為什么矩陣的行秩等于列秩？

“我經常舉的一個例子是，我對一個矩陣的‘行秩’和‘列秩’為什么會相等的好奇。其實在任何基本的線性代數書里，我們都可以找到它們為什么相等的證明。但是從那些邏輯推理的外表，我實在看不出它們為什么會巧合地相等。在我真正了解到它們為什么會一樣的過程中，這個好奇卻幫我了解了許多廣義逆矩陣的幾何意義。”

——李天巖《回首來時路》

編者提醒：文中提到的經典教材《線性代數應該這樣學》，最新電子版（包括中文翻譯版本）現已免費公開在 Sheldon Axler 教授的個人主頁。讀者可直接訪問 https://linear.axler.net/ 下載獲取。該書強調數學結構和幾何直觀，弱化矩陣計算，適合已經學過一遍線性代數，想要從更高視角加深理解的讀者。

撰文| 朱慧堅（廣州南方學院數學與統計學院副教授）、丁玖（南密西西比大學數學系退休教授）

在理工科基礎課《高等代數》或《線性代數》中， “ 矩陣 ” 或許 是 出現頻率最高 的 數學詞匯， 其重要性 不亞于 《數學分析》或《高等數學》 中的“函數” 。 對于 電子 工程 或計算機科學 等應用學科的學生們而言 ，矩陣在《線性代數》中 的 一項 基本 用 途是 求解線性方程組，因為線性方程組的 所有 系數 若 不變動位置， 可以 自然 地 排 成一個有幾行幾列的數組 ， 即 矩陣 的形式，然后 利用 課本中 定義的一系列 矩陣 運算 和 性質 ，同學們 便掌握了求解方程組的有力工具。 然而 在面向數學專業的《高等代數》課程中， 矩陣 不僅延續了 求解線性方程組的 傳統 功能 ，還 挺身而出 ， 擔 當了 連接 抽象概念和具體模型 的 橋梁 重任 ，用 更 專業一點的話來說就是：任何 兩個 有 限 維向量空間之間的線性 映射 ，只要在定義域 向量 空間和值域所屬的 向量 空間中各自選取了一個基底，那么這個線性 映射 就有一個 唯一確定 的 、 看得見摸得著的 “矩陣表示”，這時“矩陣有 大 用”的威力就充分顯現了。

“打倒行列式！”

筆者 分別 在中美兩國的大學 多次講授 《線性代數》，所用的都是暢銷 教材 。在中國 使用的 教材 是 工程名校同濟大學編寫 的 《 工程數學· 線性代數》，第一版 四十四 年前問世，第七版三年前推出 ； 在美國 則 教過 一 淺 一 深的 兩門課： 《線性代數 I 》和《線性代數 II 》 。 前者本質上只講矩陣的初等理論，與 上述 同濟大學 教材的覆蓋面相仿；后者主要 學習 有限維向量空間之間的線性 映射 理論，這時矩陣 大致 起到“助手”或“工具”的次要作用。

矩陣的歷史源遠流長。早在 近兩千年前 的 中國古代數學典籍《九章算術》中 ， 它便已初現端倪， 并被 三國時期 的 偉大數學家劉徽 （約 225 年 - 約 295 年 ） 所應用。 1850 年， 英國 大 數學家西爾維斯特 （ James Joseph Sylvester ， 1814 - 1897 ） 正式 將其 命名 為 matrix ；隨后，比他 小七歲 的 律師 兼 數學家凱萊 （ Arthur Cayley ， 1821 - 1895 ） 率先 引入了矩陣的代數運算。 一百五十 年來 ，矩陣 一直 被 代數學家和工程技術家 們“ 玩 ” 個 不停， 其 卓著 功勛，不在話下 。

因為 線性代數 入門 教程 主要討論作為具 體 代數 運算 對象的矩陣，中美兩國的 傳統 教科書一般 都 沿著 數學 史 發展 的足跡，在正式開講矩陣前，第一章先講行列式。 然后以它為主要工具， 一章又一章、 一節又一節地推演出矩陣 幾乎數不清的種種 性質，比如具有非奇異系數矩陣的線性方程組 的著名解公式 ； 它 完全依賴于行列式的 計算 ，名為克 萊姆 法則。還有，可逆矩陣的逆矩陣有個看上去美 麗 簡潔的逆矩陣公式，其每個元素的計算 都少不 了行列式幫 大 忙 ； 可惜這個忙幫得 太花時間，以至于后世 強調高效實用 的計算數學家和工程師 早就把這個 “ 中看不中用 ” 的求逆公式棄之不理了。

