列至函數的一座橋梁”。這一點非常重要，這是Ltg-空間理論的重大價值之一。

看這些合數項公式，我們發現所謂的素數和合數是我們人類自己區分的。不論有沒有人類，自然數都是按次序1個1個逐漸增多的（這種增多可以在多維空間里進行），我們這里主要探討的是在一維的數軸空間上的情況，我們人類把那些不含其它因子的數（1除外）稱作“素數”。

通過上面的表格和合數項數列，我們可以看到素數與合數產生的原因。

我們的數字有兩個屬性，一個“數量”，代表了大小和多少。另一個就是標識了“順序”。

0是無，1是有。出現了1就像在數軸上形成了一個“空間”，是在桌面上鋪上了一張無邊的以1為單位，帶格子的宣紙通向無窮的遠方，然后在紙上寫字。

2就是素數，就是第一個字，它有規律滿足公式2K+1而寫下去。而第三格，不滿足公式K+0和2K+1必須就要寫第三個字，也就是素數3……，依次下推至無窮。而這些數量都有一個標識項數N。數2、3、5……素數就是開始寫字的第一筆，而這個第一筆都是出現在沒寫過字的空白里。字可以有連續的規律，而出現字的空白處也有規律，但是這個規律不是連續的，不能用我們常規的函數公式來表示。這就是素數與合數產生的原因，所以數學中沒有直接的素數公式。

這個結論非常重要，宣布了正好整數中不存在一般的“素數公式”。

2）合數項公式與素數項公式

這兩個詞語中都包含了一個“項”字，這一點要注意。

我們可以在數列N+1中建立一個“合數項”公式，就是

Nh=a(b+1)+b （公式2）

這個公式必須配合數列N+1的表格使用，否則是無效的和無意義的。

其中，Nh是合數項，a、b都是項數，取值范圍是0、1、2、3……

a、b使用時要大于等于1。

比如，我們取a=1 b=5 Nh= 11 代入N+1這個合數就是 11+1=12 。

我們取a=3b=4 Nh= 19 N+1=20

我們有一個相對的素數項公式，

Hs=N-Nh （公式3）

這是素數與合數的數量關系式。

P= Hs/ N（公式4）

這是某一區間內，素數密度公式。

如果我們遇到一個很大的數字，如何判定是合數還是素數？

K=(N-b)/b+1 （公式5）

把項數N代入判定式后，方程如果有整數解就是合數，無解就是素數。當然數字很大時人工計算幾乎是不可能的，可以寫程序用計算機進行。

以上就形成了一個“新數論理論體系”，就有了“素數在正整數中分布的規律，也使數論具有了自己的靈魂。

第三節、不同類型空間特性

1、 L(1)空間，公式：Z(1)=N+1

表格見圖四。

它的坐標表示法就是數軸。

它的意義在于是數量和順序的最原始概念，是素數與合數產生的原因，也就是說它就是研究0、1、2、3……的。

這個空間我們叫它：初始空間。

空間代數公式 Z(1)=N+1

合數項公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 。

素數項公式， Ns = N-Nh

合數素數判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必須是整數，所對應的項數N就是一個合數，否則就是一個素數。

2） L(O)空間，即偶數空間，公式 Z(O)=ON+A 。

比如，2N+A(A=1、2)，4N+A( A=1、2、3、4)，6N+A(A=1,2,3…6) 等等，就是那些空間維數k是偶數的空間。

它的表格表示法，

比如 2N+A (A=1,2)空間，如圖五。

還有8N+A、10N+A空間等等無窮多的偶數空間。

在偶數空間里面有兩類等差數列，奇數等差數列和偶數等差數列。

比如，奇數等差數列 4N+3=3、7、13、17…… 是可以表示素數的。

偶數等差數列 4N+2=2、6、10、14……

今后我們不要講“等差數列含有素數”這個說法是錯誤的，應該是可以表示素數。這類空間的坐標表示法很有意義，因為素數可以出現在某些對稱軸上。

用極坐標表示偶數空間很有意義，比如8N+A空間用極坐標表示，素數就會集中在四個坐標軸上。原子物理學和化學研究上就很有價值。

3）素數空間，公式Z(S)=SN+A，

3N+1來表示，3N+1=1、4、7、11…… ，

這些都是素數3形成合數的項數。

這種表示不是很直觀，還容易被誤解。

我們可以用數列3k+3 k=0、1、2、3…… 來表示素數3和由它形成的合數。

3k+3= 3、6、9、12、15……

注意這是一個“奇偶數列”。

N與k的關系是 k=N-（2/3），這點必須注意。

其它素數和素數形成的合數是，

5k+5=5、10、15、20、25……

7k+7=7、14、21、28……

11k+11=11、22、33、44……

可以總結為：Sk+S=S(k+1)

