非線性動力系統的可視化分析：混沌、分形、自相似性和預測的局限性

導語

一個簡單的方程，能夠容納宇宙的復雜嗎？那些需要超級計算機日夜運算的解析解，會不會在更高的維度里不過是某種一目了然的幾何圖形？當我們追蹤非線性動力系統在時間中的演化軌跡，看到的是混沌、分岔和永不重復。但如果轉換視角呢？當我們從時間序列走向相圖，從一維數據步入二維狀態空間，原本不可捉摸的混沌竟顯露出優雅的幾何結構——那些看似隨機的波動，在相圖中劃出拋物線的弧度；而吸引子則在蛛網圖中呈現分形的圖案。更令人驚奇的是，同樣的數據，混沌系統呈現規則的拋物線結構，而純隨機過程只剩下雜亂無章的噪聲——可視化瞬間揭示了確定性與隨機性的本質差別。

本文以Logistic映射為例，借助時間序列圖、相圖、分岔圖和蛛網圖等可視化工具，帶您領略非線性動力系統從混沌到秩序、從不可預測到清晰可辨的奇妙轉變。

關鍵詞：非線性動力學，吸引子，混沌，分形，自相似，相圖，蛛網圖

陶如意丨作者

周莉丨審校

論文題目：Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction 論文地址：https://www.mdpi.com/2079-8954/4/4/37

在當代科學研究中，非線性動力系統無處不在，卻又因復雜的行為模式難以解析。從滴水的水龍頭到城市的發展變遷，從心率的波動到經濟市場的起伏，這些看似毫無關聯的現象，背后都隱藏著非線性動力系統的規律。混沌理論作為非線性動力系統研究的核心分支，打破了 “簡單系統必可預測” 的固有認知。然而，由于非線性方程組解析求解的巨大難度，長期以來，科學界在該領域的研究進展緩慢。本文以logistic映射為核心模型，借助可視化方法，為跨學科研究者打開了理解非線性動力系統的大門，同時推出開源 Python 工具包 Pynamical，為相關研究提供了實用工具。本文的主要貢獻體現在三個方面：

第一，梳理并向跨學科的系統研究學者傳播用于非線性動力系統行為定性分析的先進可視化技術；

第二，借助可視化介紹非線性動力學、混沌、分形、自相似性及預測局限性的基礎理論；

第三，推出開源 Python包Pynamical，簡化非線性動力系統的可視化與探索。

以Logistic為例——非線性動力系統的基本概念

logistic是一個常見的 S 型邏輯函數，用于描述種群增長過程：種群先緩慢增長，隨后快速增長，最終因達到環境承載能力而趨于穩定 。邏輯映射采用差分方程，研究離散的時間步長。其公式為：

xt+1 = rxt(1-xt)

其中x表示某一時間t的種群數量，r表示種群數量生長率。因此，任意時刻的種群數量是增長率參數和前一時間步種群數量的函數。若生長率過低，種群將逐漸滅絕；生長率較高時，種群可能趨于一個穩定值，或在一系列種群繁榮與衰退的狀態間波動。

邏輯映射是一個簡單的一維離散方程，但卻表現出了典型的復雜性為。種群數量的演化會隨著生長率的不同而發生變化。圖1是由 Pynamical 生成的時間序列圖，橫軸表示時間（世代），縱軸表示系統狀態（種群數量），展示了種群數量隨著生長率的變化而展現出的不同行為：例如，代表生長率r=0.5的紫色曲線迅速降至 0，表明種群滅絕；代表生長率r=2的青色曲線穩定在 0.5 的種群數量水平。生長率r=3和r=3.5的情況更為有趣：r=3的綠色曲線似乎緩慢趨近于一個穩定值，而r=3.5的黃色曲線則在四個不同值之間反復波動。

圖1. logistic隱射時間序列圖，不同的7個參數條件下的20次迭代。

這可以引出吸引子的概念。吸引子是系統隨時間推移最終趨于的某個值或一組值。當r=0.5時，系統存在一個固定點吸引子（種群數量為 0），如紫色曲線所示。也就是說，隨著模型迭代，種群數量會逐漸趨向于 0 這一穩定平衡狀態 —— logistic方程將固定點吸引子的值映射到其自身。當r=3.5時，系統在四個值之間波動，如黃色曲線所示，這種振蕩的吸引子被稱為極限環。

然而，當參數r超過 3.57 時，混沌現象開始出現，具體表現為種群數量無限振蕩，既不重復先前的行為，也不趨于穩定狀態。這種奇怪的狀態被稱為奇異吸引子（strange attractor），系統會圍繞奇異吸引子無限振蕩。奇異吸引子不會產生重復值，且其結構具有分形特征 —— 無論放大多少倍，在任何尺度下都能觀察到相同的模式——這一點我們將在下一部分再詳細展開。

