清華校友王志涵與合作者在高維普拉托問題上取得關(guān)鍵突破，證實(shí)十一維空間中肥皂膜曲面普遍光滑

在數(shù)學(xué)與物理學(xué)中，肥皂膜形成的極小曲面一直是引人入勝的研究對(duì)象。19世紀(jì)，比利時(shí)物理學(xué)家約瑟夫·普拉托通過將金屬絲框架浸入肥皂水觀察薄膜形成，提出了經(jīng)典的普拉托問題：對(duì)于任意閉合曲線，是否存在以該曲線為邊界且表面積最小的曲面？直到20世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家杰西·道格拉斯與蒂博爾·拉多才獨(dú)立證明這一問題的存在性，道格拉斯也因此成為首位菲爾茲獎(jiǎng)得主。

然而，隨著研究深入，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)問題進(jìn)入更高維空間時(shí)，極小曲面可能出現(xiàn)奇點(diǎn)——即曲面發(fā)生折疊、收縮或自交的非光滑點(diǎn)。1968年，吉姆·西蒙斯在八維空間中構(gòu)造出帶奇點(diǎn)的極小曲面，打破了“極小曲面必光滑”的認(rèn)知。盡管1985年數(shù)學(xué)家羅伯特·哈特與萊昂·西蒙證明八維空間中的奇點(diǎn)可通過微調(diào)邊界消除（即“通用正則性”），但更高維度的進(jìn)展在此后近40年間陷入停滯。

這一僵局于2023年被打破。斯坦福大學(xué)奧蒂斯·喬多什、萊斯大學(xué)克里斯托斯·曼圖利迪斯與華威大學(xué)費(fèi)利克斯·舒爾茨合作，首次證明在九維和十維空間中，光滑極小曲面仍是普遍現(xiàn)象。2025年，團(tuán)隊(duì)進(jìn)一步與康奈爾大學(xué)博士后研究員王志涵合作，將結(jié)論推進(jìn)至十一維空間。

王志涵是一名優(yōu)秀的青年數(shù)學(xué)家，他于2014年從山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)考入清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系，2018年本科畢業(yè)后赴普林斯頓大學(xué)攻讀博士學(xué)位，師從著名微分幾何學(xué)家費(fèi)爾南多·科達(dá)·馬奎斯。在2023年獲得博士學(xué)位后，他先后于芝加哥大學(xué)、康奈爾大學(xué)從事博士后研究，主要研究方向?yàn)槲⒎謳缀闻c幾何分析。

團(tuán)隊(duì)在十一維空間中的證明面臨獨(dú)特挑戰(zhàn)。曼圖利迪斯指出：“高維空間中的奇點(diǎn)類型復(fù)雜多樣，就像一個(gè)奇點(diǎn)動(dòng)物園，任何成功的論證必須足夠廣泛以覆蓋所有情況。”王志涵的專長(zhǎng)正是處理高維奇點(diǎn)的分析，他與團(tuán)隊(duì)合作改進(jìn)了名為“分離函數(shù)”的工具，通過量化奇點(diǎn)間距離，證明適當(dāng)擾動(dòng)邊界可使奇點(diǎn)消失。這一方法克服了此前技術(shù)在十一維空間中對(duì)特定三維奇點(diǎn)無(wú)效的局限。

這項(xiàng)成果被學(xué)界視為幾何分析領(lǐng)域的重要突破。斯坦福大學(xué)教授布萊恩·懷特評(píng)價(jià)：“他們將我們的理解拓展了幾個(gè)維度，這真是太棒了。”該結(jié)論不僅解決了普拉托問題在高維情形的懸疑，更為其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供了工具，例如廣義相對(duì)論中的正質(zhì)量定理——其證明曾依賴極小曲面的光滑性，此前僅適用于七維及以下空間。

在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域，這項(xiàng)突破具有深遠(yuǎn)意義。正能量定理是廣義相對(duì)論中的核心結(jié)論，斷言宇宙的總能量必為正。1970年代，Richard Schoen與丘成桐利用最小化曲面在七維及以下給出了證明；2017年，他們又把結(jié)果推廣到所有維度。如今，關(guān)于普拉托問題的新進(jìn)展為九、十、十一維提供了另一條驗(yàn)證正質(zhì)量定理的途徑，為理解宇宙的基本規(guī)律提供了新的數(shù)學(xué)工具。

盡管十一維空間的突破標(biāo)志著巨大進(jìn)步，但更高維度的普拉托問題仍待探索。舒爾茨坦言：“要進(jìn)入十二維及以上空間，我們需要全新的數(shù)學(xué)工具和思路。”數(shù)學(xué)家們期待，這一突破性方法還能應(yīng)用于材料科學(xué)、相變理論等更多領(lǐng)域，比如解釋冰的融化過程或其他物理系統(tǒng)中的界面現(xiàn)象。

無(wú)論未來(lái)結(jié)果如何，這項(xiàng)研究已為數(shù)學(xué)與物理學(xué)的交叉領(lǐng)域打開新的可能性，展示了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究在解釋自然現(xiàn)象中的持久生命力。

文章來(lái)源：水木TsinghuaCent。