凝聚態數學——數學語言會迎來大統一嗎？

導語

Peter Scholze 和 Dustin Clausen 擁有雄心勃勃的抱負。他們提出凝聚態集合（verdichtete Menge，英語 condensed set）這一全新框架，試圖以更自然、統一的方式重構包括復分析、數論和泛函分析在內的多個數學分支，其影響深遠，引發學界廣泛關注與期待。

關鍵詞：凝聚態數學、凝聚態集合、數學統一、拓撲空間、Langlands 綱領

Manon Bischoff丨作者

德語原文地址：https://www.spektrum.de/news/verdichtete-mathematik-clausen-und-scholze-revolutionieren-das-fach/2205266 譯文地址：https://www.bilibili.com/opus/898338005375254548?spm_id_from=333.1387.0.0 作者：B站Up 筑橋者Hagi

? ROSS TOMEI / GETTY IMAGES / ISTOCK (局部)

盡管凝聚態集合的概念絕對超出了想象，但它可以用一團塵埃云來說明。

"這不對”，聲音刺破了沉默。光線穿越壯麗的彩色玻璃窗，粉筆灰在其中閃爍。在波恩這間被深色木板圍繞的教室里，大約有十幾名學生抬起頭，盯著屏幕。講師吱吱作響地在黑板上涂鴉著神秘的符號 ? 然后停頓下來。在大約 800 公里外的哥本哈根，他撓了撓頭，手指劃過剛寫下的內容。

"其實我想過這個問題……" 他又停頓了一下。你幾乎可以聽到一根別針掉落的聲音。第一排坐著一個搗亂者，他和演講者長得幾乎一模一樣：30 歲左右，長而黑的頭發，高大而苗條的身材。他們幾乎和在場的學生沒有什么區別。然而，他們是教授 ? 而且并非無名之輩：Dustin Clausen 在哥本哈根大學講課，而 Peter Scholze 則在波恩與其他聽眾一起認真聽講。

“這樣不對”，Scholze 說，然后向后靠了靠。接著他脫口而出，Clausen 的陳述需要哪些限制才能成立。Clausen 點點頭：“我得考慮一會?！?又是短暫的沉默。“好的，我稍后會修復它，” 他總結道，然后繼續講課：定義，定理，證明。

任何期望在這堂數學課中遇到數字的人都會感到失望。90 分鐘內，Clausen 介紹了復分析的基本概念 ? 這是數學本科學位的一個固定部分。然而，學生們看起來并不像剛剛開始他們的學業。相反，他們中的許多人已經在攻讀博士學位或者是博士后。實際上，也有教授在線關注課程。

他們感興趣的原因：這兩位講師，Scholze 和 Clausen，正在顛覆數學的大部分內容。這一系列混合講座由 Scholze 在波恩和 Clausen 在哥本哈根交替進行，其間兩位學者將他們的概念應用到復分析上 ? 并展示了如何用新的基本組件重建熟知的結果。

“跟隨進展令人著迷”，數學家 Peter Woit 在他的博客中寫道。數學界對這兩位科學家將產生什么成果充滿了期待。他們被視為這個抽象學科的希望所在。

兩種截然不同的性格

盡管他們外貌相似，但兩人性格卻大相徑庭。Clausen 看起來很外向且善于開玩笑。在各種會議上，他的幽默風趣的演講總能贏得與會者的喜愛，就像蘇黎世聯邦理工學院的數學家 Mura Yakerson 在她的播客“數學-生活平衡”（Math-Life Balance）中所描述的那樣 [Dustin Clausen 訪談：https://www.bilibili.com/video/BV1Fc41157o4/]。Clausen 的家族中不乏數學天才，他的外祖父 John Tate (1925–2019) 在學術界享有盛譽，曾獲得阿貝爾獎，數學領域的一種諾貝爾獎。

Clausen 在參加波士頓大學的數學夏令營時，第一次意識到他的外祖父不僅僅是“某個”科學家。當 John Tate 去那里看望他的外孫并聽取講座時，一位通常很自信的教授突然明顯緊張起來。