其中，S是正整數中的全部素數，k+1是全部正整數1、2、3、4……

我們給它起個名稱叫：素數合數公式，用 R(s)表示，

即 R(s)=S（k+1） （公式 6）

比如，S=7時，有 R(7)=7(1、2、3、4……)=7、14、21、28……

研究素數合數公式R(s)的性質

用公式R(s)=S（k+1）寫出以下素數的合數數列

R(3)=3(1、2、3、4……)=3、6、9、12……

R(5)=5(1、2、3、4……)=5、10、15、20……

R(7)=7(1、2、3、4……)=7、14、21、28……

R(11)=11(1、2、3、4……)=11、22、33、44……

R(13)=13(1、2、3、4……)=13、26、39、42……

至無窮的素數……

結論：所有由素數合數形成的數列都是奇偶數列。

這列數列對于研究孿生素數猜想很有價值。

4） L(J)空間，即奇數空間

這類空間包含了合數空間，去掉合數空間可以留下全部含素數數列。

比如 9N+A、15N+A、21N+A空間等等。

只有確定了“空間后”數列才能稱為“含素數數列”，否則只能叫作“可以表示素數數列”。確定空間后全部正整數的位置才會被固定下來，等差數列才能轉換成函數的形式。

2、典型空間的簡單介紹

1）正整數空間N+A （A=1）

此空間就是全部正整數。

2）正整數空間2N+A

用“2N+A”空間代表全部正整數。如果沒有這一條，這一組兩個等差數列都是無效的，毫無意義的。

分析這個表格的性質。

1） 用等差數列2n+1和2n+2表示全部正整數。

2） 數列2n+1是奇數列，但是它包含了除2以外正整數里面的全部素數。

3） 數列2n+2是偶數列，它包含了正整數里面的全部偶數。

4） 我們看到任何一個偶數，都是奇數列兩個數的首尾相加。

比如 12=1+11=3+9=5+7 。

網絡上流傳著一種誤解，即所有奇數都可以用代數式2k+1來表示，其中k是正整數。實際上，每個奇數可以由無數個，甚至無限多個等差數列（代數式）來表示，這表明了表示方法的不確定性。只有當我們將奇數限定在Ltg-空間理論中的2N+A（A=1,2）空間內時，奇數才能準確地用2k+1來表示。因此，必須強調“正整數分空間”的概念，并確保這些空間相互獨立。

2、正整數 4N+A 空間

4N+A數列組空間，素數在4N+1、4N+2和4N+3里分布著。這個空間由三個合數項公式組成一組的方程，這里不再講述。

3、正整數6N+A空間

可以變形為（圖六）

這個特定的數列空間具有獨特性質：除了2和3之外，所有正整數中的素數都可表示為6N±1的形式。利用這一數列空間，我們能夠解決數論中一些歷史悠久的問題。例如，孿生素數猜想的證明過程相對簡潔，而勒讓德猜想的證明也得以實現。相比之下，哥德巴赫猜想的證明則更為復雜。

此外，該數列空間的應用范圍相當廣泛，相關研究論文數量已超過萬篇。

5、正整數10N+A空間

看圖七。

這個空間的價值在于，通過這十個數列的組合，可以表示所有的正整數。而這些數列的平方數列則代表了所有正整數的平方。其獨特之處在于，同一數列中的數字尾數相同，這使得表格在解決費馬公式問題時顯得尤為有用。

第二章、Ltg-空間理論的應用

借助Ltg-空間理論選擇不同空間，可解決數論中諸多古老猜想。在此僅選取三個猜想的證明進行展示。鑒于此事關重大，難免遭遇吹毛求疵與別有用心之人，我不得不對各猜想證明的前提條件加以詳述，這可能導致與前文內容有所重復，實屬客觀環境所迫，不得不如此。