多年的教學實踐提醒我們， 盡管行列式理論曾在 歷史上 為 現代數學的 不斷進步 立下過汗馬功勞 ， 但 如今 它 對線性代數的影響力 已 日漸式微 。 其繁瑣的計算公式，無論是 基于排列 的 和式 定義 ， 還是 拉普拉斯 展開，都 難 以 討得 學生 歡心 ，有時 甚至 會引起 他們 的恐懼 和 反感 —— 尤其 是在需要 化簡一個頗為復雜的行列式時 。 所以，在線性代數的數學教育中 出現了一種質疑的聲音： 行列式 是否仍有講授的必要 ？

恰好三十年前，美國數學家 阿克斯拉 （ Sheldon Axler ， 1949 - ） 教授在 讀者如云 的 數學期刊 《美國數學月刊》 （ 第 102 卷 ）上， 發表了 題為 Down with Determinants! （《打倒行列式!》 ） 的文章。 文章摘要 的 第一句開宗明義：

“ 本文展示了在沒有行列式的情況下 ， 如何 更好地 構建 線性代數。 ”

第二年，《美國數學月刊》的東家——美國數學協會將 1996 年度的 “ 萊斯特 · R · 福特 闡述寫作 獎 ” 頒給了 阿克斯拉 ，表彰他這篇影響深遠的數學檄文 。筆者之一在密歇根州立大學數學系 攻 讀博士學位時， 修 過 阿克斯拉教授 一 學年的《高等泛函分析》研究生課程， 為 他的教學藝術所傾倒， 當年 提名他 評選 教學獎，他也當之無愧地 將其 收進囊中 ；須知他 1975 年從加州大學伯克利 分校 博士畢業后 ， 去麻省理工學院擔任 兩年 摩爾講師（ 極 富榮譽的一種博士后位置） 期間 ， 就獲得過 校級 教學獎。

在 “討伐”行列式的同一年年底， 阿克斯拉教授 出版了教科書 《線性代數應該這樣學》 （ Linear Algebra Done Right ） ，其寫作風格 繼承了他的 師祖 、美國數學寫作與演講高手 哈爾莫斯 （ Paul Halmos ， 1916 - 2006 ）的名著《有限維向量空間》（ Finite - Dimensional Vector Spaces ） ，即用基于集合論的 函數 語言撰寫 代數課本。 正如 阿克斯拉教授 在前述文章中所宣稱的，他沒有拿起行列式這把榔頭 來 捶打出線性代數的各種零件 ， 不過還是 給予 行列式足夠的禮遇 —— 將 它放 進 了 全 書 十章的 最后， 與矩陣 跡 共享一章， 畢竟 它是 矩陣之 子 （西爾維斯特給矩陣所取 的 英文名 字 matrix 來自 拉丁語 matrix ，原意 為 “子宮”， 隱喻 行列式 為 矩陣 所生 ） 。

阿克斯拉 教授精心寫作的這部教材在美國高校極受歡迎。 2009 年 ， 人民郵電出版社 翻譯 出版了該書， 此后一直 跟隨英文新版 更新譯本 ， 目前已出版至第四版。 積極從事數學普及的西北農林 科技 大學林開亮博士 ， 還在《數學文化》雜志上發表了熱情 洋溢 的書評。

《線性代數應該這樣學》 的 譯者在序中寫道： “ 描述線性算子的結構是線性代數的中心任務之一，傳統的方法多以行列式為工具。作者認為行列式既難懂又不直觀，還缺少動機，并且導致思路曲折，從而掩蓋了線性代數的本質。因此，本書完全拋開行列式，采用更直接的方法闡述了線性算子的基本理論，作者認為這種方法可使學生更加直觀、深刻地理解線性算子的結構，線性代數就應該這樣教與學。 ”

