期末放大招：定積分計(jì)算總找不到思路，算不對(duì)？這份“保姆級(jí)”計(jì)算攻略請(qǐng)收好！

期末考試的腳步越來越近了，大家的高數(shù)復(fù)習(xí)得怎么樣了？

很多同學(xué)在復(fù)習(xí)到定積分這一章時(shí)，經(jīng)常會(huì)有這樣的困惑：

“不定積分我還會(huì)算，怎么一加上上下限，腦子就亂了？” “換元法換著換著，積分限忘記換了……” “看到絕對(duì)值和分段函數(shù)就想放棄。” “積分到底怎么改寫才能計(jì)算出來呢?”

別慌！今天我們就來把定積分的計(jì)算思路與常見題型做一個(gè)徹底的梳理。搞定這篇文章，考場(chǎng)上多拿20分不是夢(mèng)！

定積分計(jì)算的“總指揮棒”

在正式動(dòng)手計(jì)算定積分之前，我們考慮一下標(biāo)準(zhǔn)定積分計(jì)算思維流程。拿到一個(gè)定積分 ，不要上來就硬算，請(qǐng)按以下步驟操作：

? 核心四步走：

1. 看區(qū)間

• 區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（ ）？利用奇偶性。

• 被積函數(shù)是否為周期函數(shù)，積分區(qū)間長度是否是周期的整數(shù)倍？利用周期性。

看被積函數(shù)

• 是否包含絕對(duì)值？去絕對(duì)值（分區(qū)間）。

• 是否是分段函數(shù)？分段積分。

• 是否可以化簡(jiǎn)？（如三角恒等變換、代數(shù)化簡(jiǎn)、有理化）。

選方法?

• 基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）。

• 湊微分（第一類換元）。

• 變量代換（第二類換元）。

• 分部積分。

定結(jié)果?

• 算出的應(yīng)該是一個(gè)數(shù)（不包含積分變量的數(shù)，或者依賴于關(guān)于上下限參數(shù)的表達(dá)式），絕對(duì)不是一個(gè)函數(shù) ！

這是定積分最強(qiáng)大的武器，但也是“翻車”重災(zāi)區(qū)。

?? 黃金法則：換元必?fù)Q限！

• 步驟（左邊到右邊第二類，右邊到左邊第一類）：

1. 令 。

2. 求微分 。

3. 關(guān)鍵一步：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。

4. 計(jì)算 。

常見類型：

• 三角代換：看到 ， ， ，令 ,， ， 。

• 倒代換：分母冪次高，試著令 。

• 根式代換：直接令根式為一個(gè)變量，如令 。

當(dāng)被積函數(shù)是不同類型函數(shù)相乘時(shí)（如 , , ），使用此法。

• 公式：

• 口訣（選 的順序）：“反對(duì)冪三指”（反三角 > 對(duì)數(shù) > 冪函數(shù) > 三角 > 指數(shù)）。排在前面的優(yōu)先設(shè)為 ，剩下的湊成 。

如果考試全是硬算，時(shí)間肯定不夠。學(xué)會(huì)觀察性質(zhì)，能秒殺很多選擇填空題！

1. 奇偶性（對(duì)稱區(qū)間必看！）

若積分區(qū)間為 ：

• 若 是奇函數(shù)結(jié)果為0。（秒殺！）

• 若 是偶函數(shù)。

若 是周期為 的周期函數(shù)：

• （積分值只與區(qū)間長度有關(guān)，與起點(diǎn)無關(guān)）。

定積分計(jì)算的是以 ， ， ， 所圍成的代數(shù)面積和，即函數(shù) 非負(fù)，則面積為正值，如果為負(fù)數(shù)，則為負(fù)值。如果被積函數(shù)描述的曲線為規(guī)則曲線，如直線，圓形等，則可以直接借助面積得到結(jié)果。

例如，看到 ，不要傻傻去換元算！

• 思路：這代表圓 在第一象限的面積。

• 結(jié)果： 。

題目特征：被積函數(shù)帶絕對(duì)值 , ，或者是 。

解題思路：“拆！”利用定積分的區(qū)間可加性： 。

1. 找到分段點(diǎn)（絕對(duì)值即為內(nèi)部變號(hào)的點(diǎn)）。

2. 將積分區(qū)間從分段點(diǎn)切開。

3. 在每個(gè)小區(qū)間上去掉絕對(duì)值符號(hào)，分別積分，最后相加。

題目特征：題目沒給 具體解析式，只給了 的性質(zhì)（奇偶性、周期性）或等式。

解題思路：“換元 + 湊”通常令 或 。

• 經(jīng)典結(jié)論： 若 連續(xù)，則 （這個(gè)結(jié)論做三角函數(shù)大題非常有用！）

題目特征：被積函數(shù)中包含有非負(fù)整數(shù) 參數(shù)。

解題思路：從表達(dá)式中提出一個(gè)1次方或2次方乘積項(xiàng)，然后考慮分部積分法構(gòu)建遞推公式。

• 經(jīng)典結(jié)論：華里士公式：

為 偶 數(shù) 為 奇 數(shù)

題型四：定積分的幾何應(yīng)用（求面積）

題目特征：求曲線 與直線圍成的圖形面積。

解題思路：

1. 畫圖：草圖即可，確定圖形大概位置。

2. 找交點(diǎn)：聯(lián)立方程，確定積分上下限。

3. 定公式：

• 型區(qū)域（上下型）： 上 下 。

• 型區(qū)域（左右型）： 右 左 。

題目特征：無窮區(qū)間的反常積分與無界函數(shù)的反常積分。

解題思路：與定積分一樣，只是積分上下限為無窮大，或者開區(qū)間端點(diǎn)，它們的積分值為求極限。特別注意無界函數(shù)的反常積分，如果瑕點(diǎn)在區(qū)間中間，則必須以瑕點(diǎn)為分割點(diǎn)，分割成兩個(gè)積分分別考慮。

總結(jié)一張表

步驟

關(guān)鍵動(dòng)作

注意事項(xiàng)

觀察

對(duì)稱性、周期性、幾何意義

此時(shí)不動(dòng)筆，先動(dòng)腦

預(yù)處理

拆分段、去絕對(duì)值、化簡(jiǎn)

區(qū)間可加性

計(jì)算

牛萊公式、換元法、分部積分

換元一定要換限！檢查

結(jié)果是一個(gè)數(shù)

面積、體積不能為負(fù)

定積分并沒有想象中那么難，難點(diǎn)在于細(xì)心和方法的選擇。 看到對(duì)稱區(qū)間，先想奇偶性； 看到根號(hào)，先想三角代換或幾何意義； 看到乘積形式，先想分部積分。

希望這份總結(jié)能幫你理清思路。期末考試，祝大家都能高數(shù)滿績(jī)，錦鯉附體！?

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