小樂(lè)數(shù)學(xué)科普：泰迪熊-羊?qū)殞毝ɡ怼P(guān)于半代數(shù)集和納什映射——譯自AMS美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)專(zhuān)欄

我們已經(jīng)看到，半代數(shù)泰迪熊和半代數(shù)羊?qū)殞毝际且粋€(gè)四維球的像。它們會(huì)是彼此的像嗎？

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作者：Ursula Whitcher（AMS數(shù)學(xué)評(píng)論）2025-4-1

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-4-1

我的名字Ursula的意思是“小熊”，與大熊星座（Ursa Major）同根同源，因此從小我就收藏了大量泰迪熊。在本月的特色專(zhuān)欄中，我想告訴大家一個(gè)定理，它利用泰迪熊為一個(gè)基本問(wèn)題提供了一個(gè)新的視角：多項(xiàng)式能有多奇怪？

典型的預(yù)科微積分課程將直線(xiàn)視為最簡(jiǎn)單的函數(shù)，緊接著是二次或更高次的多項(xiàng)式。基于這種早期教育，我們大多數(shù)人認(rèn)為多項(xiàng)式并不復(fù)雜。但我們最了解的多項(xiàng)式次數(shù)很低，并且只依賴(lài)于1個(gè)變量（未知數(shù)）。

次數(shù)較高的多變量多項(xiàng)式可能會(huì)表現(xiàn)出令人吃驚且違反直覺(jué)的行為。現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一些最著名的未解問(wèn)題，包括計(jì)算機(jī)科學(xué)中的P vs NP 問(wèn)題https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/ 和霍奇猜想https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/ ，都要求對(duì)多項(xiàng)式及其解的怪異程度進(jìn)行具體度量。

我們今天的主題是實(shí)代數(shù)幾何。換句話(huà)說(shuō)，我們感興趣的是研究系數(shù)為實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式及其在??中的解。這些是你在第一堂代數(shù)和微積分預(yù)備課程中遇到的多項(xiàng)式類(lèi)型。

但即使是最簡(jiǎn)單的實(shí)多項(xiàng)式也迫使我們處理復(fù)數(shù)中不會(huì)出現(xiàn)的替代場(chǎng)景和特殊情況。例如，我們總是可以使用二次公式來(lái)找到 x2+bx+c=0 的兩個(gè)（可能相同）復(fù)數(shù)解。但如果我們想要實(shí)數(shù)解，也許是不可能的！

考慮由多項(xiàng)式切出的區(qū)域意味著什么？一種選擇是只考慮多項(xiàng)式方程的解。例如，單位圓由平面中 x2+y2-1=0 的解給出。對(duì)于許多問(wèn)題，單位圓盤(pán)的性質(zhì)（包括圓的內(nèi)部）同樣重要。

為了處理這些情況，真正的代數(shù)幾何學(xué)家經(jīng)常研究半代數(shù)集（semialgebraic set）。半代數(shù)集是區(qū)域之間的有限次數(shù)的并集和交集，這些區(qū)域由形式為 P(x?, ..., x_n)=0 或 P(x?, ..., x_n)>0 的有限多個(gè)方程組定義，其中 P 是多項(xiàng)式。

換句話(huà)說(shuō)，我們同時(shí)允許多項(xiàng)式方程和多項(xiàng)式不等式。在這個(gè)框架中，單位圓盤(pán)由 x2+y2-1=0 和 -x2-y2+1>0 的解的并集給出。

圓環(huán)（annulus，兩個(gè)圓之間的區(qū)域）是半代數(shù)集的另一個(gè)簡(jiǎn)單示例。我們可以使用它的邊對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性方程來(lái)切出凸多邊形，或使用構(gòu)成其面的平面來(lái)切出多面體。如果我們有藝術(shù)感，我們也可以制作更復(fù)雜的形狀。

平面上的一些半代數(shù)形狀

填充形狀包括環(huán)形、五邊形和多角星

半代數(shù)集相對(duì)于實(shí)多項(xiàng)式方程解的一個(gè)優(yōu)勢(shì)是，半代數(shù)集可以很好地與我們熟悉的函數(shù)配合使用。例如，考慮?2中由 xy-1=0 描述的雙曲線(xiàn)。如果我們?cè)谟?π(x,y)=x 給出的投影映射 π: ?2 → ? 下取雙曲線(xiàn)的圖像，我們會(huì)得到除 0 之外的所有實(shí)線(xiàn)。

我們不能將此集合寫(xiě)成實(shí)多項(xiàng)式方程解的有限并集，因?yàn)槊總€(gè)單變量實(shí)多項(xiàng)式都有有限個(gè)解，而我們的集合有無(wú)限個(gè)點(diǎn)。但是，因?yàn)槲覀兛梢詫⑵鋵?xiě)成 x>0 和 -x>0 解的并集，所以雙曲線(xiàn)的投影是半代數(shù)集。