分岔圖：分形與奇異吸引子

分岔圖是一個展示混沌現象更好的方式，分岔圖能將系統的吸引子可視化為參數的函數。圖2就展示了logistic映射吸引子如何隨著生長率r變化。從圖 2 中可以觀察到：當生長率小于 1 時，系統最終總會趨于 0（種群滅絕）；當生長率在 1 到 3 之間時，系統總會趨于一個精確的穩定種群值。例如，在生長率r=2.5對應的垂直切片上，僅呈現一個種群值（0.6），這與圖 1 中r=2.5對應的曲線最終穩定的數值完全一致 —— 在該參數值下，系統的吸引子是population= 0.6處的固定點。然而，對于某些生長率（如 r=3.9），圖 2 中的切片呈現出 100 個不同的值，即每個迭代的種群值都不同，此時系統既不趨于固定點，也不趨于極限環。

圖2. 100次迭代的Logistic映射的分岔圖。圖中展示了參數值在0到4之間的1000個不同的參數值。每個生長率對應的縱坐標描述了該生長率下系統的吸引子

這之所以被稱為分岔圖，是因為這在生長率變化的過程中，吸引子數量增多，且是連續地發生變化，就表現為一個吸引子“分岔”成了兩個。其實，這對應著動力系統系統的相變——從一種行為（如固定點吸引子）轉變為性質完全不同的另一種行為（如周期 2 的極限環吸引子），當生長率超過 3.57 時，分岔頻率不斷加快，最終系統能夠遍歷所有可能的種群值，這一過程被稱為 “周期倍分岔通向混沌”。隨著增長率參數的增大，Logistic映射會依次在 2 個、4 個、8 個、16 個、32 個……（直至無限多個）種群值之間波動。當生長率達到 3.99 時，分岔次數已多到系統會在所有種群值之間隨機跳躍 —— 這里的 “隨機” 只是表面現象，實際上該模型遵循嚴格的確定性規則，只是由于吸引子的周期無限長，才表現出隨機性。這就是混沌：具有確定性，且無周期性。

混沌和分形之間存在深刻的聯系。奇異吸引子就具有分形結構。分形是具有自相似性的圖形 —— 在任何尺度下觀察，都能發現與整體相似的局部結構。放大分形圖像，會看到更小的 “復制品”，其結構與宏觀整體一致。如果我們將圖2放大，會發現放大后的圖像和放大前的結構驚人地一致。事實上，無論將該可視化結果放大多少倍，在越來越精細的尺度上，我們始終能看到相同的結構和模式，如圖3所示。所以，Logistic映射的分岔圖（及其吸引子）具有分形特征。實際上，這一結論可以推廣至所有的混沌系統。混沌系統的奇異吸引子往往都具有分形特征。

圖3. 對圖2不同程度的放大

相圖：狀態空間

另一種可視化非線性時間序列的方法是相圖。簡單來說，相圖以t時刻的系統值為橫軸，以t+1時刻的系統值為縱軸，為我們觀察系統的定性行為提供了直觀視角。相圖的巧妙之處在于，它能將Logistic映射的一維時間序列數據嵌入到二維狀態空間中 —— 狀態空間是一個"假想"的空間，以系統變量為維度。狀態空間中的每個點代表系統的一個狀態（即一組變量值）。傳統的系統分析往往側重于如圖 1 所示的時間序列可視化，而非線性動力學則更關注狀態空間的可視化。盡管現實世界中的系統很少能被完全觀測，但通過恰當重構的狀態空間，仍能呈現系統完整的真實動力學行為。

logistic映射穩定運行后的相圖如4所示，橫坐標是t時刻的種群數量，縱坐標是t+1時刻的種群數量。圖4從A到D分別展示了固定吸引子（狀態空間僅一個點）、四周期極限環（狀態空間四個點）、8個周期極限環（狀態空間8個點），以及隨著生長率提高，吸引子迅速增多的現象。

圖4. Logistic200次迭代的相圖，四個子圖代表不同的生長率

隨著生長率的進一步增大，我們可以逐漸清晰地到混沌系統的結構特征。表現出混沌行為的生長率對應的曲線呈拋物線狀，但曲線中存在一些間隙 —— 這些間隙對應系統偶爾回歸周期行為的情況。從相圖中我們也可以看到奇異吸引子的存在：系統雖受到某種奇特的約束，但不再趨于固定點或極限環，而是在不同種群值（即拋物線上的點）之間無限波動，且從不重復任何一個值。無法預測任意兩個連續觀測值在拋物線上是靠近還是遠離。此外，由于分形幾何特征和Logistic映射的確定性，圖 5B 中的拋物線永不重疊。

