小樂數學科普：Tony Phillips教授的數學讀報評論2024-12

本月主題：

1. 古代算術錯誤

2. 翻花繩游戲中的紐結理論

3. 《科學美國人》中的ζ(3)

作者：Tony Phillips（石溪大學數學教授）2025-1-30

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-2-6

1. 古代算術錯誤

Kristina Killgrove的文章《巴比倫泥板保存了學生4000年前的幾何學錯誤》于12月2日發表在LiveScience上 https://www.livescience.com/archaeology/babylonian-tablet-preserves-students-4-000-year-old-geometry-mistake 。Killgrove講述了牛津阿什莫林博物館保存的一塊小泥板。這塊泥板于1931年在基什（Kish，今伊拉克）出土，可追溯到古巴比倫時期（公元前1900年至公元前1600年）。Killgrove告訴我們，這是“那次挖掘中發現的二十多個古代巴比倫數學作業之一”。

阿什莫林博物館1931.91號泥板的照片（直徑3.2英寸）及其謄抄

照片：Zunkir通過Wikimedia Commons維基共享資源CC BY-SA 4.0

謄抄：Eleanor Robson

解讀這塊泥板上的銘文可以讓我們了解古巴比倫的計數系統；特別是，學生的錯誤揭示了該系統的一個主要缺陷。

當時基什的數學愛好者使用了一種以60為基數的位值系統（類似于我們的十進制，但“數字”從1到59）。數字本身是用楔形文字書寫的，采用了一種本質上是十進制的表示法。

在這位學生的書寫中，垂直的錐形符號表示1，對角線符號表示10；因此，在泥板的左側，我們讀到1 52 30。這對應于1×602+52×60+30，即我們十進制表示法中的6750，表示三角形的底邊長度。

同樣，在三角形上方，學生寫下了3 45，即3×60+45或十進制的225；傳統上，這個數字表示三角形的高度。三角形內的數字應與其面積對應，即底邊長乘以高度的一半，十進制中為6750×225/2=759375，相當于3×216000+30×3600+56×60+15；因此，以60為基數，面積為3 30 56 15。

但學生在三角形內寫下的第二個“數字”是8。下一個數字大部分被遮擋，最后一個數字以5結尾。這顯然是不正確的（而污跡可能是老師打的紅色叉號）。在這個簡單的計算中，可能出了什么問題？

Eleanor Robson是一位研究古巴比倫數學的英國專家，她于2004年在SCIAMVS期刊上發表了這塊泥板的研究 https://sciamvs.org/files/SCIAMVS_05_003-065_Robson.pdf ；文章中她通過逆向工程分析了學生的答案，找出了錯誤的來源。她的猜測是：古巴比倫人缺乏表示零的符號。當零出現在多位數字中時，巴比倫人只是留空。

在Robson的分析中，學生可能會將1 52 30分解為1 00 00 + 50 00 + 2 00 + 30，并將這些數字與3 45分別相乘后相加。這給出了1 52 30×3 45=3 45 00 00+3 7 30 00+7 30 00+1 52 30。但要正確相加，60的相同冪次必須對齊，因此學生應該在某個地方寫下如下內容：（我用下劃線_表示空白。）

將其除以 2 得到正確答案 3 30 56 15。

在Robson的重建中，學生將第一個乘積誤抄為3_45_，并得到了

將其除以2得到3 8 48 45，這與泥板上可讀到的答案一致。

這顯然是一個非常容易犯的錯誤：如果兩個連續“數字”之間的空格稍大些，它可能會被讀作零。古巴比倫人能使用這種潛在風險的符號系統長達多個世紀（直到公元前300年左右）的原因之一可能是他們的基數較大。在我們當今的數字中，平均每10個數字中有一個是零，而在以60為基數的系統中，這一概率僅為60分之一。

2. 翻花繩游戲中的紐結理論

12月4日發表在《英國皇家學會界面雜志》Journal of the Royal Society Interface 上的一篇文章使用紐結理論的符號和概念對翻花繩圖案進行分類，并研究其地理分布 https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsif.2024.0673 。

翻花繩（string figures，翻線戲，翻繩兒，挑繃子）是一種游戲，涉及用雙手的十根手指編織一個長繩圈。根據作者的說法，它們是“全球文化傳統中最常見的娛樂形式之一”。“Cat’s Cradle”（字面意思，貓的搖籃）是英語國家中的一種變體。最廣泛的翻花繩圖案之一是“雅各布的梯子”。

翻花繩圖案示例：一個類似于梯子的翻花繩圖案，帶有多個橫檔

雅各布的梯子翻花繩圖案出現在六大洲的土著文化中。關于其構造，請參見此視頻 https://www.youtube.com/watch?v=Vd5erYjjEhI&list=PLc7bqVSkVAp6MkSiFzEymh10NN-bY6EXc&index=4 。圖片來自《皇家學會界面雜志》補充表 1，CC BY 4.0許可使用。