第一節、a^2+1猜想證明

用Ltg-空間理論證明這個問題已經是多次了，這個猜想就是：在級數a^2+1中素數是不是有無窮多的？這也是一個古老的著名數論猜想。哈代和李特爾伍德都有過證明，他們還提出了一個猜想，但是卻沒有人能夠證明它。

這也說明我的“Ktg-空間理論”是我首次發現，屬于世界領先水平，否則這些大數學家們就能用這個“由等差數列組構成正整數的結構空間”簡單的證明這個問題了。

使用我的這個理論解決一些數論里面的古老猜想簡單到了令人難以理解的地步，所以必然會引起一些人的嫉妒和恐懼，這也可以理解，因為一些人一生的努力在這個理論的沖擊下將化作烏有。

今天我用Ltg-空間理論中的2N+A(A=1、2)再次證明一遍這個猜想。

使用2N+A表格，表格如下（圖五）：

這個空間由兩個數列奇數數列2N+1和偶數數列2N+2構成，它們可以表示全部正整數。

我們可以把奇數數列2N+1看成是一個封閉的空間，不受其他因素影響，尤其不要受到“解析數論”的影響，我們就使用初等的方法解決這個問題，避免“簡單問題復雜化”。

1、奇數數列包含著除2以外的全部素數，1我們可以認為不是素數。

2、這個空間里面的合數和素數都有自己的固定位置，素數不是隨機出現的。

3、奇數數列有一個確定合適位置的“合數項公式”，

Nh=a（2b+1）+b

其中，a和b都是都是項數，a、b≥1。

注意：合數項Nh是項數，代入 2N+1才是實際的數值。

4、相對而言有一個素數項公式：

Ns=N-Nh

5、這兩個公式覆蓋了全部2N+1上的位置，直到無窮大。

6、合數項公式滿足區間（0，∞）而性質不會改變。

有了上面的條件我們證明級數a^2+1 中還有無窮多的素數就及其簡單了。

證明：

a^2+1 中只有a^2 是偶數時，a^2+1才是奇數數列，所以有，

設a=2k a^2=4k^2 就有，4k^2+1

我們知道2N+1數列中的合數被合數項公式Nh=a（2b+1）+b 全面覆蓋，

只有4k^2+1 與Nh=a（2b+1）+b完全重合它才不會含有素數。

Nh=a（2b+1）+b 的圖像是一組直線族；

4k^2+1的圖形是栓曲線。

這些不需要證明都可以斷定這兩個公式永遠不會重合。

所以級數a^2+1 中含有無窮多的素數。

證畢！

這個方法適用于一系列數論中古老猜想問題的解決。

第二節、孿生素數猜想證明

Ltg-空間理論，即由等差數列組構成正整數的結構空間的理論體系。該理論的核心在于利用等差數列組將正整數劃分為不同的空間。一旦確定了特定的空間，它就會與其他空間隔離開來，此時該空間內的所有正整數，包括素數，都將擁有固定的位置，并對應一個唯一的項數N。因此，這些等差數列公式由于實現了表示的唯一性，便可以轉化為函數形式，進而研究其變化規律。

Ltg-空間理論構成了從等差數列到函數關系的一座橋梁。

現在，我們利用Ltg-空間理論中的N+A(A=1)空間來證明孿生素數猜想。眾所周知，正整數序列1、2、3……實際上可以視作一個空間。

這種方法與傳統數學家研究正整數的方式截然不同。我將其視為一個封閉系統，在這個系統中，每個正整數（包括素數）都對應一個獨特的項數N。系統內的等差數列不會受到外部干擾，每個正整數（包括素數）僅能由一個特定的函數公式表示，即將等差數列轉換為函數表達式。我們將這個系統稱為：初始空間。

一、N+A(A=1)空間具有下下性質：

1、初始空間里的合數項數列

通過項數N，我們可以構建出一個按順序排列的、數量無限的合數項數列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數項數列公式可以寫成，N(S) =Sn+K 的形式。

注意：這個數列得到的都是合數項，代入公式Z(1)=N+1 后才會形成“合數數列”。我們可以把它看成是直線方程。

2、合數項公式， Nh = a(b+1)+b ,

其中 a≥1，b≥1 他們都是項數。

素數項公式， Ns = N-Nh 這個公式表示素數項與合數項的數量關系。

素數的生成公式， S =N+1 且 N ∈ Ns

合數素數判定式， C = ( N-b)/(b+1)

