從一個基本結論看函數與其原函數之間的奇偶性關聯規律

設 連續，若 為奇函數，則 的任一原函數為偶函數；若 為偶函數，則 僅有一個原函數 為奇函數．

這個結論揭示了連續函數的奇偶性與其原函數奇偶性之間的特定規律，是微積分中連接函數性質與積分運算的重要結論. 理解它不僅能幫我們快速判斷原函數的奇偶性，更能深化對原函數本質的認識——原函數并非唯一，但其奇偶性特征卻受被積函數約束.

為什么奇函數的原函數一定是偶函數？ 先明確兩個核心概念

• 奇函數：滿足 ，圖像關于原點對稱（如 ）.

• 原函數：若 ，則 是 的一個原函數，且所有原函數可表示為 （ 為常數），即兩個原函數之間只相差一個常數.

設 是連續奇函數，取其原函數為 .

要證 是偶函數，只需證 ：

對 ，令 ，則 ，當 時 ， 時 . 代入得

關鍵結論：所有原函數都是偶函數 為什么偶函數的原函數只有一個是奇函數？ 從“原函數族”的特殊性說起

偶函數滿足 （如 ），其原函數族為

證明 為奇函數，需滿足 ：

類似上述換元法可得

令 ，即

化簡得 ，故 .

唯一奇函數原函數：

當且僅當常數項 時，原函數 是奇函數. 其他原函數因含非零常數（偶函數），會破壞奇函數的對稱性（連續奇函數需滿足 ，而 時不成立）.

對比分析：奇偶函數原函數的核心差異
函數類型原函數奇偶性特征關鍵原因例子

奇函數

所有原函數都是偶函數

原函數族含常數項（偶函數），疊加后仍為偶函數

（奇函數），原函數 均為偶函數

偶函數

僅 是奇函數

非零常數項破壞奇函數對稱性，僅 時成立

（偶函數），原函數 是奇函數，而 非奇非偶

實際應用：快速判斷與解題技巧

1、已知函數奇偶性，直接定位原函數類型

• 若 是奇函數，其原函數無需計算即可確定為偶函數.

• 若 是偶函數，求其奇函數原函數時，直接取 .

2、利用原函數奇偶性反推函數的奇偶性

• 若某函數的所有原函數都是偶函數，則該函數必為奇函數.

• 若某函數存在奇函數原函數，則該函數必為偶函數（且僅當原函數不含常數項時成立）.

這個定理的本質是積分運算對奇偶性的“改造”規律：

• 奇函數經積分（求原函數）后，奇偶性反轉（奇→偶），且所有原函數保持這一性質；

• 偶函數經積分后，僅當不含常數項時才保留奇函數特性，否則奇偶性被破壞.

掌握這一規律，不僅能簡化積分計算中的奇偶性判斷，更能深化對“原函數族”多樣性與特殊性的理解——原函數的唯一性與否，恰恰是奇偶性約束的直接體現.

練 習

設 為連續函數， 是常數，判定下列函數關于 變量的奇偶性。

(1) ．

(2) ．

(3)設 為奇函數， ．

(4) ．

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