2023-2024學年度武漢市東湖高新區九年級數學第23題

2023-2024學年度武漢市東湖高新區九年級數學第23題

以傳統手拉手模型開局，旋轉變換中構造全等三角形，再通過面積轉換求最值，是解決本題最通常的思路，這類幾何綜合題對學生識圖要求較高，通過觀察并發現圖形間的關聯，并構建相應的解題模型，是高效解題的關鍵因素。

與2024年湖北省統一中考模擬演練的第23題相比，本題第2問也是證明中點，并且證明方法類似，這兩道題有很強的關聯，尤其是尋求解題思路的過程。

題目

【問題背景】如圖1，已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，求證：BD=CE；

【嘗試應用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°在AC上截取AF=AB，連接BF，D為BC上一點，將線段BD繞點B逆時針旋轉60°，得到線段BE，連接AE并延長交線段BF于點M，且BM=CF，求證：點D為線段BC的中點；

【拓展應用】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，點D為邊AC上的一點，當AD>AB時，連接BD，將線段BD繞點B逆時針旋轉60°，得到線段BE，連接AE，DE，若AD=4，請直接寫出△ABE面積的最大值為______________.

解析：

01

(1)經典手拉手模型，證明△ABD≌△ACE即可，規范解答如下：

∵等邊△ABC和等邊△ADE

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC

∴∠BAD=∠CAE

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE

02

(2)利用第1問的方法，可以證明△ABE≌△FBD，得到∠AEB=∠FDB，請注意這個條件用于后面判斷三點共線；

我們將線段BM也繞點B逆時針旋轉60°，得到線段BN，并連接DN，如下圖：

用同樣的方法，可以證明△BEM≌△BDN，得到BM=BN，∠BEM=∠BDN，由于∠AEB+∠BEM=180°，所以∠FDB+∠BDN=180°，即F、D、N三點共線；

因為∠FBC+∠DBN=60°，同時利用△BFC的外角∠AFB=60°，得到∠FBC+∠C=60°，所以得到∠DBN=∠C，結合對頂角∠BDN=∠CDF，BM=CF，得到BN=CF，所以△BDN≌△CDF，最后得到BD=CD，即點D為線段BC的中點；

03

(3)△ABE面積如何變化，在當前位置并不好觀察，所以我們利用旋轉將其轉換到另一處容易觀察的位置，在前面兩個小題中，用同樣的旋轉變換，將△ABE繞點B逆時針旋轉60°，如下圖：

我們首先可以得到一對全等三角形，△ABE≌△FBD，現在觀察△FBD，它的底邊可看作DF，作高BH，不妨設DF=x，則AF=4-x，由于△ABF是等邊三角形，所以BF=4-x，在△ABF中，BH⊥AF，由三線合一判斷∠FBH=30°，得到特殊直角三角形，Rt△FBH中，FH=2-x/2，于是BH=2√3-√3x/2，我們可得到△FBD的面積，推導如下：

所以△ABE面積最大值為√3.

解題反思

對于熟悉手拉手模型的學生來講，本題中的各種全等三角形很容易構建，并且題目也給出了明顯的提示，旋轉60°，那么以哪個點為旋轉中心，沿什么方向旋轉，需要進行選擇，當然一般情況下是為了將條件“集中”到一處，以構建特殊圖形，方便求解。

與全省統一中考模擬演練的第23題相比，本題難度有提升，第2問就是演練的最后一問，即使難度降低，也有不少學生想不到如何證明中點，可見平時教學中對于此類方法領悟不夠。

湖北省基礎教育首推武漢市，特別是初中數學教學，省內老大哥地位不可動搖，僅僅從幾何綜合題來看，用于區分中等生再合適不過，對于學霸來講，此題難不倒，但多數中等生，腦子里沒有模型，只有套路，那是萬萬解不出本題的，而要完成從中等生到學霸的轉變，思路解題得失是唯一捷徑，盲目加大解題數量并不可取。