翻花繩的復雜性和特異性使其像語言一樣，成為一種代代相傳的文化標志。它們長期以來一直吸引著人類學家的注意——文章中包括阿爾弗雷德·拉塞爾·華萊士（Alfred Russel Wallace）的描述，他在1860年左右在馬來群島的一個雨天向一些年輕的達雅克部落成員展示了“翻花繩”。

（“令我驚訝的是，他們對此了如指掌，甚至比我懂得更多?！保┑到y地比較來自遙遠文化的例子，科學家需要一種可靠的方法來編碼翻花繩圖案。直到現在，還沒有這樣的編碼。

這篇新文章提出了一種解決方案：“高斯碼”，它可以從圖案的二維圖形中計算出來。高斯碼用于數學中的紐結研究，但它同樣適用于研究復雜的無結環，如翻花繩圖案；它最早出現在卡爾·弗里德里?！じ咚梗–arl Friedrich Gauss，1777 - 1855）的遺稿中，可追溯到1840年左右。

卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777 - 1855）

一個平面投影的環（無論是否打結）的高斯碼記錄如下：選擇一個起點和沿環的旅行方向。從起點開始沿該方向追蹤環，并在第一次遇到每個交叉點時編號。完成后，你就可以寫下高斯碼了。為此繼續進行下去，完成一次完整的遍歷。

這將涉及每個交叉點兩次：一次是在下方穿過，另一次是在上方穿過。當你沿著環移動時，記錄遇到的數字，但如果在該交叉點下方穿過，則加上負號。

對于一個有n個交叉點的圖案，你將得到一個包含2n個整數的字符串，每個整數在字符串中出現兩次，一次帶負號，一次不帶負號。這就是高斯碼。請注意，你記錄的代碼取決于你選擇的起點和方向。對于一個有n個交叉點的圖案，最多可以有2n個不同的代碼——2種可能的方向乘以n種起點選擇。

示例圖案，從左到右：a. 有三個交叉點的三葉結，右上交叉點為上交叉。b. 右上交叉點為下交叉的三葉結。c. 有四個交叉點的八字結。

右手（a）和左手（b）三葉結以及八字結（c）的高斯碼。

在所示的起點和方向選擇下，兩個三葉結的高斯碼相同：1 -2 3 -1 2 -3。

（一般來說，鏡像圖案具有相同的高斯碼。這對于研究翻花繩圖案來說不是問題，因為同一個翻花繩圖案可以被編織者看到，也可以被觀眾舉起檢查。）

對于八字結，高斯碼為1 -2 3 -1 4 -3 2 -4。

圖源：Tony Phillips

《界面》文章的作者檢查了來自92個不同文化群體的826個翻花繩圖案，并使用高斯碼進行比較。但一個翻花繩圖案可以有多個高斯碼的事實帶來了一個問題。如果兩個圖案相同但分配了不同的代碼，它們的相似性將被忽略。

為了解決這個問題，作者為一個有n個交叉點的翻花繩圖案分配了所有2n個可能的代碼。這個包含2n個代碼的整數字符串被稱為圖案的“高斯碼序列”。

“雅各布的梯子”示例

雅各布的梯子，交叉點按順時針編號。對于圖中所示的起點和起始方向，雅各布的梯子的高斯碼為 -1 2 -3 4 5 -6 7 -8 -9 10 -11 -12 13 14 -15 16 -17 18 -4 3 19 -20 -2 1 21 -22 23 24 -25 -26 27 17 -16 -13 12 11 -10 9 8 -7 -14 15 6 -5 -18 -27 26 -19 20 25 -24 -23 22 -21。

圖片來自上述《界面》文章的補充信息，CC BY 4.0 許可使用

有了一個明確表示每個翻花繩圖案的數值標記，作者可以機械地掃描整個語料庫，尋找完全或部分匹配。他們發現了83類重復設計；826個圖案中有380個屬于這些類別之一，其中7個類別包含10個或更多個體圖案。

作者評論道：“一些翻花繩設計的廣泛分布不僅反映了這種實踐的深厚淵源，還反映了特定設計的深厚淵源。”

作者特別關注了雅各布的梯子，它出現在六大洲的26個不同文化群體中。他們做出了以下觀察：

雅各布的梯子非常復雜，比一般的翻花繩圖案復雜得多；其構造以“一個不尋常的擴展動作……新手通常覺得不直觀且難以執行”結束。

大多數雅各布的梯子都是用完全相同的步驟序列制作的。這與一般的翻花繩圖案不同。特別是，在所有檢查的樣本中，第一個動作對是用右手先執行的。此外，在除一個樣本外的所有樣本中，該動作是用中指完成的，而食指同樣可以完成。

如果該設計在多個地點獨立演化，人們會期望出現各種形式——“偽雅各布的梯子”，它們看起來幾乎相同。語料庫中包含了一些偽雅各布的梯子，但比獨立演化預期的要少得多。

他們得出結論：“雅各布的梯子在文化中的普遍性、復雜性和一致性表明了一個共享且可能非常古老的淵源”，并建議它和其他翻花繩圖案“可能深深編織在人類進化的結構中”。

3. 《科學美國人》中的ζ(3)

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）證明了驚人的恒等式

1+1/22+1/32+?=π2/6

伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826 - 1866）將其推廣到對

1+1/2?+1/3?+?

