小樂數學科普：湍急河流與狂暴急流中難以捉摸的數學原理——《量子雜志》每周數學隨筆

★加星zzllrr小樂公眾號數學科普不迷路！

《量子雜志》每周都會闡釋推動現代研究發展的重要理念之一。本周，數學專欄作家約瑟夫·豪利特（Joseph Howlett）將深入探討流體動力學的深邃奧秘。

圖源：量子雜志Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志數學專欄作家）2025-6-16

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-6-18

如今的科學家和工程師們已經非常擅長預測颶風的軌跡，或者計算水龍頭里會有多少水。但流體運動的方程仍然讓數學家們困惑不已。

大約200年前，看似簡單的納維-斯托克斯方程刻畫了流體運動所有難以想象的復雜性。對于流體的任何初始狀態，這些方程都能預測其未來變化，至少在理論上如此。1960年代，氣象學家嘗試用這些方程預測天氣時發現，即使是初始狀態哪怕是最微小的不確定性，也會迅速膨脹，最終導致預測失效。這種混沌的行為，現在被稱為“蝴蝶效應”，這正是一周以上的天氣預報如此不可靠的原因。

對于數學家來說，情況更糟。他們甚至不知道納維-斯托克斯方程是否總有解。它們能有效地描述任何流體的流動嗎？或者是否存在一組特定的初始條件，使方程“爆破”（blow up）——也就是說，爆炸到無窮大？如果發生這種情況——用數學家們的話來說，如果方程“變成奇異的”——他們將不再能夠模擬當前流體的行為。這意味著數學家們在他們的流體流動理論中缺失了一些東西。

克萊數學研究所懸賞100萬美元，獎勵第一個證明納維-斯托克斯方程是否存在奇異解的人。（我曾在本通訊的早期版本中總結過七個“千禧年大獎難題”https://www.linkedin.com/pulse/who-wants-math-millionaire-quanta-magazine-iwief/ 。）其中很大一部分難題在于湍流（turbulence） https://www.quantamagazine.org/the-trouble-with-turbulence-20190128/ ，其中大大小小的渦旋不可避免地交織在一起，相互作用，產生難以預測但威力強大的行為。

數學家們找到了創造性的方法來應對流體力學核心的數學難題。盡管他們距離完全理解流體還很遙遠（如果這真的有可能實現的話），但他們在朝著這個遙遠的目標前進的過程中，不斷取得令人矚目且重要的進展。

最新動態和值得關注的內容

20世紀初，流體的復雜性令數學家們束手無策。于是，他們決定拋開流體本身，轉而思考物體落入湍急的流體中會發生什么：比如，將氣象氣球放入颶風中，將橡皮鴨扔進湍急的河流中，將黑色油漆灑進翻騰的白色海洋中。他們驚訝地發現，湍流的許多難題都迎刃而解，這使得他們能夠對流體將如何影響這些物體的運動軌跡做出具體的、可重復的預測。

其中一個預測被稱為巴徹勒定律（Batchelor’s law，以澳大利亞數學家George Batchelor命名，人名batchelor請勿與另一個相近單詞bachelor單身漢、學士混淆，zzllrr小樂譯注），它與顏料混合示例中出現的漩渦的大小有關。它預測了小尺度特征的數量與大尺度特征的數量之比——當你進一步向外放大并考慮越來越大的漩渦時，這個比例仍然成立。正如凱文·哈特內特（Kevin Hartnett）在《量子雜志》Quanta Magazine上報道的那樣，數學家們在2019年證明了這一定律，適用于大量湍流系統 。https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-universal-law-of-turbulence-20200204/

近期，數學家們通過研究簡化的流體模型，證明了湍流的另一個特征。1926年，一位名叫劉易斯·弗萊·理查森（Lewis Fry Richardson）的科學家觀察到，前面提到的氣球和小黃鴨會被湍流以驚人的效率散射。物理學家后來證實，這種現在被稱為超擴散（superdiffusion）的現象確實存在。但數學家們直到去年才能夠嚴格地證明這一點，正如我上個月在 https://www.quantamagazine.org/new-superdiffusion-proof-probes-the-mysterious-math-of-turbulence-20250516/ 上所描述的那樣。

數學家們也更直接地研究了納維-斯托克斯方程，通常在一些簡化假設下研究其基礎。一種經典的簡化方法是從納維-斯托克斯方程中去除摩擦力；這些簡化的方程被稱為歐拉方程（Euler equations）。2022年，兩位數學家通過大量依賴計算機，證明了 ：https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/ ：在特定條件下，歐拉方程可能會失效。這標志著我們朝著完整的“千禧難題”邁出了一小步，但卻意義重大。

即使是最直接的流體方面也很難用數學證明。根據你想了解的流體的具體內容，你可以用不同的方式對其進行建模。例如，在微觀層面上，流體由像臺球一樣運動的單個分子組成。但在宏觀層面上，流體表現為單一實體。（納維-斯托克斯方程描述了這種宏觀行為。）1900年，大衛·希爾伯特向數學家們提出挑戰，要求他們證明這些不同的模型是兼容的。125年來，無人能證明。但現在，三位數學家聲稱已經做到了。如果證明成立，這將標志著數學物理史上的重大進步。Leila Sloman對這一突破性證明的詳細描述 https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/ 上周發表在量子雜志上，參閱小樂數學科普：。

盡管流體力學以難度高而聞名——有人認為它是“職業生涯的終結地”https://www.quantamagazine.org/an-unexpected-twist-lights-up-the-secrets-of-turbulence-20200903/ ——但該領域仍然異?；钴S。我們最偉大的頭腦仍在繼續探索流體翻騰深處的奧秘。

網絡上

安德烈·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）的“五分之三”定律與劉易斯·弗萊·理查森（Lewis Fry Richardson）發現的超擴散現象密切相關。3Blue1Brown在YouTube視頻 https://www.youtube.com/watch?v=_UoTTq651dE 中對此進行了精彩的解釋。

“沒人知道飛機是如何在空中停留的”，這已成為科普界的陳詞濫調，但這與納維-斯托克斯方程的難度無關。埃德·雷吉斯（Ed Regis）在《科學美國人》雜志上發表了一篇文章，解釋了如何在沒有復雜數學的情況下理解飛機機翼——同時也解釋了為什么科學家們對該解釋的細節仍存在分歧。

然而，你在跨大西洋航班上遇到的湍流，正是令世界頂尖數學家困惑的湍流。它會擾亂飛機機翼上氣流的平穩流動。我們無法預測湍流，但國家氣象局的衛星會監測它，并幫助飛行員避開它。 航空氣象中心提供的可視化工具 https://aviationweather.gov/gfa/#turb 會顯示最新數據，以便你為可能出現的顛簸做好準備。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/the-math-of-rushing-rivers-and-turbulent-jet-streams

https://www.linkedin.com/pulse/who-wants-math-millionaire-quanta-magazine-iwief/

https://www.quantamagazine.org/the-trouble-with-turbulence-20190128/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-universal-law-of-turbulence-20200204/

https://www.quantamagazine.org/new-superdiffusion-proof-probes-the-mysterious-math-of-turbulence-20250516/

https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/

https://www.quantamagazine.org/an-unexpected-twist-lights-up-the-secrets-of-turbulence-20200903/

https://www.youtube.com/watch?v=_UoTTq651dE

https://aviationweather.gov/gfa/#turb

出版社和作家自薦通道

小樂數學科普薦書

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

加星★

數學科普不迷路！