近日,國際知名數學家黎景輝教授出版了《Topos 理論》一書,該書是高等教育出版社“現代數學基礎叢書”之一。Topos 理論具有宏大的理論框架,由極具開創性和深刻性的法國數學家 Grothendieck 及其學生 Verdier首創,曾長期僅被少數代數幾何學家和幾何邏輯學家使用,但進入 21 世紀后,其應用范圍迅速擴展,涵蓋信息系統控制、網絡管理、神經網絡、計算復雜性、量子理論與量子計算等領域。本書作為專門研究Topos理論的介紹性材料,可以讓讀者了解理論來源和后續發展的同時,又能快速掌握并應用。本書可供數學及相關專業的師生使用,也可供信息科學、量子計算、神經網絡、現代通信等領域的科研人員參考。
下文為黎景輝教授為本書所寫的序言,標題為編者所加。
撰文 | 黎景輝
在 20 世紀 60 年代,法國數學家對代數學進行了全面而深刻的革新,為其構建了全新的語言、觀點、問題與方法。這種大規模的變革在整個數學史中是極為罕見的,這一工程的主要領導者之一便是偉大的數學家 Alexander Grothendieck (1928—2014)。本書的主題 Topos 理論便是這個時期的產物。簡而言之,Topos 理論 (Topos Theory) 是研究平面上連續函數的線性代數結構的理論。然而,當我們將“平面”替換為帶有 Grothendieck 拓撲的位形時,這一理論便開啟了一個龐大的數學宇宙。正因其宏大的理論框架,Topos 理論恰好適用于處理現代信息世界中的復雜結構。該理論由 Grothendieck 及其學生 Verdier (1935—1989) 首創,最早見于 1963 年他們在巴黎郊外 (Bures-sur-Yvette) 舉辦的討論班。長期以來,Topos 理論僅被少數代數幾何學家和幾何邏輯學家使用,但進入 21 世紀后,其應用范圍迅速擴展,涵蓋信息系統控制、網絡管理、神經網絡、計算復雜性、量子理論與量子計算等領域。特別是近年來,華為巴黎研究中心在 6G 技術與人工智能研究中運用 Topos 理論,以及菲爾茲獎得主 Lafforgue 加入華為后的相關工作,使人們更加認識到這一理論的重要價值。 我們相信,其他電子工業發達的國家也在進行類似研究。然而,目前我國的高校和企業尚未系統講授或應用 Topos 理論,亟需突破這一困境。本書的目的,正是幫助讀者理解并掌握 Topos 理論,推動其在國內的發展與應用。
注:目前國內已有 Topos 理論的相關課程
有人認為無需中文書籍,直接閱讀外文原著即可。我們固然支持有時間和能力的人研讀原始文獻,但對大多數讀者而言,他們更希望獲得一份介紹性材料 —— 既能說明理論來源和后續發展,又能快速掌握并應用。本書正是為此而作。例如,Grothendieck 在 [SGA] 4-1, Exp. II 第 4 頁就定義了層,而我們則用 20 頁篇幅來闡釋這一概念。目前,除了少數從邏輯學角度討論 Topos 的教材外,尚未見專門研究 Topos 理論的中外文著作。就此而言,本書應是該領域的首部著作。
以下介紹本書的內容。試想若將人的骨架抽離,剩下的皮肉臟腑將無法自立。范疇就是 Topos 理論的骨架。為便于更多讀者理解,我們從范疇的基本定義入手,循序漸進地展開論述。在正式構建 Topos 之前,每章均以讀者熟悉的數學結構作為切入點。
第一章以集合拓撲為引,逐步引入范疇的 Grothendieck 拓撲。我們將闡明如何從覆蓋過渡到逗號范疇的子范疇,并將賦予拓撲結構的范疇稱為“位形”。這體現了 Grothendieck 的核心
第二章從預層的性質入手。有了拓撲,我們便可以在第二章闡明什么是層。我們還是從拓撲空間上的實值連續函數開始,得到一般拓撲空間的層的定義。和第一章一樣,第二章分為兩部分:先討論預位形的層,再處理位形的層。
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疇) 時,盡管不清楚這個層范疇里的層是在什么位形和什么拓撲上,但我們仍可運用合適的有關層范疇的一切工具 (如同調代數、同倫代數)來對其進行分析,這也是華為巴黎研究中心用來研究神經網絡的一個重要方法。
在前四章中,我們主要說明概念、定義和從定義中得到的一些基本結果。第五章系統整理本書 (特別是第六章) 所使用的范疇性質,以方便讀者查閱。部分定理的證明詳見第六章。
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第八章以概述 Grothendieck、Verdier 和 Deligne 三代人關于導出函子的構造工作為開篇,并重點介紹了 Deligne 對 Verdier 的補充工作。之后,我們定義 Topos 的模導出函子的構造,并引入處理非交換環張量積的 Berthelot 規則和未發表的 Berthelot 對 Topos 極限的構
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數學是一門內容豐富且不斷創新的學科。若不是電子科技工業對 Topos 理論應用的研究,也許就不會有這本書。是否要掌握 Topos 理論取決于個人興趣和數學基礎,畢竟它并非每個人都必須學習的數學內容。學習 Topos 理論需要投入時間加倍努力,反復思考以求認識和適應這個陌生的領域。讀者最初接觸它時往往難以理解,但習慣后它便會成為有用的工具。和所有學問一樣,未懂之前都覺得困難,明白之后便覺得顯而易見了。
本書比較適合已經學習過大學本科數學分析、一般拓撲學和線性代數的讀者。對于書中的術語,我們提供了對應的英文;偶爾,我們也提供了對應的法文。
由于作者水平有限,書中難免存在錯誤,敬請讀者指正。
黎景輝,2025年4月
參考文獻
[1] [SGA] A. Grothendieck, et. al., Séminaire de Géométric Algébrique, Springer Lect. Notes Math., [SGA 1] 224; [SGA 3] 151, 152, 153; [SGA 4] 269, 270, 305; [SGA 5] 569; [SGA 6] 225; [SGA 7] 288, 340. [SGA 2] Cohomologie locale des Faisceaux Cohérents et Théorèmes de Lefschetz locaux et Globaux, North-Holland, Amsterdam, 1968.
[2] [BeB 22] J-C. Belfiore, D. Bennequin, Topos and stacks of deep neural networks, Huawei Advanced Wireless Technology Lab, Paris, 2022.
[3] [LaiDEA 24] 黎景輝, 微分方程和代數, 北京: 高等教育出版社, 2024.
作者簡介
黎景輝,澳大利亞悉尼大學數學系教授,國際知名的數學家。1974 年在美國耶魯大學獲博士學位,曾在世界上若干重要的研究機構和高等學校任職,主要的研究方向是代數學,在現代數論的主要方向 (模形式與自守表示、算術代數幾何) 上都有很深的造詣。
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《Topos 理論》(高等教育出版社,2025年11月)
本書的目的是幫助讀者了解并掌握 Topos 理論的相關內容,作者從范疇論的基礎開始,逐步引入 Grothendieck 拓撲、預層與層的概念,并最終定義拓撲及其性質。
全書共分為八章,前四章主要介紹基本概念和定義,第五章總結了范疇論的相關性質,第六章提供了部分定理的證明,第七章和第八章則深入探討了 Topos 的同調代數理論,特別是導出函子的構造及其在非交換環和微分方程中的應用,最后的附錄總結了 Topos 理論的歷史背景及其在現代數學和科學研究中的重要性。
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