我們為什么需要統計學

數據本身就只是數據而已。 它們所蘊含的意義全是人類賦予的。 —納特 · 西爾弗，《信號與噪聲》

作者：戴維·施皮格爾霍爾特（David Spiegelhalter）

哈羅德·希普曼是整個英國犯罪史上殺人數量最多的兇殺犯，盡管從表面上看他根本不符合連環殺手的典型特征。事實上，他是一位待人和善的家庭醫生，在曼徹斯特的城郊工作。1975—1998 年，他至少為 215 名患者注射了過量的阿片類藥物，其中大部分是老年人。希普曼的惡行之所以會敗露，是因為他試圖偽造某名患者的遺囑并從中受益：這名患者的女兒是一名律師，變更后的遺囑引起了她的懷疑。經刑偵分析后發現，哈羅德·希普曼的電腦里留下了大量篡改病例的痕跡，這使得那些患者的病情看起來比實際情況嚴重得多。不過，雖然他很早以前就開始學習電腦知識，他的技術卻不甚高明，以至于他完全不知道每次篡改病例都會在系統里留下記錄（這些帶有時間戳的記錄是一個很好的例子，它可以說明有些時候數據能夠揭示背后的真相）。

辦案人員挖出了 15 位土葬逝者的遺體，發現他們體內均含有致命劑量的二乙酰嗎啡（海洛因的學名）。隨后在 1999 年，哈羅德·希普曼因 15 起謀殺案被司法機關起訴，但他選擇不為自己做任何辯護，整個審判過程中他一言不發。最終法庭認定他有罪，判處他終身監禁，并成立了一個公開調查小組，以查明除了目前認定的這些罪行，他還有哪些未被發覺的罪行，并調查警方是否本可更早將其抓捕。這個公開調查小組請來了多位統計學家，我也是其中之一。我們最終得出的結論是，有充分的證據表明他至少謀殺了 215 名患者，另外還有45 名受害者很可能也是被他殺害的。

本書的重點在于“以統計科學（statistical science）的視角，回答當人們想更好地了解這個世界時所遇到的種種問題”—這些重要問題會以深灰色矩形框的形式在書中標示出來。為了進一步弄清哈羅德·希普曼事件的來龍去脈，我們會很自然地想到這樣一個問題：哈羅德·希普曼謀害的都是些什么樣的人？他們是在什么時候遇害的？

這次公開調查查明了每名受害者的年齡、性別、死亡日期等詳細信息，如圖 0-1 所示。該圖看上去有些復雜，它是一張基于受害者年齡與死亡年份的散點圖，黑色的數據點代表女性，灰色的數據點代表男性。疊加在上方和右側的條形圖表示各年齡段（以 5 年為間距）、各年份死亡人數的分布。

圖 0-1 哈羅德·希普曼的患者遇害時的年齡及遇害年份

該圖為哈羅德· 希普曼事件中，基于 215 名受害者年齡、死亡年份的散點圖。上方和右側的條形圖可以體現出各年齡段、各年份死亡人數的分布狀況，即哈羅德· 希普曼的作案規律。

通過觀察圖 0-1，我們可以得出一些初步結論。比如黑點數量多于灰點，這說明受害者主要是女性。另外從右側的條形圖可以看出，受害者大多是七八十歲的人；再仔細看看數據點的分布，我們又會發現，隨著時間的推移，受害者中逐漸多了一些年輕人。此外，上方的條形圖清楚地表明，1992 年前后的某段時間，哈羅德·希普曼停止了作案。調查后，我們發現了原因：在此之前，哈羅德·希普曼一直都是和其他醫生協同工作，或許是因為同事對他產生了懷疑，他離開了團隊，獨自開了一家全科診所。之后他的犯罪活動變得愈加頻繁，正如條形圖所示。

對調查發現的這些受害者進行數據分析之后，我們對他的作案方式產生了更多疑問。根據死亡證明上的信息，我們整理了死在哈羅德·希普曼手中的患者的具體死亡時間，如圖 0-2 所示。這是一張折線圖，黑線是哈羅德·希普曼的患者的死亡時間，灰線是當地其他家庭醫生的患者的死亡時間（來自抽樣數據）。其中的規律實在太“顯眼”了，完全不需要任何細致分析就能看出來：哈羅德·希普曼的患者大多死于午后到傍晚這段時間。

雖然數據本身無法解釋背后的原因，但進一步調查后我們發現，他總是在午飯之后對患者進行家訪，這段時間內他經?？梢耘c患者獨處。他會以緩解病痛為借口給患者打上一針，但注射器中放置的實際上是致命劑量的二乙酰嗎啡：患者安然離世之后，他就會篡改他們的病歷，好讓大家覺得這些都是正常死亡。身為調查小組負責人的珍妮特·史密斯爵士后來發出了如此感慨：“直到現在我都感到一陣陣害怕，那種感覺簡直難以言表。他居然可以每天背著致命武器去見患者，然后裝成一副溫柔體貼的模樣……他怎么能如此淡然地殺人呢！”

雖然他的作案手法風險很高，只需要一次驗尸就會暴露，但由于他的患者大多年事已高，且尸體很符合自然死亡的特征，案發前竟沒有任何一具尸體被檢驗過。而且他從未解釋自己的作案動機：審判時他一言不發，被抓之前也從來沒有向任何人透露過自己的惡行，哪怕是自己的家人。被關押后沒多久，他就在監獄中自殺了，死亡時的年齡剛好可以讓他的妻子領取一筆撫恤金