這本書 起點較低，不需要太多預備知識，而特色鮮明，是公認的闡述線性代數的經典佳作。原書自出版以來，迅速風靡世界，其中包括斯坦福大學和加州大學伯克利分校等著名學府。 根據 阿克斯拉教授 不斷更新 的統計 數據 ， 到目前 為止 全球 共有超過 四百二十 所大學和學院采用 這本 書 作為 教材 。筆者之一任教的大學數學系也慧眼識珠，及時用它替換了 舊教材 。當筆者再次講授這門課 時 ，書中清晰易懂的語言表述與滴水 不漏 的 邏輯 推理 ， 令 筆者 馬上想起八十年代末那個學年 ， 自己 坐在教室 里 ， 看 阿克斯拉教授演繹 泛函分析 之美 的生動場景。 到了 2020 年 ，阿克斯拉教授出版新書 Measure, Integration & Real Analysis （ 《 測度、積分和實分析 》 ） ， 并告訴 筆者 他一如既往地將電子版免費 上線。筆者 毫不猶豫地選擇了 這本書 來 講授《實分析》課程，再一次滿懷喜悅地 品味 了他的寫作風格。

重新定義“秩”的基石

與矩陣形影不離的一個數學概念是“矩陣的秩”，它在線性代數 中 的 地位，堪比 微積分中的 “導數” 。在通常的教科書中，由于行列式最早登臺亮相，自然它必須身兼數職，不僅要服務好之后登場的逆矩陣計算，也要充當矩陣 秩 的 “ 解說員 ” 。它向 學生 們這樣介紹矩陣 秩 的概念： 矩陣的秩是其非零子式的最大階數 。這句簡潔的定義更通俗地說就是： 從矩陣中 任取 k 行 k 列 元素 而 不改變相對位置，組成一個 k 階 方陣，其對應的行列式稱為原矩陣的 k 階 子式 。如果 所給的矩陣有一個 k 階子式不等于 0 ，但所有更高階的子式都等于 0 ，那么我們就說這個矩陣的 秩 為 k 。

看來，按照這個定義，要找到一個矩陣的秩，我們必須耐心地計算 不同階數的 子式，直到算出一個 子式 不為 0 ，但又 要 確保 更高 階數的子式統統 等于 0 ，才 算 大功告成。對學生而言，即便 將 這個定義 背得滾瓜爛熟 ， 也很難 理解“秩”的意義到底是什么 ， 可能 知其然而不知其所以然 。為了做習題 應付 考試，只好 硬著頭皮 死算一通 ，以期熟能生巧。

現在， 讓 我們暫時忘掉行列式，或 者干脆 假設它只是小說家杜撰出的一個 莫名其妙的 概念， 以此來 重新定義矩陣的秩。 當然 到 了最后，為了讓讀者信服新定義 其實與基于行列式計算的舊定義殊途同歸， 我們 將 再 請行列式 “ 復活回歸 ” ， 舉杯 共賀對“秩”的新解釋。

在進入 下面的數學 討論之 前，我們 先 做兩點說明 。 首先， 為了 與 筆者此前 文章 保持 一致，本 文將 繼續采用泛函分析中 的 通用 術語 “線性算子” （ linear operator ） ，而不用 常見的 “ 線性映射 ” （ linear map ， 如 前述 阿克斯拉教授的 著作 ）或 “ 線性變換 ”（ linear transformation ， 見 多數線性代數教科書 ） 。 其次， 和以前一樣，我們只在實數范圍內談論矩陣，當然文中的結果對復矩陣甚至一般數域 上 的矩陣 也成立 。 照常， 符號 R 代表實數 集 。

既然矩陣是上下左右排列整齊 、 有幾行幾列的一組數，它免不了要和只有一行的數組 （稱為 行向量 ） 和只有一列的數組（稱為 列向量 ）發生聯系。某 個 向量中的分量個數如果是 n ，就稱它是 n 維向量 ，并把所有的 n 維向量全體用符號 R n 表示。這樣， R n 中的一般元素寫下來就是 行向量 x = ( x 1 , …, x n ) 或 列向量 x = ( x 1 , …, x n ) T ， 其中大寫 的 T 是英文單詞 transpose 的首字母， 表示“ 轉置 ” ，即將矩陣的 第 i 行變為 第 i 列的操作。