相比之下，看起來比較內向的 Scholze 是少數在業界之外也知名的數學家。在過去的幾年里，由于他的杰出成就，他頻繁地出現在公眾視野中，例如《明鏡周刊》（Der Spiegel）和《圖片報》（Bild） 都對他進行了報道。然而，他并不太喜歡大眾舞臺：盡管有很多邀請，他一直堅決拒絕上電視。

我不知道 Dustin 今天會講什么。 ——Peter Scholze, 數學家

在課堂上，這種羞怯感消失了。Scholze 毫不猶豫地向他的同事提問或指出不一致之處。兩人之間會發展出一場短暫的討論，參與者們靜靜地 ? 幾乎是敬畏地 ? 傾聽。與大多數大學活動的習慣不同的是，這里沒有預先準備的兩位講師可以沿用的腳本。實際上，他們才剛剛把某些概念發展出來就在課上展示?！拔也恢?Dustin 今天會講什么”，Scholze 在講座后說。

這場混合型活動的想法源于他們都想基于他們的新理論介紹復分析。因此，他們決定一起干 ? “最遲自從新冠病毒大流行以來，數字化講座已經不再罕見”，Scholze 說。跟隨兩個不同的人發展他們的想法，對于學生來說絢麗多彩。

徹底推翻

復分析并不是唯一一個成為 Scholze 和 Clausen 新概念受害者的領域。實際上，他們的方法影響了幾何、數論和泛函分析——可能還有更多的領域。最近，一位日本同事告訴 Scholze，他在動力系統領域（這個領域與物理學密切相關，例如描述行星軌道）遇到了與 Clausen 和 Scholze 引入的結構相似的結構。

這兩位學者的工作之所以具有如此廣泛的影響，并且引起專家們的極大好奇，原因是：他們用一個全新的量取代了一個基本的數學對象。

我認為，許多人在工作中感覺到人們需要一些新的東西。 ——Dustin Clausen, 數學家

他們兩人都對這個想法深信不疑，并且毫不掩飾。然而，他們幾乎沒有遇到阻力 ? 相反，大多數同事似乎對這個方法非常感興趣。“我認為，許多人在工作中感覺到人們需要一些新的東西”，Clausen 猜測。此外，Scholze 擁有極好的聲譽。盡管他年紀輕輕，但他已經建立了幾個有用的概念，因此他的同事們對他信任有加。因此，到目前為止，只有少數數學家對新理論表示了擔憂。這些問題主要圍繞著這個方法是否真的適合描述特定的問題。但是，即使是最挑剔的聲音也沒有忘記表達他們對這兩位學者可能取得的成就的著迷。

Clausen 和 Scholze 認為，拓撲空間，數學的基本結構之一，不夠合適以它們為基礎進行數學研究。因此，他們提出了一個 ? 在他們看來 ? 更好的概念，他們希望此基礎上建立抽象學科。為了理解這兩位科學家對拓撲空間的不滿，必須轉向相關的領域，拓撲學。

糕點作為直觀

為了對這個領域進行直觀的解釋，人們通常會引用糕點。所以，對于拓撲學家來說，甜甜圈和貝果是一樣的（都有一個洞），但是與扭結面包（Brezel）（有三個洞）或面包（沒有洞）不同。因為在拓撲學中，人們試圖盡可能粗略地對圖形進行分類。人們識別一個物體的全局屬性，并忽略煩人的細節。面團可以任意揉捏和變形——只要你不撕裂它或把它粘在一起，原始的物體（對于拓撲學家來說）就保持不變。處理幾何的數學家肯定有不同的看法。

這個抽象學科的目標是找到合適的參數來區分不同的圖形。例如，對于二維表面，這可能是孔的數量：所有具有相同孔數量的對象被視為相同。但是，在更多的維度中，這變得更加困難 ? 始于這樣的疑問，高維孔洞形狀幾何。因此，人們尋找與圖形相關的代數量，如數字、矩陣、群或類似的東西，這些在允許的變形下也保持不變（或以特定的方式變換）。