的研究，其中x是任意實數或復數。黎曼用ζ(x)表示這個和，定義了“黎曼zeta函數”。這個函數在數學的核心中占據了特殊的位置。

它的復根是黎曼假設的主題，可能是我們這個時代最著名的未解決數學問題。數值證據壓倒性地表明該假設是正確的，但沒有人能夠證明它。其證明將產生深遠的影響，特別是在數論中，因為該假設與素數的分布密切相關。

在黎曼的符號中，歐拉的恒等式是ζ(2)=π2/6 。歐拉還給出了ζ(4)、ζ(6)、ζ(8) 等類似但更復雜的公式——即ζ(x)在偶數x處的值。這些值總是（有理數）×（π的冪）的形式。由于π是已知的超越數，這些都是無理數。

這就剩下了關于ζ(x)在奇數x處的值的問題。自奧雷斯姆（Oresme，約1320 - 1382）以來，人們就知道調和級數1+1/2+1/3+?的和，即ζ(1)，沒有有限的極限，但ζ(3)呢？該級數是收斂的；

除此之外一無所知，直到1978 年，羅杰·阿佩里（Roger Apéry，1916-1994）宣布他證明了ζ(3)實際上是無理數。Manon Bischoff在《Spektrum der Wissenschaften》上發表的一篇文章（由《科學美國人》于2024年12月19日翻譯并發表 https://www.spektrum.de/kolumne/die-apery-konstante-bringt-mathematiker-zur-verzweiflung/2242671 ）回顧了阿佩里分享他成就的會議。其副標題稱那次場合是“數學史上最奇怪的事件之一”。

Bischoff將阿佩里描述為“一位當時相對不知名且年過六旬的法國數學家”。事實上，阿佩里在非常輝煌的起步之后（他是巴黎高等師范學院的畢業生，曾在法國國家數學Agrégation考試中并列第一名），當時他61歲，在一所省級大學研究意大利風格的代數幾何問題，這是一個當時相當不流行的領域。（參見MacTutor了解完整的傳記。https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apery/ ）

他的演講對他討論的情況并沒有太多幫助。根據Bischoff的描述，第一個項目是“以前未知的”級數表示ζ(3)。當阿佩里被問及此事時，據說他聲稱這樣的公式“在我的花園里生長”。

那次講座由荷蘭-澳大利亞數論學家阿爾弗雷德·范德波爾滕（Alfred van der Poorten，1942 - 2010）參加，他為《數學情報員》Mathematical Intelligencer 寫了一篇詳細的“非正式報告” https://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf ：“盡管之前有報道稱他聲稱有一個證明，但遭受普遍懷疑。

這次講座傾向于加強這種觀點，甚至到了完全不相信的地步。”但范德波爾滕接著稱，同樣在場的亨利·科恩（Henri Cohen，現為波爾多榮譽退休教授）理解了要點，并在當晚晚些時候說服他“阿佩里教授確實找到了一個非常神奇且壯觀的ζ(3)的無理性證明。”（他還告訴我們，阿佩里的不太可能的級數表達式實際上“相當知名”，并已出現在印刷品中。）

除了對zeta函數歷史的簡要介紹外，Bischoff還提到了它在量子物理學中非常有趣的幽靈般的顯現，其中這個常數扮演了一個特殊角色。更多細節請參見Walter Dittrich（蒂賓根Tübingen）在2019年Universe報告中的結尾部分 https://s3.cern.ch/inspire-prod-files-4/4f64f3764c9f5a66adf7ea293e86881a ，他寫道，數字ζ(3)“對于在QED（量子電動力學）中進行計算的人們來說具有巨大的價值，例如電子（和μ子）反常磁矩的二階和三階（在α中）輻射修正，這是物理學中測量和計算最精確的數字之一?！?/p>

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-december-2024/

https://www.livescience.com/archaeology/babylonian-tablet-preserves-students-4-000-year-old-geometry-mistake

https://sciamvs.org/files/SCIAMVS_05_003-065_Robson.pdf

https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsif.2024.0673

https://www.youtube.com/watch?v=Vd5erYjjEhI&list=PLc7bqVSkVAp6MkSiFzEymh10NN-bY6EXc&index=4

https://www.spektrum.de/kolumne/die-apery-konstante-bringt-mathematiker-zur-verzweiflung/2242671

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apery/

https://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf

https://s3.cern.ch/inspire-prod-files-4/4f64f3764c9f5a66adf7ea293e86881a

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