為了節省 篇幅 ， 本 文中的向量一般寫成行 向量 ，但為了滿足矩陣乘法 對行或列數 的基本要求， 它們 有時被看成是列向量，反之亦然。在 R n 中 定義了 標準的向量加法（對應分量相加）和數乘向量（ 數乘各分量 ） 這兩種代數運算，因而 R n 有資格成為一個 向量空間 （也稱線性空間） 。 向量空間中的元素稱為向量。 R n 的子 集 M 如果對這兩種運算是封閉的，也就是說， M 中任意 兩個向量之和以及任意數與向量的標量積 依然屬于 M ，則 M 也是一個向量空間，稱為 R n 的 子空間 。 在 R n 內再定義標準的 內積 運算： 向量 x = ( x 1 , …, x n ) 和 向量 y = ( y 1 , …, y n ) 的 內積 是數 x 1 y 1 + … + x n y n ； 熟悉 矩陣乘法的讀者可以把它寫成 更緊湊的形式 y T x （ 這里向量 x 、 y 被理解為列向量 ） 。有了內積， R n 便升格為 歐幾里得空間 ，因為內積概念引出了正交 —— 就像歐幾里得平面幾何中兩條互相垂直的線段那樣。 通過內積還可以定義向量的 長度 ， 正式 學名叫范數： R n 中向量 x = ( x 1 , …, x n ) 的 范數

它是 二維或三維向量通常長度的直接推廣。

按照定義，如果歐幾里得空間 R n 中的向量 x 和 向量 y 的 內積為 0 ，則說 x 和 y 正交 ，記為 x ⊥ y 。 任給 R n 的一個子集 S ，空間 R n 中所有與 S 內 每一個向量都正交的向量組成的集合， 稱為 S 在 R n 中的 正交補 ， 記為 S ⊥ 。 讀者可以證明 S ⊥ 也 是 R n 的一個子空間。比如說，在平面 R 2 內，單點集 S = {( 1 , 1 )} 的 正交補是 一條 通過原點的直線 {( t , -t ) ： t 為所有實數 } ，這是極易驗證的。

筆者一年前在《返樸》 登載文章《》，把任意給定的 m 行 n 列矩陣 A = ( a ij ) 視為 將 R n 映射到 R m 的 一個 線性算子， 其函數法則是 ， 將 R n 里 的 任意 向量 x 映到 R m 中的 對應 向量 y = Ax ， 即矩陣 ( a ij ) 與 列向量 ( x 1 , …, x n ) T 的 乘積， y 的 第 i 個 分量是

取 遍 R n 中的所有向量 x ，得到 的 所有向量 Ax 在 R m 中組成一個集合 ，很容易驗證 ，這個集合是 R m 的一個子空間，叫做線性算子 A 的 值空間 ，記成 R ( A ) 。這里 的字母 R 與表示實數集的 R 沒有關系，而是英文單詞 range （值域）的首字母。 與 A 相關的 還有一個向量空間，它是定義域 R n 的 一個 子空間，由 R n 中所有被 A 映到 R m 中零向量的向量 組成 ，記為 N ( A ) 。這里的 N 是英文單詞 null （零） 的首字母。這兩個 線性子空間 在線性代數中與線性算子 A 地位同等 ， 將在下面的討論中大放異彩。為了讓它們給讀者留下更深刻的印象，我們用數學語言 把 它們 寫成 ：

線性相關 與基底

有了 上面的預備知識，我們 現在 著手建立矩陣 秩 的概念 。 不過在此之前，必須先掌握線性代數中另一個 關鍵 概念。 先 看 一個示例 ， 給出三個向量

x= ( 1, 2, 3 ) , y= ( 1, 1, 1 ) , z= ( 0, 1, 2 ) .

通過 簡單的觀察 可以 發現， x 減去 y 恰好就是 z ，即 z = x – y 。等式的左端 只有 一個單獨的向量，而右端是另外兩個向量的某種組合。 因為這種組合是 將一個向量組中的向量乘以 常數系數 （ 本例中是 1和-1） 再求和的結果 ， 所以我們說這 是一個線性組合 ， 即 向量 z 是向量 x 和 y 的線性組合 。 現在，我們將這個線性組合的關系 式 z = x - y 改寫 成 一邊 只 剩零向量 的形式 ：

1x+ ( -1 ) y+ ( -1 ) z=0,

注意到三個向量 x, y, z 前面 的系數不全為 0 （事實上就此例而言，它們都不為 0 ） 。這時我們說給定的向量 x, y, z 線性相關。

接下來， 我們 考察 這三個向量中的前兩個 x 和 y ，看一看 它們 是否也 線性相關—— 是否存在兩個不全為 0 的數 α 和 β ，滿足等式 α x + βy = 0 。 將 x 和 y 的分量代入，簡單的 代數 運算給出 下面關于未知數 α 和 β 的一個線性方程組：

α+β=0, 2α+ β =0, 3α+β=0.