其中，C必須是整數，所對應的項數N就是一個合數，否則就是一個素數。

二、?在N+1空間證明孿生素數對猜想

1、猜想：在正整數Z(N)=N+1中存在無窮多對素數（P,P+2）。

2、素數空穴函數

引入一個新穎的數學概念——“素數空穴函數”，表示為S(k)=2k+2，它揭示了表格中能夠產生新素數的特定位置，即排除了偶數的位置。S(k)=2k+2的項位N=2、4、6……是一個偶數數列，而k的取值范圍是1、2、3……。該函數的周期為偶數2，意味著只有在這些特定的項數上才會出現新的素數。

同樣地，S(k)+2=2k+4可以視為另一個獨立的直線方程。實際上，它與2k+2是相同的方程，只是初始相位有所差異，它們所具有的性質是完全一致的。

我們需要證明在相同的項數N時，2N+2和2N+4都是素數。

注意：這里的素數空穴與其它的“素數空穴”概念不同，這里不是純粹的素數位置，而是新素數必須能出現的位置，這個位置上也有素數產生的合數。

3、素數項數列（函數）

使用“素數項數列”，Sk+n 就是這些數列 3k+2、5k+4 、7k+6 ……，他們都是奇偶混合數列。

比如，3k+2= 5、8、11…… 這些都是項數，而對應的正整數是

6、9、12……都是由素數3產生的合數。

注意，這些數列都是“素數數列”，這些數列的周期都是素數（奇數）的周期，與素數空穴數列的偶數周期不同。因為數列的周期不同，就是孿生素數對產生的原因。

所以不論素數多大，有多少，乃至無窮多無窮大，他們都不能徹底的覆蓋2N+2和2N+4上的位置，這些直線方程上總會有新的素數產生。

4、?證明

在函數S(k)=2k+2上任取一個素數S，這是我們可以做到的。

那么在相同的項數k下，S(k)=2k+4 可能是不是素數？

我們知道數對（2k+2，2k+4）是兩個獨立的函數直線方程，他們之間沒有互相制約的強制關系，當2k+2取定一個素數后，他并不影響直線方程2k+4的性質，這個k的項數上完全可以是一個素數。

證畢！

第三節、哥德巴赫猜想證明

我在多篇文章中提到，每位接受過高等教育的人都應具備一個基本認識：當你踏入某個領域或專業領域時，你必須對該領域的歷史、現狀以及發展前景有所了解。這些領域或專業通常都有一本名為“概論”的基礎書籍，它要求你至少閱讀過。

即便是業余數學愛好者，當你致力于研究素數在自然數中的分布規律，或試圖證明哥德巴赫猜想時，你也應當對數論的全貌有一個基本的了解，不是嗎？遺憾的是，一些“民科”的數論愛好者往往缺乏這樣的水平和能力，這導致他們的思路受限，觀點偏頗。

在近千百年的時間里，數學家們一直試圖發現一個素數公式，但都以失敗告終。梅森數、費馬數等都是數學中的級數，而等差數列是級數的一種特殊類型。因此，自古以來，數學家們對等差數列中包含素數的研究從未停止。

例如，3N+1、4N+3、6N+1、8N+5等這樣的等差數列中包含素數的情況，數學家們已經進行了深入研究。然而，這些方法極為復雜，理解起來非常困難。實際上，我們無需深入理解，重要的是要認識到數學家們在這個領域也付出了不懈的努力，盡管這是一項極具挑戰性的任務。

在數學領域，狄利克雷是成就卓著的數學家，他提出了著名的“狄利克雷定理”。

將等差數列表示為kN+A的形式，便可以構造出一個級數，即N+A，2N+A，3N+A，4N+A，……直至kN+A……

當k與A互質時，這個等差數列kN+A中將包含素數。

狄利克雷定理的證明過程對于非數學專業人士而言確實難以理解，即便是數學領域的專家，若非專注于此研究方向，理解起來也頗具挑戰。然而，值得注意的是，盡管狄利克雷定理在一定程度上解答了問題，它仍存在局限性，深層次的問題并未得到解決。