這門學科的基本組件是拓撲空間。在數學中，空間對應于一組點的集合。例如，一個球體包含了所有距離中心一定距離內的點。如果你知道其中的兩個點，你甚至可以確定它們之間的距離。

? ROUZES / GETTY IMAGES / ISTOCK (局部)

甜甜圈和咖啡杯 | 從拓撲學的角度看，甜甜圈和咖啡杯是相同的：它們都有一個洞，因此可以互相變形。

然而，拓撲空間的定義更為一般。人們不必強制給點分配一個精確的距離，而只需要定義哪些點在某種程度上接近。這樣做的好處是，只要不改變它們的基本結構，就可以將之變形：在變換后，接近的點必須仍然位于相同的鄰域中。此外，它還允許為非數字的對象定義像 "接近" 這樣的概念。

數學家們已經使用這樣的結構工作了超過 100 年 ? 現在它們幾乎出現在每個領域中。其中一個例子是分析學，我們在中學討論曲線時已經遇到過。但實際上，這個學科的目標是研究拓撲空間之間的函數。現在，三十多歲的 Scholze 和 Clausen 兩位聲稱，人們應該放棄這個概念，而應該使用其他對象取而代之作為基礎：即他們發展的“凝聚態集合”。

這就像是想要研究一塊蛋糕。 ——Peter Scholze, 數學家

Scholze 坐在波恩大學（Universit?t Bonn）戶外的一個木質長凳上，也用烘焙領域的比喻形象地解釋新的結構。溫暖的春天吸引了許多學生。在精心維護的草坪上，他們三五成群聚集在木質野餐桌旁。由于他年輕的外表和休閑的服裝，這位數學家幾乎沒有引起人們的注意。

“這就像是想要研究一塊蛋糕 ? 這塊蛋糕象征著一個拓撲空間”，他耐心地解釋道?！?一位拓撲學家會選擇一個點，然后切下蛋糕周圍的部分。然后他會試圖分析它。是否能找到巧克力碎片、櫻桃或杏仁？它是用小麥面粉還是斯佩耳特面粉烘焙的，是否含有雞蛋，或是不是純素的？這種方式很難找出這些。"

如果有蛋糕的配方就簡單多了，它會說明人們需要以何種方式添加何種配料。這就是凝聚態數學的方法：不是以拓撲空間本身為基礎，而是將其分解成單個部分，并提供一個說明，得以將它們再組合成一個大的整體。凝聚態集合就是這個配方，據 Scholze 和 Clausen 說，現在應該被作為基本組件來使用。

Peter Scholze 引發高度期待

由于該學科的幾乎所有領域都建立在拓撲空間上，因此這不亞于新建大部分數學。專業社區對 Scholze 報有這般期待。最遲從他 22 歲完成碩士論文，他就被視為數學神童。那時，2010 年，他成功地在只有 34 頁的論文中提供了一個證明，而他的知名同事 Michael Harris 和 Richard Taylor 之前用了一本至少 288 頁的書來完成。這項工作涉及的數論定理屬于所謂的 Langlands 綱領。

僅僅這個領域就讓許多專家敬畏不已。它包含了數學家 Robert Langlands 在他職業生涯早期的 1960 年代末提出的幾個猜想。它們涉及到數論、分析和幾何等領域之間意想不到的聯系。60 多年來，專家們試圖證明這些預測中的橋梁，并將 Langlands 當時猜想的組件組合起來。他們在一部分工作中取得了成功，但是像所有的巨型建筑一樣，每一個解決方案都會產生新的連接點，使得這個領域不斷發展壯大。

專家們離證明 Langlands 的所有假設還有很長的路要走。然而，已經存在一些成功的例子。例如，1995 年，Andrew Wiles 通過在數論和幾何之間建立聯系，最終證明了費馬大定理。