它只有平凡解， 即零解 α = 0, β = 0 。 這說明，使得線性組合 α x + βy 等于 零向量 的 系數 α 和 β 只能全為 0 。 換言之，兩向量 x 和 y 不像上面的 x, y, z 那樣是線性相關的。這 個 時 候 我們說 向量 x 和 y 是線性無關或線性獨立的。

讀懂了上面的例子，下面關于線性相關或線性無關的定義就 不難 理解了。 由于涉及 多個向量，我們不再 使用 x, y, z ，而是 改用帶下標的字母 v 表示向量， 這里的

v

是 英文單詞 vector （向量）的 第一個 字母。 給定 歐幾里得空間 R n 中的 k 個 向量 v 1 , v 2 , . .. , v k ， 如果存在 不全為零 的常數 α 1 , α 2 , ..., α k 使得

就稱向量 v 1 , v 2 , . .. , v k 線性相關 ； 如果滿足上述要求的 α 1 , α 2 , ..., α k 不存在，則稱 v 1 , v 2 , ..., v k 線性 無 關 。 由此定義可知，給定向量 v 1 , v 2 , ..., v k 線性無關 ， 當且僅當只要 上 式成立， 則 其左端 所有 的 系數 α 1 , α 2 , ..., α k 必 定 全為零。

對于 R n 中給定的 k 個 向量 v 1 , v 2 , ..., v k 和 k 個標量 α 1 , α 2 , ..., α k ， 形式為 α 1 v 1 + α 2 v 2 +?+ α k v k 的向量 被 稱為 v 1 , v 2 , ..., v k 的一個 線性組合 。 讀者 不難證明，給定向量 v 1 , v 2 , ..., v k 的 所有線性組合全體是 R n 的一個 子空間，稱為由 v 1 , v 2 , ..., v k 張成 的向量空間，記為 span { v 1 , v 2 , ..., v k } ， 而 集合 { v 1 , v 2 , ..., v k } 則 稱為 這個空間的 張成 集 。 如果一個向量空間 可由 有限個向量張成，則說它是 有限維 的，否則稱為 無限維 的 （例 如 ， 所有多項式組成 的向量空間就是 無限維 的） 。 線性代數研究有限維向量空間，而把無限維向量空間 留給 泛函分析 去探討 。

從上 兩 段中的 定義 ， 易得 下面 五 個有用的 簡單 事實：

（1）若一組向量包含零向量，則它們必定線性相關 ；

（2）若一組向量線性無關，則去掉其中任意一個 向量， 所剩向量也線性無關 ；

（3）若一組向量線性相關，則加進任意一個向量后也線性相關 ；

（4）若一個向量是其他幾個向量的線性組合，則所有這些向量線性相關 ；

（5）在一個向量空間的張成集中，如果某個向量是 集內 其他向量的線性組合，那么該張成集去掉此向量后 ， 剩余向量 依然張成同一個向量空間。

為了詮釋上述一般定義，下面給出一個 最有 代表性 的例子 。 我們取 R n 中 n 個 “ 單位坐標向量 ” ，用 帶下標的 字母 e 表示 ，以示特別 ：

其中 第 i 個 向量 e i 的第 i 個 分量為 1 ，其余分量 均 為 0 。 顯而易見， 這組向量 是線性無關的。更進一步， R n 中的 任意 向量 v = ( α 1 , α 2 , ..., α n ) 都可 表示 為 α 1 e 1 + ? + α n e n 。也就是說， R n 中的所有向量都是單位坐標向量 e 1 , e 2 , … , e n 的 線性組合。

這樣說來， R n 的單位坐標向量 e 1 , e 2 , … , e n 滿足兩個重要性質：（ i ）它們是線性無關的；（ ii ）它們所有的線性組合 填滿了 R n ，即 e 1 , e 2 , … , e n 張 成 R n 。 由此 我們說 { e 1 , e 2 , … , e n } 是 R n 的一個基底， 此外， 這個基底中的向量相互正交 ， 且長度 均為 1 。 它是 R n 最 典雅的基底， 被稱為 n 維歐幾里得空間 R n 的 典范基 。