圖5. 圖A展示了生長率r=3.9時系統的吸引子；圖B則可視化了 3.6 到 4 之間（混沌區域）的 50 個增長率參數值，每個值對應一條彩色曲線。

相比于狀態演化圖，使用相圖可以非常清晰地看出混沌系統的結構。以圖6左圖中的兩條時間序列為例：兩條曲線看似都在隨機波動，但紅色曲線代表隨機數據，藍色曲線則來自生長率r=3.99時的Logistic模型 —— 這是確定性混沌，但從時間序列軌跡中很難與隨機性區分。而在圖6的右圖中，我們用相圖而非時間序列圖來可視化這兩組數據，就能清晰觀察到系統的定性行為：混沌系統受奇異吸引子約束，呈現出規則結構；而隨機數據則僅表現為雜亂的 “噪聲”，無任何規律可言。

圖6. 混沌動力學和隨機動力學的區別

1蛛網圖：吸引域、李雅普諾夫指數與初值敏感

蛛網圖是一種特別適合揭示一維映射定性行為的可視化技術，可用于分析這類系統在遞歸迭代下的長期演化。

圖 7 中由 Pynamical 生成的蛛網圖包含三條線：灰色的對角線（代表y=x）、紅色的曲線（代表特定參數值下的Logistic映射y=f(x)）和藍色的蛛網軌跡線。蛛網圖的繪制步驟如下：

1. 在橫軸上找到初始種群值對應的點(x,0)（本文中初始值均為 0.5），從該點垂直向上連接到紅色的映射曲線，得到新點(x, f(x))；

2. 從該新點水平連接到灰色的對角線，得到點(f(x), f(x))；

3. 從該點垂直連接到紅色的映射曲線，得到點(f(x), f(f(x)))；

4. 重復步驟 2 和步驟 3，進行遞歸迭代。圖 7 中的蛛網圖均迭代了 100 次。

圖 7A 和圖 7B 中的蛛網圖顯示，系統分別趨于 0 和 0.65 處的固定點吸引子；圖 8C（生長率r=3.5）中，系統在極限環吸引子的四個點之間波動，蛛網圖呈現出矩形閉合回路，回路與紅色曲線的交點，與圖 4B 中吸引子的點完全一致（這兩個圖的參數r都是3.5）；最后，圖 7D 可視化了增長率r=3.9（混沌區域）時系統的行為 —— 混沌軌道在圖中布滿矩形，形成無限多條不重復的軌跡，構成整個圖中的分形蛛網結構。

圖7. logistic映射的蛛網圖。四個子圖對應著四個不同的生長率。

蛛網圖可以直接用來觀察吸引域——即系統動力學行為會將該區域內的所有點逐漸拉向吸引子。圖 8 顯示，當生長率r=2.7時，Logistc映射的吸引域將三個不同的初始種群值（0.1、0.5、0.9）都拉向同一個固定點吸引子。由于吸引域內存在多個可能的初始點，系統的初始狀態最終會變得無法追溯 —— 我們無法確定系統最初是從吸引域內的哪個點開始演化的。

圖8. 相同的生長率，不同的初始值。在參數r=2.7的條件下收斂于固定值。

與之相反，混沌系統的特征是對初始條件的敏感依賴性。其奇異吸引子具有全局穩定性和局部不穩定性：雖然存在吸引域，但在奇異吸引子內部，初始時無限接近的點會隨時間推移逐漸發散，且始終不會脫離吸引子的范圍。這種發散程度可通過李雅普諾夫指數來衡量，其計算方法由沃爾夫等人提出：若李雅普諾夫指數為正值，兩點會隨時間呈指數級遠離；若為負值，兩點會呈指數級趨近（如趨于固定點或極限環）；當系統發生分岔時，李雅普諾夫指數為 0。正的李雅普諾夫指數是混沌系統的典型特征，表明系統對初始條件具有高度敏感依賴性。

這種相似值的非線性發散特性，使得現實世界中的建模和預測變得困難 —— 要準確預測，必須以無限高的精度測量參數和系統狀態；否則，測量或舍入過程中產生的微小誤差會隨時間不斷累積，最終導致系統行為與預測結果大幅偏離。而在現實世界中，無限精度的測量是不可能實現的。洛倫茲正是因為一次舍入誤差，偶然發現了混沌現象。這種現象就是著名的 “蝴蝶效應”：一只蝴蝶在中國扇動翅膀，可能會在德克薩斯州引發龍卷風。微小事件會通過累積效應，不可逆轉地改變宇宙的未來。

小結

對于有學術背景的跨學科學者而言，這篇文章不僅提供了理解非線性動力系統的理論框架和方法工具，還為各學科領域的研究開辟了新的思路。無論是生態學家研究種群動態，經濟學家分析市場波動，還是城市規劃者預測城市發展，都可以借鑒文中的可視化方法和模型思想，探索本領域的非線性規律。

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