雙曲線(xiàn) y=1/x

雙曲線(xiàn) xy-1=0

圖片使用Desmos制作 https://www.desmos.com

去掉原點(diǎn)的實(shí)數(shù)軸

雙曲線(xiàn)在x軸投影下的圖像。

塔斯基-賽登伯格（Tarski-Seidenberg）定理以二十世紀(jì)數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski，1901 - 1983）和亞伯拉罕·賽登伯格（Abraham Seidenberg，1916 - 1988）的名字命名，該定理指出，相同的模式在任何維度上都成立：半代數(shù)集的投影π: ???1 → ?? 始終是半代數(shù)集。

與許多數(shù)學(xué)家一樣，塔斯基是一名移民：他在1939年德國(guó)和蘇聯(lián)入侵前夕離開(kāi)了祖國(guó)波蘭，定居在美國(guó)，直到第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后才再次見(jiàn)到妻子和孩子。

一群西班牙數(shù)學(xué)家，包括José F. Fernando、José Manuel Gamboa和Carlos Ueno，一直在深入研究半代數(shù)集的圖像。他們的工作提供了一些策略，可以將我們最初提出的關(guān)于奇怪多項(xiàng)式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)陳述。

2023年，F(xiàn)ernando和Ueno使用包括球體和半球體、橢圓體、圓柱體和四面體在內(nèi)的“磚塊”在?3中構(gòu)造半代數(shù)集 https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short ，這些半代數(shù)集可以實(shí)數(shù)化為 ?? 中單位球的多項(xiàng)式圖像。

其中一個(gè)是半代數(shù)泰迪熊，另一個(gè)是半代數(shù)羊?qū)殞殹Ｒ晕易约河镁酆衔镎惩林谱鞯哪Ｐ蛠?lái)說(shuō)明。

半代數(shù)熊和綿羊的粘土模型

這是玩具熊的照片，以及用聚合物粘土制成的粗糙球形和橢圓形的形狀。

Fernando和Ueno用德語(yǔ)昵稱(chēng)“B?rchen”和“Sch?fchen”來(lái)指代熊和羊（例如，在一位德國(guó)教師的視頻 https://www.youtube.com/channel/UCb-bsbeEwNusbKbT0Sg_1Ww 中就曾紀(jì)念過(guò)這兩個(gè)詞）。而我喜歡用英語(yǔ)的“Teddy”（泰迪）和“Lambkin”（羊?qū)殞殻?/p>

從數(shù)學(xué)上講，這些形狀具有一些特殊性質(zhì)。它們是?3的緊子集（compact subset）。換句話(huà)說(shuō)，它們是封閉的（它們包含所有邊界點(diǎn)）和有界的（它們處于有限半徑的球體內(nèi)）。Fernando和Ueno還施加了技術(shù)條件，即他們的磚塊必須沿解析路徑連接。

我們已經(jīng)看到，半代數(shù)泰迪熊和半代數(shù)羊?qū)殞毝际撬木S球的像。它們會(huì)是彼此的像嗎？

安東尼奧·卡博內(nèi)（Antonio Carbone）在特倫托大學(xué)的博士項(xiàng)目中研究了這個(gè)問(wèn)題，該項(xiàng)目由費(fèi)爾南多（Fernando）指導(dǎo)。2024年，卡博內(nèi)和費(fèi)爾南多發(fā)表了 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310 ，證明答案是肯定的——如果我們?cè)敢馐褂谜_的函數(shù)類(lèi)型。

我們討論的函數(shù)是納什映射（Nash maps），以多才多藝的數(shù)學(xué)家、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者約翰·福布斯·納什（John Forbes Nash Jr.，1928 - 2015）的名字命名。讓我們分兩個(gè)階段來(lái)定義它們。

設(shè) f: ?? → ?? 是一個(gè)函數(shù)。如果f的圖像 {(x,y)∈???? ∣ y=f(x)} 是一個(gè)半代數(shù)集，我們就稱(chēng)f為半代數(shù)映射（semialgebraic map）。我們可以使用塔斯基-賽登伯格定理得出以下結(jié)論：半代數(shù)映射的圖像通過(guò)投影到最后n個(gè)坐標(biāo)上，就是半代數(shù)集。

如果半代數(shù)映射也是光滑映射，則稱(chēng)為納什映射。我們?cè)谶@里使用“光滑”一詞，其含義與多變量微積分相同，其中我們要求每個(gè)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣具有滿(mǎn)秩。

特別是，當(dāng)源維度和目標(biāo)維度相同時(shí)，每一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣都是方陣，我們只需要它是可逆的。直觀(guān)地說(shuō)，光滑映射不會(huì)引入尖銳的折痕或過(guò)于尖銳的部分。

我們現(xiàn)在準(zhǔn)備陳述Carbone和Fernando的B?rchen-Sch?fchen定理，或者，我喜歡稱(chēng)之為T(mén)eddy-Lambkin（泰迪熊-羊?qū)殞殻┒ɡ怼?/p>

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