基于 上面 對典范基的具體討論，我們可以 將基底概念 推廣至 R n 的任意子空間 ， 并 定義 空間 的 維數。 假定 M 為 n 維歐幾里得空間 R n 的 一個 非空 子空間。如果在 M 中存在 k 個 線性無關的 向量 v 1 , v 2 , . .. , v k ，且 M 中的任一向量 v 都是 v 1 , v 2 , ..., v k 的線性組合， 則稱 { v 1 , v 2 , ..., v k } 為 M 的一個 基底 ，并將正整數 k 叫做 M 的 維數 。 簡言之， 向量 空間的 基底 是張成 該 空間的線性無關向量組， 維數是 這個 組的 向量個數。然而， 要使維數 的定義合理， 我們必須確保它 僅僅依賴于 M 本身， 而與基底的具體選擇無關 。換言之， 若 { u 1 , u 2 , ..., u l } 是 M 的另一個基底，那么 l = k 。 這個 結論 當然 正確 ，下面 對此 作出 證明 。

我們只需 論 證 k ≤l 就 夠了，因為互換 這 兩個基底 便 推出 l ≤k ， 從而 得證 l = k 。 事實上 ，我們可以證明更一般的 命題 ：

引理 1 . 若向量空間 M 中的向量 v 1 , v 2 , . .. , v k 線性無關 ， 且向量 u 1 , u 2 , ..., u l 張成 M ，則 k ≤l 。

證明 . 由假設可知 u 1 , u 2 , . .. , u l 張成 M ，故 v 1 是 u 1 , u 2 , ..., u l 的線性組合， 因而 存在常數 α 1 , α 2 , ..., α l ，使得 v 1 = α 1 u 1 + ? + α l u l 。將 該式 改寫成 線性相關 的形式

因為 v 1 不是零向量 （ 否則與 v 1 , v 2 , ..., v k 線性無關矛盾 ） ， 故 α 1 , α 2 , . .. , α l 中至少有一個是非零數 。 令 α r 為它們當中最后一個非零數，則

因此由上面列出的 事實 （ 5 ）知，用 v 1 取代 M 的張成 集 { u 1 , u 2 , ..., u l } 中 的 u?
，所得的 新 向量集 （向量個數還是 l ） 依然張成 M 。 這就完成了證明的第一步。

按照與上面同樣的方法 進行歸納 ， 經過 s - 1 次替換 （ s = 2, … , k ） ，依次用 v 1 , v 2 , . .. , v s- 1 取代 張成集中的一個向量 ， 得到的新集合依然張成 M 。 所以 v s 是目前的張成集中向量的線性組合 ：

其中 ω 是 張成集內 剩余

u

的 線性組合，它們的 系數不能全為 0 ，否則與 v 1 , v 2 , . .. , v k 線性無關矛盾 。 所以一定存在 某個迄今留下的uj，它是v1, v2, ..., vs-1, vs和其他

u

的線性組合 。 在張成集 內 用 v s 取代 u j 后，新集合張成 M ，且其中的元素個數保持為 l 。

到了最后一步，即 s = k 后， 所有的 v 1 , v 2 , . .. , v k 都逐次取代了張成集 { u 1 , u 2 , ..., u l } 中的一個向量 ， 但原先的張成集元素可能還有剩余， 故 得 k ≤l 。 這就完成了這個關鍵引理的證明。

我們 由 此確認，有限維向量空間的維數僅僅依賴于空間本身，而 與 空間的基底 選取 無關。這也是人們將 R n 稱為 n 維空間的道理所在。 下面再列出 兩 個有關 事實 而不加 以 證明，不過愛好證明的讀者可以 將它們一一 證出：

（ 6 ） k 維向量空間 M 中的 k 個 線性無關向量 構 成

M

的一個基底。

（ 7 ） k 維向量空間 M 中 ， 由 k 個 向量組成的 M 的 張成集 是 M 的一個基底。

為什么矩陣的行秩等于列秩 ？

現在 我們 可以用維數的概念來引進矩陣的秩了。 設 A = ( a ij ) 為一給定的 m 行 n 列矩陣 。將 它 按列劃分 寫成 A = [ a 1 , a 2, … , a n ] 的“塊矩陣”形式，每塊 a j 是一個 m 維列向量， 其中 j = 1, 2, … , n 。 任給 R n 中的列向量 x = ( x 1 , …, x n ) T ，矩陣乘法的定義給出