幾年后，這引起了那時 16 歲的 Scholze 的注意。通過參加數學競賽并取得了一些 ? 至少對他來說是意外的 ? 成功，他認識了一些與他有著共同熱情的同齡人。通過這些接觸，他發現了 Fermat 的定理。當著手研究它時，他驚訝地發現它已經被證明了。于是，Scholze 決定理解 Wiles 的工作。他很快就發現，這并不是一項簡單的任務。畢竟，業界花了超過 350 年的時間才找到一個解答。然而，那時還是中學生的他并沒有因此而氣餒，而是堅持不懈。“我真地對它很感興趣”，他解釋說。

? VOLKER LANNERT / 波恩大學（局部）

Peter Scholze｜他在 30 多歲時就已經被認為是一位杰出的數學家 ? 并因此獲得了無數獎項。

這個問題伴隨了他六年，直至他中學生時代結束，以及整個大學階段 ? 他只用了三年就獲得了碩士學位。兩年后，他獲得了博士學位，并立即被任命為教授：當時是全德國最年輕的。他在僅 30 歲時最終獲得了菲爾茲獎，數學領域的最高榮譽之一。

他獲得這個受人尊敬的獎項的原因之一是他在博士論文中發展的所謂的“擬完美空間”（perfektoider Raum，英語 perfectoid space），一個極其抽象的概念。它們允許對復雜的結構進行幾何觀察，例如某些數系。為此，人們必須將它們復制并以某種方式堆疊起來，從而形成一個幾何形狀完全破碎的結構，就像塵埃云一樣。雖然這種方法很復雜，但事實表明，其結果 ? 擬完美空間 ? 通常比原始對象，如數系，更容易研究。

Dustin Clausen 認為，我應該再做一些真正的數學研究。 ——Peter Scholze, 數學家

Scholze 成功地為許多結構構造了這樣的空間。借此他極大地推進了多個領域的研究。當他的工作引起了數學界的關注時，這位年輕的學者注意到了一個 ? 他認為 ? 有趣的細節：將一個擬完美空間轉化為一種塵埃云的想法可以應用到更一般的空間。

Scholze 稱這個過程為投射平展址（pro-étale-Situs，英語 pro-étale site）。在他與密歇根大學的數學家 Bhargav Bhatt 共同發表的結果中，這位年輕的科學家并沒有看到大的收益?！皩懴聛泶_實很有趣，但其實沒什么大不了的?！?Clausen 也奇怪于他同事的研究內容?！八J為，我應該再做一些真正的數學研究”， Scholze 笑著說。

Dustin Clausen 可怕的研究申請

不久之后，兩人開始接觸，因為這位德國研究員也對 Clausen 的一個研究課題感興趣。最后，2018 年 Scholze 在波恩為他提供了一個博士后職位。但由于這是一個臨時工作，Scholze 鼓勵他的學生申請一個更好的職位。為此，Clausen 必須寫一份研究申請。

“閱讀后，Peter 告訴我，申請太糟糕了 ? 他見過的最差的之一”，Clausen 回憶道。他在申請中描述了他過去五年的工作 ? 以及他是如何失敗的。Scholze 建議他改而談論他的成就。Clausen 曾經認為，目前為止他幾乎沒有什么值得一提的東西。但是，當他和他的導師談論他的研究時，他意識到這并不是事實。

然后，驚喜來了。在談話中，Scholze 突然發現了一些非常熟悉的東西：雖然表述不同，但 Clausen 自己使用了他之前嘲笑過的投射平展址的概念。“不，絕對不可能！” 當 Scholze 提醒他時，這位博士后不敢相信。然而，經過一些討論，他最終接受了這個觀點。不知不覺中，他以不同的形式使用了 Scholze 發展的，他認為是無關緊要的想法。

Dustin Clausen 邁出激進一步

然而，Clausen 更為激進。他使用這種方法，在某些情況下替代拓撲空間的概念。這幫助他從研究過程中遇到的一些死胡同中擺脫出來。這些都與拓撲空間的定義有關? 他發現，沒有簡單的方法可以避開它們。所以，他別無選擇，只能替換這些結構。

