人一到無窮∞微積分從娃娃學起

一個父親帶著一個孩子，認真一點就可以讀懂微積分。

把一個復雜現象分解成無數的小片段，然后再將這些片段重新累加，你會發現：原來微積分就是這么“拆”和“合”。

你會在展覽中看到圓面積的“拼接”——從一個個小三角形接近圓的過程，到不規則形狀如何利用“無限切割”接近求和。

甚至還可以親自動手分割圖形、計算累積量，從小處逐步體會到微積分幫助我們掌控“無窮小”的神奇之處。

這里每個體驗區都將抽象的微積分概念變得鮮活、生動。無論是曲線的弧度、速度的變化，還是面積的累加，這個展覽將幫助你在短短的觀展時間里讀懂微積分的核心思想。

一、什么是無窮小？

無窮小（infinitesimal）是一個無限接近于零的概念，但并非真正等于零。設想你有一把“神奇的尺子”，可以將物體的長度測量到極致小的單位。

1.1米：測量人的身高；

2.10^-3米（毫米）：測量螞蟻觸角長度；

3.10^-6米（微米）：測量細菌直徑；

4.10^-15米（飛米）：測量原子核尺寸；

5.10^-35米：普朗克長度，物理理論上的極限尺度。

當我們繼續縮小到幾乎為零時，進入了一個神秘的領域，這個尺度雖然“無限小”，但它卻包含無窮的信息，并能在微積分中幫助我們解答許多問題。

二、無窮小的奇妙之處

無窮小的思想揭示了許多有趣的數學現象和悖論：

·飛矢不動悖論：芝諾認為，將時間無限分割，每個瞬間中的箭是靜止的，似乎箭永遠不會動。

·烏龜悖論：假設兔子和烏龜賽跑，烏龜比兔子先跑出一段距離，兔子每次追上烏龜之前的位置時，烏龜都向前移動一小步，因此兔子似乎“永遠追不上”烏龜。

·日砍其半：如果每天將一根木棍截取一半，棍子將永遠也截不完，這意味著在無限次操作后，還存在棍子的“無窮小”部分。

這些悖論挑戰了直覺，啟發了數學家們思考如何用微積分來描述無限分割和累積的過程。

三、窮竭法與早期微積分

古希臘數學家們通過“窮竭法”探索如何計算圓形的面積，他們通過分割和累積，讓多邊形的面積無限接近圓的面積：

·劉徽的割圓術：魏晉時期數學家劉徽提出“割圓術”，通過將圓分割成多邊形，并不斷增加邊數，使得多邊形的面積接近于圓。劉徽將π的值精確到3.1416。

·阿基米德的圓周率：阿基米德用內接與外接多邊形估算π值在223/71與22/7之間。

窮竭法提供了一種極限思想的早期模型，這一思想也為微積分奠定了基礎。

四、從無窮小看微積分的魔法：以直代曲

在微積分中，一個重要的概念就是把復雜的曲線分割為無數小的直線段來求解，這就是“以直代曲”的思想。

示例一：圓的分割

假設將圓等分后拼成平行四邊形，再繼續細分，當分割無限小時，這個形狀逐漸趨于一個長方形，其面積可計算為：A=πr^2

示例二：水洼面積

如果將一杯水倒在地板上形成不規則形狀，我們可以將其邊緣分割成無數小直線片段，逐段求出面積。通過無窮小的分割和累積，我們可以近似求出水洼的總面積。

這種方法不僅適用于簡單的幾何形狀，也可應用于更復雜的曲線和形狀。通過對形狀的分割和無窮小的累積，我們可以輕松計算復雜圖形的面積和體積。

到了這一步，基本上已經明白微積分的本質是什么了。
其實就是用可計算的三角形和四邊形來計算不規則圖形。
但我們還可以更進一步。

五、微積分的基本思想：切割與累積

微積分的核心概念——微分和積分——都依賴于無窮小和累積。

微分：描述函數隨變量變化的瞬時變化率。例如，函數y=f(x)的微分表示為：

積分：表示連續變量上無窮小變化的累積。例如，求一個曲線下方的面積可以表示為：

六、萊布尼茨的樓梯法：微積分的推導

萊布尼茨在探索微積分的過程中，創造性地使用了“樓梯法”來推導連續求和的公式，并發現了微積分的基本思想。

這個方法通過將復雜的累加問題轉化為連續差分之和，從而簡化計算。在萊布尼茨的樓梯法中，他展示了如何將離散的變化轉化為連續的累積，理解微積分的原理。

問題引入：一個99層的樓梯

惠更斯出了一道題來考萊布尼茨：“假設一個人正爬一個99層的樓梯，每層的高度不一樣，如何測量從樓梯底部到頂部的總高度？”

在這種情況下，樓梯的總高度可以表示為一個求和公式，其中每層的高度是一個分數：

推導過程：連續差分之和

萊布尼茨通過觀察這一公式的結構，發現每一項都可以寫成一個連續差之和的形式，這樣的表達在計算中會引發“抵消效應”，大大簡化了計算。

首先，將每一項進行差分轉換：

這樣，原來的求和公式可以改寫成：

通過觀察，我們發現相鄰項會互相抵消，最終只剩下第一個和最后一個分數
最終答案為0.99。這種通過連續差分累加得出結果的方式，使得問題變得非常簡單。

萊布尼茨提出的一個重要問題是：“有沒有一種可能，無論多么復雜的連續變化，只要找到它的簡化規律，就可以得到準確的結果？”

他意識到，關鍵在于將低維的復雜問題提升到一個更高的維度來思考。也就是說，一個在低維度中看起來難以解決的復雜問題，若能找到高維度的簡化規律，就會變得非常簡單。

他想到，或許不僅僅是離散求和問題可以通過差分解決，任何復雜的連續變化也可以找到相似的簡化規律。

微積分的基本定理：高維的簡化

萊布尼茨進一步發展了這一思想，提出了“微積分的基本定理”。這個定理的核心在于將一個連續變化的函數轉化為一個更高維度的累積函數。

這個過程的本質是通過高維的累積將低維的微小變化復原為整體值，從而將復雜的連續變化問題轉化為可解的形式。

在這種意義上，微積分的基本定理不僅是一個計算工具，還是一種簡化方法，它將變化問題提升到更高的維度，借此實現簡化。對于萊布尼茨來說，任何連續變化的過程都可以通過高維累積來還原，這種“簡化”的方式讓他將復雜問題化為簡單、直接的表達。

牛頓雖然是從物理學上創立了微積分，但本質和核心是相一致的。

七、微積分的定積分公式

微積分的強大之處在于，它將復雜的連續變化轉化為簡單的公式，使得我們能夠精確描述和計算那些看似難以掌控的現象。

通過定積分，我們可以輕松求解面積、體積、位移等問題。

無論多么復雜的連續變化，我們都可以借助這些公式輕松表示并計算出結果。這不僅使得世界變得更簡單，也展示了微積分在描述自然規律中的強大力量。

以下是常見的定積分公式，它們展示了如何利用微積分來簡化現實世界中的復雜變化：

八、總結：微積分的魅力

微積分是一門關于簡化和累積的學科，它將復雜的變化過程分解為無窮小的累積，幫助我們理解自然界中的復雜現象。無窮小和高維累積的概念讓我們可以更精確地測量和計算，揭示出宏觀和微觀世界的規律。微積分不僅是一種數學工具，更是一種觀察和理解世界的方法。