故 值 空間 R ( A ) 為 A 的列向量 的 所有線性組合全體，用數學表達式就是

我們將矩陣 A 的 列秩 定義 為值空間 R ( A ) 的維數。 由于矩陣的 值空間 由列張成，它也被稱為矩陣的 列空間 ，與下一段定義的 行空間 相對應。

另一方面，我們把 A 從上到下 的 m 個 n 維 行向量 記成 b 1 , b 2 ,. .. , b m 。 由 A 的行向量的所有線性組合組成的向量空間 span { b 1 , b 2 ,..., b m } ， 稱為 A 的 行空間 。類似地， 矩陣 A 的 行 秩 定義為它的行空間的維數。 注意到如果運用矩陣轉置的運算，那么 A 的行空間就是 A T 的列空間 R ( A T ) ，因而 矩陣 的 行秩不外乎 就是其轉置矩陣的列秩。

那么，一個矩陣的行秩等于它的列秩嗎？ 要回答這個問題，我們 要用到 R n 中 的內積運算 所 引導出的 向量的正交概念。 我們 在之前 提到 過， R n 的 一個子集 S 在 R n 中的正交補 S ⊥ 是 R n 的子空間。現在取 S 為 R n 的任一子空間 M ，則如同筆者在文章《》中所 論證的， R n 中的任一向量 x 都是 M 中唯一的向量 y 和 M ⊥ 中唯一 的 向量 z 之和，用空間分解的術語表達，就是：歐幾里得空間 R n 是子空間 M 和它的正交補 M ⊥ 的 直和 ，記成 R n = M ⊕ M ⊥ 。 在此正交分解下， 正交投影 P M 將 x∈ R n 映射到唯一的 y∈M ， 是在數學中非常得寵的一類線性算子。 在筆者另一篇文章《》中，它扮演了成功的角色。

在維數計算中， 正交分解 R n = M ⊕ M ⊥ 的一大 優勢在于， R n 的維數等于 M 的維數與M⊥ 的維數之和， 一個直觀的例子是， 三維 xyz - 坐標空間 可以看作 二維 xy - 坐標平面與 同它垂直的 一維 z - 坐標軸的正交和。 所以 若 M 的維數為 k ，則M⊥ 的維數必定是 n – k 。 這個簡單的算術關系將助我們一臂之力 ， 證明本文的結論。

假設給定 m 行 n 列矩陣 A 的列秩為 r （ r 取自 rank 的首字母 ）， 則 R ( A ) 是 R m 的 一個 r 維 子空間。 同理， 設 A 的行秩為 r ' ， 則 R ( A T ) 是 R n 的 r ' 維 子空間。 為了證明 r = r ' ，我們還需要一個 形式優美、易于證明 的等式：

引理 2 . R(

A

T ) ⊥ =N(

A

) 。

證明 . 設 x∈ R(

A

T ) ⊥ ，則

與AT 的 值空間 中的所有向量都正交，即對所有的 y∈ R m 都有

T

A

T y =0 ，或等價地，

y

T

Ax

=0 。既然 y 是任意的，令 y = Ax ，便有 (

Ax

) T

Ax

=0 ，故 Ax = 0 ，即

∈N(

A

) 。

反之，若

∈N(

A

) ，則

T

A

T

y

y

T

Ax

=0 對所有的

y

∈ R m 都滿足，故 x 與

A

T 的 值空間 中的所有向量都正交，即

∈ R(

A

T ) ⊥ 。所以 R(

A

T ) ⊥ =N(

A

) 。

數學運算經常讓我們感到愉悅，比如不少操作連續做兩遍等同于“ 回到原地 ”，這樣的例子包括矩陣轉置、矩陣求逆和子空間的正交補。 根據 上述引理等式，再利用“有限維子空間正交補的正交補 就 等于 原空間” 這一“二次不變性”，我們獲得另一個有用的等式

通過 上式及歐幾里得空間的正交分解，我們分別有 R n 和 R m 的如下分解：

我們 現在斷言： A 將 R n 的子空間 R (

A

T ) 一一對應地映到 R ( A ) 上面，即線性算子 A: R (

A

T ) → R (

A

) 既是 單 射 又是 滿 射 。 滿射是顯然的，因為根據上面的左邊直和分解， A 將 N(A) 映到 {0} ，故將 R ( A?
) 映成整個 R ( A ) 。再證 A 是 單射。 假設 = ，其中 , y ∈ R (