這些是基本常識，然而一些“民科”卻未能理解，他們看到他人使用等差數列來研究素數分布問題時，便急切地指責：“這是剽竊！”仿佛一旦他們開始用等差數列探索素數問題，其他人就失去了使用等差數列研究素數問題的權利。這不僅引人發笑，也顯得頗為尷尬。難道他們真的打算與古代的外國數學家爭奪使用等差數列研究素數問題的優先權嗎？

探討使用等差數列研究素數問題的難點究竟何在？早在2002年，我便注意到了這一點，同時，其他一些數論問題也存在類似的難題：“數學家們通常只在自然數的范疇內研究自然數的規律”，他們未曾嘗試跳出自然數的界限站在自然數的外面去探索，自然數作為一個整體，又隱藏著怎樣的規律？一旦我們揭示了這一規律，許多數論中的重大問題或許就能迎刃而解。

這種觀點并非人人皆有，目前許多人仍然難以理解。那些跟在我后面抄襲的人同樣無法領會，直到最近兩三年我才將這一理論完整地闡述出來，然而那些抄襲者也緊隨其后，試圖模仿和剽竊。

這便是“由等差數列構成的正整數結構空間，即Ltg-空間”的概念。這一概念與狄利克雷定理相比，具有無可比擬的價值，它遠遠超越了狄利克雷定理。有些人故意混淆這一點，或許他們根本就沒有理解。

借助Ltg-空間理論，利用其特定的空間結構，諸如孿生素數猜想和哥德巴赫猜想的證明過程變得異常簡潔，簡潔到足以讓一些人感到恐懼，他們甚至不愿意正視這一理論。Ltg-空間理論對“解析數論”構成了根本性的顛覆，這使得一些人感到極度不適，甚至有人因此被懷疑有欺詐之嫌。

盡管解析數論的現有理論尚未能解決孿生素數猜想和哥德巴赫猜想的證明問題，但這些猜想的證明過程被一些人夸大為難以企及的高峰。現在，我將向你們展示一個極為簡易的方法來證明哥德巴赫猜想。

