“開胃菜”數學專欄第11期：幾類經典的特殊積分結果及其在積分計算中的應用

本期話題：在微積分中，求積分與求導數有很大不同，我們知道，任何初等函數的導數仍為初等函數，按求導規則總能解決問題，而許多初等函數的不定積分，例如：

等， 雖然它們的被積函數的表達式都并不復雜，但在初等函數的范圍內都積不出來，這倒不是因為積分方法不夠，而是由于被積函數的原函數不是初等函數（可以用劉維爾定理證明)，所以無法寫出表達式，我們稱這種積分是“積不出來”的積分（或稱非初等積分)，但這些積分在概率論、數論、光學、傅里葉分析等領域起著重要作用。 歷史上，以“數學英雄”歐拉為代表的一大批數學家，如高斯、狄利克雷、拉普拉斯、伯努利、傅里葉等，他們嘔心瀝血，刻苦鉆研，經年累月，創造出一個個經典積分杰作，為推動分析數學和物理學的發展作出了不可磨滅的杰出貢獻。 本期內容給大家擇要介紹一些比較著名的積分公式，可以幫助我們打開思路，積累素材，提高積分水平。

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典型題

｜詳細分析

自主練習

｜專題訓練

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【注1】“開胃菜” 數學專欄是咱號為助力學友們攻克大學數學學習難關，特別聯合在大學數學教學領域擁有深厚積淀與豐富經驗的金義明老師共同打造的優質學習專欄。專欄以 “夯實數學基礎、拓展解題思路、提升問題解決能力” 為核心宗旨，聚焦學生在大學數學公共基礎課學習中的核心需求。無論是在課堂學習后，希望進一步鞏固相關課程的核心知識點，解決知識掌握不牢固的問題；還是在解題過程中，面臨思路狹窄、方法單一的困境，渴望拓寬解題視角；亦或是希望系統積累各類實用解題技巧，提升解題效率與準確性，專欄都將提供針對性的內容支持。

在推文內容定位上，專欄主要面向三類核心人群：針對考研備考學子，圍繞考研數學大綱，梳理高頻考點、解析經典真題，助力學子夯實考研數學基礎，突破備考難點；面向競賽備賽的數學學習愛好者，將分享競賽常用解題思路、技巧與典型例題，幫助同學提升競賽解題能力，從容應對賽事挑戰；同時，對于希望在大學數學相關課程學習中實現進一步提升與鞏固的學友，專欄也通過知識點深化講解、易錯點分析等內容，助力其穩步提升數學素養與學習成績。

【注2】對于練習，一定不要做完、核對完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個知識點的應用、或某個題型的求解思路與方法，不僅對于解題思路要理解、掌握，同時對于涉及的知識點、解題思想與方法要總結，對于其中的一些結論、結果最好能夠記住。同時，對于給出的參考解答過程，要仔細推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時查漏補缺，保證在再出現類似問題時，能夠重現求解思路與過程，從而保證訓練的有效性！對于如何練習，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習題主要源于歷屆考研題、競賽題與經典教材與參考書，相關題目可能略有改動！建議（一定）自己在草稿紙上動手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細參考解答（多解）參看高數、數分綜合提高練習冊，點擊推文鏈接：了解詳情！

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