A

T ) = N(

A

) ⊥ ，則 ( ? ) = ? = 0 ，故 ? ∈ () 。因為 N(

A

) ⊥ 是 向量 空間， ? ∈ N(

A

) ⊥ 。 既然 () ∩ N (

A

) ⊥ = { 0 } ，向量 ? = 0 ，即 = 。這證明 了 A 限制在子空間 R (

A

T ) 上 是一對一的。

兩個有限維向量空間 M 和 N ，只要在它們之間建立了一個既單射又滿射的線性算 子 T :

M

N

，那么這兩個空間將共享幸福（當然 也有 可能共 墜深淵）。比如說，如果 v 1 , v 2 , . .. , v k 在 M 中 線性無關 ，那么 T v 1 , Tv 2 , ..., T v k 在 N 中線性無關，反之亦然。 進而推出 ： { v 1 , v 2 , ..., v k } 是 M 的 張成集 當且僅當 { T v 1 , Tv 2 , ..., T v k } 是 N 的 張成集 ； { v 1 , v 2 , ..., v k } 是 M 的基底當且僅當 { T v 1 , Tv 2 , ..., T v k } 是 N 的基底。 單射加上滿射稱為 雙射 ， 向量空間之間 的 雙射 線性 算子 又稱為 線性 同構 ， 簡稱 同構。 這是最理想的情形了 ，因為在同構之下，兩個向量空間具有 一模 一樣的代數結構，特別地，它們有相同的維數。 一個著名的同構例 子是：向量空間 R n 與所有次數低于 n 的實系數多項式全體同構。

如上的討論 順便 回答 了文章標題 提出的問題：

定理 . 矩陣的行秩等于列秩 。

定義 . 矩陣的行秩或列秩稱為矩陣的 秩 。

通過行列式學過矩陣 秩 的讀者自然會問最后一個問題：你們定義的 秩 等于我們的 教科書中 定義的 秩 嗎？ 回答是，是的，它們是同一個 整 數。 但在這里，我們不打算細致討論行列式與矩陣 秩 的關系，因為這些關系 相當地繁瑣，這里就不 贅述 了 。但是，只要考慮可逆 矩 陣 A 這一 特殊 但 并 不太失一般性的 情形， 還是 能洞察 到 用“最大非零子式階數”和用“線性無關張成集向量個數”這兩種方法定義矩陣 秩 的等價性。

可逆矩陣 A 定義了雙射 線性算子 A ： R n → R n 。這時 A 的所有列向量一定是線性無關的 ，否則 A 就會將非零向量映成零向量，與其單射性 條件 矛盾 。而這些列向量同時也張成了 A 的 值空間 R n （因為 A 是滿射） ，因此它們組成了 R?
的一個基底，故 A 的 秩 等于 n 。另一方面，根據行列式 的性質 ，行列式保持矩陣的乘法，即 兩個同階方陣 乘積的行列式等于這兩個方陣行列式之積。可逆矩陣 A 意味著它的逆矩陣 A -1 滿足 等式 AA -1 = I ， 其中 I 為 同樣階數的 單位矩陣。這樣， 由 等式

推出 det

A

≠0 。因為 det

A

是 A 的 最大階數的 非零子式，根據同濟大學《線性代數》中的定義， A 的 秩 等于 n 。

尾聲

筆者寫作此文的一個動機 ， 來自李天巖教授在《回首來時路》（原載臺灣《數學傳播》雜志， 2011 年轉載于《數學文化》雜志）中的一段話：

“我經常舉的一個例子是，我對一個矩陣的‘行秩’和‘列秩’為什么會相等的好奇。其實在任何基本的線性代數書里，我們都可以找到它們為什么相等的證明。但是從那些邏輯推理的外表，我實在看不出它們為什么會巧合地相等。在我真正了解到它們為什么會一樣的過程中，這個好奇卻幫我了解了許多廣義逆矩陣的幾何意義?！?/p>

今年是筆者之一的博士論文導師 李天巖教授逝世五周年及八十周年 誕辰 。 我們撰寫這篇科普文章 ， 不僅試圖以廣義逆算子的思想解釋為何 “ 行秩等于列秩 ” ， 也是 為了紀念他追求數學思想、授業解惑帶徒的燦爛 一 生。

完稿于 2025年10月27日星期 一

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