他在本科論文中就已經遇到了類似的情況。那時，他研究了由特定對稱性產生的群和它們的表示。當他無法繼續時，他懷疑可能需要一種新的語言，以完全不同的方式處理復雜的關系。然后，他發現了 Jacob Lurie 的工作。當時 Lurie 在麻省理工學院，現在在普林斯頓，他發展了這種形式化。因此，Clausen 毫不猶豫地決定在 Lurie 那里完成他的博士論文。

然而，對于拓撲空間，他就沒有那么幸運了。到目前為止，還沒有人解決這些結構造成的障礙。因此，現在輪到他來發明一種更適合的語言了。

事后看來，凝聚態集合從哲學的角度來看也更有意義。 ——Dustin Clausen, 數學家

當他告訴 Scholze 這件事時，Scholze 立刻欣喜若狂。因為對于這位德國學者來說，好的定義起著重要的作用 ? 他強調，它們有時比定理更重要。兩位科學家共同進一步闡述了這個想法，從而發展出了凝聚態數學。

“誠然，一開始我只是使用凝聚態集合來解決一個實際問題”，Clausen 解釋說。“但是，事后看來，凝聚態集合從哲學的角度來看也更有意義?！?因為拓撲空間結合了兩種不同類型的對象：它們由一個點的集合 M 以及 M 的子集構成的另一個集合組成。它們定義了接近這個抽象概念 ? 靠近的點位于相同的子集中。但是，這兩種結構并不真正匹配，因為它們的性質不同。這就像在物理學中將兩個具有不同單位的量合并在一起?！皩嶋H上，它能工作得這么好真是個奇跡”，Clausen 說。然而，凝聚態集合只關注點，而不包括子集，這使得它們更易于把握。

凝聚態機制可以被理解為一種離散化：人們取一個連續的東西，并通過點來近似它 ? 就像一個實際上由原子組成的液體。事實證明，幾乎所有的拓撲空間都可以通過這樣的離散近似來構造。如何將組件重新組合的精確指導包含在凝聚態集合中。

這個想法我們在學校就已經遇到過

即使這種方法一開始看起來很抽象，但是我們中的許多人 ? 至少在潛意識里 ? 在學校就已經遇到過，當時我們被介紹了實數。實數包括數軸上的所有值，從素數到分數，再到像 π 或者 √2 這樣的無理數。

在課堂上，我們通常通過十進制表示法來定義實數，也就是說，作為小數點后面有無窮多位的數字。作為學生，我們通常不會深入思考這些，但實際上，這個定義是有缺陷的。因為它與實數的一個重要特性相矛盾：實數無縫地覆蓋了整個數軸。如果給出兩個實數，無論它們離得多近，總是可以找到另一個實數位于它們之間。例如，通過計算它們的平均值。

然而，如果我們考慮 0.999...，那么就會出現一個問題。在這個值和 1 之間有一個缺口，沒有其他的數可以填充進去。但是別擔心：事實證明，0.999... 就是 1。

然而，如果我們通過十進制表示法來定義實數，我們必須考慮這一點。因此，需要一個額外的規定：所有以無窮多個 9 結尾的數，都被等同于它們的上舍入值。

所以，小數表示法提供了數軸上無窮多個不連續的區間（一種塵埃云）。只有通過識別 0.999... = 1; 0.8999... = 0.9; 0.45999... = 0.46 等等，才能將各個塵埃粒子粘合成一個連續體。實數是一個拓撲空間。十進制表示法對應于這個空間的離散化 ? 而粘合的建造指南就是凝聚態集合。

尤其在數論領域，凝聚態機制工作得很好。這并不奇怪，因為 Scholze 從這個領域推導出了這個新想法。此外，他在波恩大學指導了幾個博士生研究這個主題，從而取得了一些進展。起初，他們只限于一個特定的數系，即所謂的 進數，它們通常比實數更容易研究。