最簡單的方法證明哥德巴赫猜想

設定前提條件：

使用2N+A（A=1,2）自然數空間，即用兩個數列2N+1和2N+2表示全部正整數。

這一步至關重要，需要與其他空間進行隔離，確保合數與素數都被固定在特定的位置上，否則利用等差數列表示素數的所有嘗試都將歸于無效。

這個空間具有的一些性質：

1、在數列2N+1中，除了素數2之外，自然數中的所有素數都得以包含，當然，其中也包括由素數組成的合數。

2、素數并非隨機分布，在數列2N+1中占據著特定的位置，并且每個素數都與唯一的項數N一一對應。

3、數列2N+2涵蓋了自然數中所有的偶數。

4、合數項公式， Nh = a(2b+1)+b , 其中 a≥1，b≥1 。

素數項公式，Ns = N -Nh

即項數N減去合數項的項數Nh，結果即為素數項Ns的數量。

而Ns與N的比值，即Ns/N，代表了素數在區間[0, N]內的密度。其中P表示素數的密度，且P大于0。

證明哥德巴赫猜想設定的條件：

自然數1不是素數，偶數我們取O≥6，4=2+2處理。

證明步驟：

1、項數轉換

在偶數數列2N+2上任取一個偶數O，它所對應的項數是k。觀察這個偶數O，我們會發現它是奇數數列2N+1首尾兩數相加的結果。

例如，偶數12是奇數數列上1+11、3+9、5+7的和，即12。

這可以表示為：(2m+1)+(2n+1)=2(m+n)+2=2k+2

因此，m+n=k=N，即(2m+1)+(2n+1)=2N+2。

這就是項數轉換的原理。在表格中，任意項數k都可以覆蓋整個區間[0，N]。

2、兩兩素數相加

我們任意選取一個區間[0, N]，其中區間內素數的數量為x。接下來，我們將數列2N+1中的素數進行兩兩配對相加：

例如，3+3、3+5、3+7、3+11……直至3+S3，其中S3代表素數3及其之后的所有素數；

再如，5+5、5+7、5+11、5+13……直至5+S5，其中S5代表素數5及其之后的所有素數；

還有，7+7、7+11、7+13、7+17……直至7+S7，其中S7代表素數7及其之后的所有素數……

實際上，這相當于在區間[0, N]內的所有素數x中，選取元素2進行組合，包括素數自身相加的情況。

3、素數組合數值

在區間[0,N]內，素數相加的對數為組合C+x，即x!/(2(x-2)!) + x = x(x-1)/2 + x。

素數在區間[0,N]內的濃度可以通過比值Ns/N來衡量，其中P > 0。

因此，x(x-1)/2 + x的值遠大于項數N。也就是說，在區間[0, N]內所有素數的組合，不但可以覆蓋全部偶數2N+2 ，而且還超出了項數N的范圍。

可以將數列2N+1和2N+2視為兩個初等函數，其中項數N作為自變量。

因此，這個公式適用于N趨向于無窮大的情形。

由此可知，q+p=2N+2是成立的。這里，q和p是在數列2N+1中任意選取的兩個素數。

結論

因此，哥德巴赫猜想得到驗證。

結束語

Ltg-空間理論通過引入項數N與空間隔離的概念，實現了對素數研究的結構化和代數化，其重要性堪比高斯在《算術研究》中對模運算的貢獻。該理論已經展現出重塑數論基礎框架的潛力，并且其價值預計將在未來數學的發展中持續顯現。

每個正整數都可以通過無限多個等差數列來表示，這使得它難以與函數概念相結合。然而，借助Ltg-空間理論，正整數空間被等差數列分割成不同的區域，從而在特定空間內，等差數列能夠唯一地代表一類正整數。這一理論轉變使得等差數列具備了函數的特性。因此，Ltg-空間理論成為了連接等差數列與函數概念的橋梁。

昔日，數學家們致力于研究正整數序列1、2、3……，他們發現這是一項極具挑戰性的任務。那么，為何當我研究Z(N)=N+1時，即1、2、3……，問題似乎變得簡單了呢？這引起了不少人的質疑。其實，關鍵在于我們跳出了自然數的范疇，為正整數序列增添了一個新的維度N。正是由于這個N的存在，空間N+1與其他空間得以完全隔離，從而將項數N的定義域限定在了（0，∞）。這使得我們得到了合數項的公式Nh=a(b+1)+b。這表明，合數與素數并非隨機分布，而是遵循著一定的規律，每個素數都對應著一個特定的項數Hs。

這與歷史上數學家們的研究成果形成了鮮明對比，與埃拉托色尼的篩法截然不同，遠遠超越了他所使用的篩法。埃拉托色尼的篩法缺乏數學公式，而我提出了相對素數公式NS = N - Hs，這是一個表達數量關系的方程。盡管使用等方法進行證明相對簡單，但存在多種專業的數學證明方法，我個人認為它們相當復雜。然而，與以往數學家們的證明相比，這些證明已經算是非常簡潔的了。

空間分類的概念不僅在數論領域有所應用，它在其他數學分支，如物理、化學、天文宇宙學、量子力學以及工程技術等領域同樣具有重要的應用價值。特別地，它對哲學、邏輯學等領域也產生了深遠的影響。例如，從“自然數分空間”的概念出發，我們可以推測我們的宇宙是多層次的，存在于多維空間之中。自然數的表達方式也是多元化的，智慧同樣呈現出不同層次。或許在宇宙的某個角落，存在著使用“高維自然數體系”的智慧生命，他們擁有自己獨特的高維數學體系。

Ltg-空間理論與“解析數論”并無交集，請務必不要將兩者混淆。本理論明確拒絕與解析數論建立任何關聯。看一個表格如下，

Ltg-空間理論中的正整數結構空間同樣可以采用“極坐標表示法”，通過這種方式，我們注意到某些空間與原子核的結構存在關聯。這只是探索的起點，我們只是開啟了探索寶庫的大門，而其中無盡的奧秘等待著未來的探索者去揭示和深入挖掘。

由于現實的考量，我已停止向數學期刊投稿。我僅僅是那個推開探索之門的人，鋪設了前進的道路。至于我的貢獻與過失，將由時間、后人以及歷史來評斷。

參考書籍：

《數論中未解決的問題》（第二版）——[加] R.K. 蓋伊 著

作者：李鐵鋼

2025年9月14日星期日

我希望這是網絡留下的歷史的記錄。