聊聊幾何中檔題的“偽證”

聊聊幾何中檔題的“偽證”

在每次網上閱卷的過程中，最不喜歡面對的是幾何中檔題，幾乎每個學生都能動筆，并且證明方法也多，閱卷壓力非常大，尤其是一些似是而非的證明書寫，極易混淆視覺，通常我們稱之為“偽證”。

“偽證”的特點，是看上去像是正常證明過程，例如全等三角形的判定，三個條件都寫好了，也符合書寫規范，然而細看之下，至少一個條件未經證明或書寫錯誤，甚至三個條件全部是湊數，這種形式主義有害無益，若是閱卷老師稍不留神，就容易變成漏網之魚，增添了這些學生的僥幸心理，讓“偽證”市場又多了一個成功學案例。

案例一

如圖，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于點D，過點D作DC∥AB交BF于點C，求證：四邊形ABCD是菱形.

先說正經思路：先證平行四邊形，再證菱形。

按這個思路進行，則第一步很容易在題目中找到條件，即AE∥BF，DC∥AB，然后就可以進行下一步，證明其有一組鄰邊相等，由BD是角平分線，得到∠ABD=∠CBD，再由平行線間的一對內錯角，∠CBD=∠ADB，完成等量轉換，得到∠ABD=∠ADB，從而利用等角對等邊，得到AB=AD，即完成了整個證明思路。

然而在閱卷過程中，我們卻發現不少學生在使用全等三角形……

學生解一：證明△ABD≌△CDB，請注意這個對應關系，這還是正確的，然后得到AB=CD，AD=CB，繼續利用角平分線和平行線，證明了AB=AD，然后得到了AB=AD=CD=CB，這并無問題，利用四條邊相等的四邊形是菱形；

學生解二：證明△ABD≌△CDB，然后得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

學生解三：證明△ABD≌△CBD，請注意對應關系，理由是兩對內錯角相等，再加公共邊，然后就得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

學生解四：連接AC，證明兩對全等，同樣也得到AB=AD=CD=CB，所以得到菱形……

學生解五：由任意三個條件判斷全等……

閱卷反思

證明一個四邊形是菱形，可以走的路有很多，我們在特殊平行四邊形章節復習時，會有這樣一個思維導圖：

看上去錯綜復雜，實質上，只有最左邊紅色思維線是最基礎的，其余的思路都是基于它，這也是為什么兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，我們稱之為定義，它們就是概念，其余的判定定理身份不同，是在概念基礎上推導出來的較為快捷的證明方法。

在平時練習的過程中，無論師生，都會犯這樣一種錯誤，認為新方法一定比舊方法省事、高效，至于定義，那是最原始的，最不好用。這種認知嚴重與新課標下的改革理念違背，初中數學，最重要的恰恰是最原始的概念，那些花團錦簇的判定定理、解題方法、模型套路，都生長在這個基礎之上，哪怕是學霸思維，也是先用概念去理解題目條件，再去選擇合適的解題方法，只不過這個思維過程快如閃電，外表看上去一眼就找到了答案。于是就有學生羨慕，然后模仿，但如果不得精髓，就是東施效顰，把一些僥幸得分的套路當作法寶，自封學霸。

在這個案例中，我們發現相當多的學生選擇證明四條邊相等的四邊形是菱形，這個思路本沒有錯，但和正經思路相比，書寫起來也便宜不了多少，甚至還不如它。在證明全等三角形的過程中，暴露的更多是形式主義，課堂上看到老師和同學們寫的格式，以為那就是方法，然后題目也沒細看，或者沒看明白，隨意湊三個條件寫上去，就得到了全等。

案例二

四邊形ABCD內接于圓O，AB=AD，AC是圓O的直徑，過點A作MN∥BD

(1)如圖1，求證：MN是圓O的切線；

(2)如圖2，當AB=2√3，∠BAD=60°時，連接DO并延長，分別交AM，AB于點E，F，交圓O于點G，求圖中陰影部分的面積.

我們分步驟來看

第一小問，正經思路是證明AC⊥MN，由于AC是直徑，得到∠ABC=∠ADC=90°，再結合題目給的AB=AD，利用HL證明全等，于是BC=DC，從而得到AC是BD的垂直平分線，再MN∥BD，得到AC⊥MN；

多數學生采用的就是這種思路，因此得分率也較高，然而總會有幾個另類。

學生解一：將AC，BD交點標為E點，由AB=AD，AE=AE，用HL證明△ABE≌△ADE，至于它們為什么是直角三角形，沒證明，看上去像就是了；

學生解二：證明△ABC≌△ADC，這步沒問題，再證明△ABE≌△ADE，然后得到∠BAE=∠DAE，在等腰△ABD中用三線合一證明AC⊥BD，再證明AC⊥MN，這一路走得甚為坎坷，但也總算成功抵達；

學生解三：由AB=AD，AC是直徑，直接就得到了AC⊥BD，并且還很貼心地標注垂徑定理……

閱卷反思

雖然學生在證明切線的時候，都想到了利用切線的判定定理，經過直徑的外端，且垂直于直徑的直線是圓的切線，但在證明垂直結論的時候花樣百出，題目條件給出AB=AD，本身就是為了引導學生利用三線合一，但是必須證明它是角平分線、中線、高三者之一，說明學生在理解三線合一定理的時候，停留在了字面意思，忘記了定理背后的邏輯。

第二小問，正經思路很多，題目給出∠BAD=60°之后，首先得到等邊△ABD，這是后面解法的基礎，然后設法將陰影部分的面積表示成三角形面積減掉扇形面積即可。

在證明過程中，有一個關鍵結論，DF⊥AB，在閱卷過程中，多種方法都涉及到這個結論，用于構造含30°角的直角三角形，并利用其三邊關系求邊長，包括半徑OA和線段AE，于是在如何得到DF⊥AB上，學生們“精彩紛呈”。

學生解一：由等邊△ABD是圓內接三角形，直接得到點O是中心，即三心合一，但這并不是教材中的定理，只是我們在學習探索圓內接正多邊形時的一個結論，所以使用這種未被納入的定理，邏輯上跳躍性太大；

學生解二：由等邊△ABD中，AC⊥BD，利用三線合一得到AC是BD垂直平分線，于是直接得到DF⊥AB……

學生解三：由等邊三角形ABD，連接OB，由AD=BD，OA=OB得到DO是AB垂直平分線，這是比較聰明的思路，沒問題；

學生解四：求出△ADE面積，然后減掉“扇形ADG”的面積，這顯然是圖形認知錯誤；

學生解五：由等邊△ABD，直徑DG，直接得到DG⊥AB……

學生解六：先證明等腰△ADE，再證明AE三線合一，殊不知，在證明等腰△ADE的過程中，求陰影部分面積的條件基本已具備，這屬于多此一舉了。

閱卷反思

在幾何中檔題里出現特殊圖形，例如等邊三角形，特殊直角三角形等，學生極容易用直觀代替證明，用曾經解過的習題結論當作推導依據，若在平時，可能老師批改時會有所忽略，但這就留下了隱患，這在選擇填空題，并不會有多大困擾，但這是需要書寫規范過程的時候，所以邏輯上就出現了混亂。

若要糾正學生的這種答卷失誤，需要在幾何教學過程中嚴格要求，我們在七年級初次接觸幾何證明的時候，需要詳細注明每一步的理由，這個習慣要養好，不要怕麻煩，當初偷的懶，現在都要還。

即使在更高年級學習幾何證明，不再要求書寫每一步的理由，也要設法創造場景讓學生口述理由或思路，養成每步推理必有理的習慣。