不可能的證明

但為了做分析，Scholze 和 Clausen 必須證明凝聚態形式化也適用于實數和復數（額外包括負值的根）。兩位研究員相信這應該是可能的。

然而，他們第一次試圖證明這一點時失敗了。然后，他們削弱了他們想要證明的命題，并再次嘗試。證明比預期的要困難得多。本來應該建立在復變函數論（Funktionentheorie，英語 complex analysis）的方法上，但當 Scholze 嘗試向該領域的專家解釋他的思考時，他們感到無法應對。

這是我見過的最驚人的數學成就。 ——Dustin Clausen, 數學家

Clausen 和他一步一步地前進，遵循著可能給出證明的自然路徑。然而，不知何故，感覺它正朝著一個完全錯誤的方向發展。“突然之間，一切都只與算術有關，盡管最初的陳述一開始與它沒有太大關系”，Scholze 解釋說。這是一項艱巨的任務，但最終，這位德國數學家成功地完成了它。

“這是我見過的最驚人的數學成就”，Clausen 告訴《自然》（

Nature

“憑良心，我不能基于空中樓閣建立一整套理論”，Scholze 解釋說。他目前與 Clausen 在波恩大學和哥本哈根大學教授的內容也基于這個定理?！拔覀冊谥v座的一開始就把它作為一個黑匣子交給了學生：他們可以使用它，我們會省去通向它的細節。”

計算機檢查證明

因為沒有人能夠檢查他們的工作，但這兩位學者必須確保沒有隱藏的錯誤，所以他們采取了一種不尋常的方法。在 2020 年 12 月的一篇博客文章中，Scholze 挑戰計算機科學家使用算法證明助手來檢查他的證明是否正確。

這樣的軟件并不新鮮。幾十年來，樣的計算機程序一直存在，它們可以根據邏輯原理驗證數學論證。為此計算機需要大量數據：它們需要一個證明所基于的形式基礎。然后，必須將論證轉化為計算機可以理解的形式。所有這些都需要大量的工作。根據邏輯規則，算法可以逐步檢查證明的所有內容，并檢查最后的結論是否正確。

等待半年后 Scholze 的請求就有了答復，這讓整個業界感到驚訝。結果證明，證明是正確的。所以，現在沒有理由再懷疑結果了。然而，Scholze 并不喜歡這個結果。“也許將來會有幾位同事一起努力，找到一個更漂亮的方式來展示它?！钡约簩簳r停在這里。

同時，凝聚態數學已經被證明在各種情況下都有用，盡管它還處于起步階段。Fargues-Fontaine 曲線，這是 Langlands 綱領在過去幾十年中的最大進步之一，是由 Scholze 和他的來自索邦大學的法國同事 Laurent Fargues 用凝聚態集合推導出來的。此外，Clausen 和他還有許多其他的想法，關于這種新的形式化能如何帶來優勢。然而，正如兩位數學家所強調的，他們并不擅長寫東西。

但這正是至關重要的：一方面，通過清晰的表述，人們有時才能意識到一些以前沒有考慮過的困難，另一方面，通過這種方式，人們可以與業界分享他們的知識。否則，幾乎不可能讓更多的同事參與到他們的研究中來。其他人的專業知識不足，是他們在過去不得不求助于計算機的最終原因。

“我們想要分享我們的發現，這也是我們正在做的事情“，Scholze 強調。比如通過入門性講座，像在 2022 年夏季學期在波恩大學和哥本哈根大學進行的那樣。這兩位學者希望這樣不僅能夠接觸到有經驗的同事，而且還能接觸到年輕的學生?！皩ξ襾碚f，最大的目標是，凝聚態數學在某一天被如此接受，以至于人們會認為它幾乎是平凡的”，Clausen 說，“在這種情況下，人們甚至不會再提到它是問題解決的一部分，即使它在所有地方都被隱匿地使用。”

拓撲學課程：從空間直覺到系統科學

你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統中會出現周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經網絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

拓撲學不僅是數學的抽象分支，更提供了系統的思維方式，讓我們理解連續性、結構不變性乃至復雜系統的整體規律。從歐拉七橋問題到DNA的纏結，從量子場論到思維科學與腦科學，拓撲學思想正在各學科中普遍而深刻地重塑著我們的認知方式。

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