中點運用技巧——構造中位線

中點運用技巧——構造中位線

在幾何證明中，關于中點條件的運用，通常情況下得到線段間的數量關系，與中點相關聯的還有直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形三線合一、三角形中位線、垂徑定理、三角形重心等，還可利用中點構造全等三角形，可謂幾何證明題里的多面手，因此，讀懂題目條件里和中點有關部分，聯想到合適的方法，是破題關鍵。

題目

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(90° <α<120°)，d為bc的中點，e是線段cd上的動點(不與點c，d重合).連接ae，將線段ae繞點a逆時針旋轉α得到線段af，連接ef交ac于點g，過點b作ac的平行線交fe的延長線于點h.< pan>

(1)求證：∠ACF=∠CBH；

(2)若M為線段FH的中點，連接DM，用等式表示線段DM與FG之間的數量關系并證明.

解析：

01

(1)經典手拉手模型，可證△ABE≌△ACF，如下圖：

由∠BAC=∠EAF=α得∠BAE=∠CAF，再加上AB=AC，AE=AF，所以△ABE≌△ACF，得到∠ABE=∠ACF，由AC∥BH，可證∠ACB=∠CBH，而∠ABE=∠ACB，所以∠ABE=∠CBH，最后得到∠ACF=∠CBH；

02

(2)作圖之后，先觀察線段DM和FG，直觀發現它們存在倍數關系，驗證的方法有兩種，一是截長，二是補短，如何選擇？

線段DM的兩個端點均為中點，點D是BC中點，而點M是FH中點，相應的線段FG兩個端點沒有特殊條件，因此我們從條件豐富的線段DM入手，將其倍長；

但是在倍長過程中遇到了新問題，若延長MD，與BH相交，顯然無法說明這是倍長，同樣的若延長DM，無論是AC相交或與CF相交，也無法說明這是倍長，這是思考中無法回避的困境；

解決困境的思路同樣來自于中點條件，題目中給出了AC∥BH，這兩條平行線被BC所截，而點D恰好是BC中點，因此我們可利用這組平行線來構造全等三角形，連接GD并延長，交BH于點K，如下圖：

此時再連接KE，便呈現出△GEK以及其中的線段DM，究竟DM能否成為△GEK的中位線，我們需要證明GM=EM，下面我們來進行思維突破：

利用AC∥BH以及點D為BC中點的條件，我們很容易證明△BDK≌△CDG，從而得到BK=CG，DK=DG；

借助(1)中的∠ACF=∠CBH，即∠GCF=∠EBK，以及BE=CF，我們可得到第二對全等，△BEK≌△CFG，如下圖：

所以EK=FG，完成了線段FG的“搬運”，現在完成最后一步中位線的證明：

取△BEK和△CFG的一個對應外角∠EKH=∠CGE，由AC∥BH可得∠CGE=∠H，于是∠EKH=∠H，則EK=EH，所以EH=FG；

由點M為FH中點，得MF=MH，則MF-FG=MH-EH，即MG=ME，點M為EG中點，進而證明了DM是△GEK的中位線，EK=2DM，所以FG=2DM.

解題思考

幾何證明思路的探索，是一個不斷猜想、驗證的過程，直觀很重要，它是猜想的來源，在驗證過程中一定會遇到困難，畢竟這是幾何壓軸題，解決困難的方法依然是從現有條件中尋找突破口，所以能否有效以已有條件為基礎進行拓展延伸，是找到解題思路的關鍵。

本題中，為什么要構造中位線？實則是因為在探索解題思路的過程中，經歷過的幾次失敗造成的，最初是我們截長，取FG中點之后，思路進行不下去，然后是因為我們延長DM或MD都無法得到需要的倍長線段，貌似把“截長補短”的路都封死了，給學生造成困難。

所以這個時候就要跳出“截長補短一定要在原線段所在直線上”這個框架，另辟蹊徑，這才想到構造中位線，從而連接EK。

作為老師，在引導學生尋找解題思路的同時，不妨將自已是如何找到思路的過程分享給學生，通常在課堂上，老師在學生遇到困難后，急于將方法直接告訴學生，是不妥的，學生遇到困難之后，首先需要的是共情，因為這些困難老師自已在思考過程中也會遇到，當學生聽到老師原來也這樣碰過壁，接下來會更有興致知道老師是如何解決困難的，這種懸念加成后，學習驅動會更強；有經驗的老師會假裝不會，然后有意無意泄露一點信息讓學生抓住，一旦學生成功從這些信息中找到了思路，那情緒價值就滿了，在這種情況下，解題成就感最強，興趣也更高，于是學數學就有意思了。