圖 0-2 哈羅德·希普曼的患者的死亡時間與當地其他家庭醫生的患者的死亡時間對比，其中的規律不需要任何細致分析便可以看出。

我們可以把這種迭代性的、探索性的工作看作刑偵領域特有的一種統計學，這種統計學不涉及數學公式，也不涉及復雜理論，我們唯一的目的就是找出規律，然后利用這些規律發現更多的問題。雖然我們只能根據每起案件的確鑿證據去給哈羅德·希普曼定罪，但這種數據分析可以幫助我們理解他的犯罪模式。

在第 10 章中，我會向大家說明，正式的統計分析是否可以幫助我們更早地發現哈羅德·希普曼的罪行。另一方面，哈羅德·希普曼的故事可以充分地說明，數據分析是一種強有力的工具，它可以幫助我們理解這個世界，做出更準確的判斷，而這正是統計學的意義所在。

將世界數據化

對哈羅德·希普曼的犯罪行為進行數據統計時，我們需要放下這一連串的悲劇所帶來的情感沖擊，所有人的生死、特征都必須簡化為一組可以計算、可以用圖表展現的數字或事實。雖然這看上去有些不近人情，但我們只要想用統計學來闡釋世界，就必須嚴肅起來，將日常的種種體驗和感受轉化為數據，這意味著我們需要對事件進行分類和標記、記錄觀測結果、分析結果、給出結論。

雖然分類和標記聽上去很簡單，但在實際過程中我們可能會遇到很大的挑戰。下面這個問題就是一個很好的例子，每個關心環境的人應該都會對這個問題產生興趣：地球上一共有多少棵樹？

在思索該如何回答這一問題之前，我們首先要解決一個更基本的問題：什么是“樹”？你可能會覺得，只要看到一棵樹就能認出它是一棵樹，但你有沒有想過，你的判斷可能會和別人大相徑庭。你認為是樹的東西，在他人看來有可能只是一個灌木叢。因此，為了將個人體驗轉化為數據，我們首先要給出嚴格的定義。

根據官方給出的定義，“樹”是一種胸徑足夠大、具有木質莖干的植物。美國林務局認為，一株胸徑大于 5 英寸的植物才能被稱為“樹”，但其他大多數權威機構給出的標準卻只有 4 英寸。

還有一個問題是，我們不可能踏遍整個地球，逐一測量每一株具有木質莖干的植物的胸徑，然后統計出符合標準的數量。因此，研究人員采用了一個更具可行性的辦法：他們按照地貌類型區分出了一系列地區，即“生物群系”，然后統計了每平方千米的樹木均量。之后他們利用衛星圖像估算出了每種生物群系的總面積，并建立了復雜的統計模型，最終算出地球上一共大約有 3.04 萬億棵樹。雖然這一數值聽上去非常大，但你要知道，他們之前的估算值幾乎是這一數值的兩倍。

就連“樹”的定義也存在分歧，那么更模糊的概念變得更難以定義，這也就不足為奇了。舉個極端的例子：英國對“失業”的官方定義，在 1979—1996 年至少變更過 31 次。另外 GDP（國內生產總值）的定義也在不斷修訂，比如在 2014 年，英國將非法毒品交易和賣淫的產值也算到了 GDP 當中，對這些領域的產值估算用到了一些不同尋常的數據源，比如 Punternet 網站，該網站主要提供賣淫服務價目表，以及嫖客點評功能。

就連個人感受這種東西也可以被數據化，然后進行統計分析。2017 年 9 月，即財政年度末尾，15 萬英國民眾接受了一項調查：“以滿分 10 分來算，你認為自己昨天過得有多幸福？”6 大家的平均分為 7.5 分，比 2012 年的 7.3 分有所提高，具體原因可能和 2008 年金融危機之后經濟逐漸復蘇有關。另外，50~54 歲年齡段的人評分最低，70~74 歲年齡段的人評分最高，這一結果簡直“太英國了”。

幸福感很難衡量，不過判斷一個人是生是死應該要簡單得多：正如本書中的一些例子所展示的，生和死是統計學中相當常見的問題。然而在美國，每個州對死亡都有著單獨的法律定義，盡管 1981年曾出臺了《統一死亡認定法案》，旨在建立一個統一的死亡認定標準，但各州之間仍存在著細微差異。原則上來講，一位在亞拉巴馬州被宣布死亡的逝者，穿過佛羅里達州的邊界之后就不再是法律意義上的逝者了，因為根據佛羅里達州的規定，死亡登記必須由兩名經過認定的醫生執行。

這些例子表明，統計數據總是建立在主觀判斷之上，想要把復雜的個人體驗完完全全并十分準確地轉換為數據編碼，放進電子表格或統計軟件，根本就是一件不可能的事。雖然對個體特征和我們周圍世界的特征進行定義、計算、測量是一件很困難的事，但我們得到的也只有信息而已，這只是我們認知世界的第一步。

這種情況下，我們需要注意數據有兩大局限性。首先，數據幾乎總是無法完美衡量我們的喜好程度：詢問大家在滿分為 10 分的情況下，上周過得有多幸福，實際上很難概括出國民的幸福水平。其次，任何一個我們試圖將其數據化的事物，都會因地點、人物、時間產生差異，核心問題就在于，我們該如何從這些看上去有些隨機的變異性（variability）中提煉出有價值的結論。

幾個世紀以來，統計學一直都是我們認知世界的最重要的工具之一，但統計學家們總是避不開這兩大難題。不過另一方面，統計學也為我們“該如何闡釋這些不完美的數據”提供了堅實的理論基礎，讓我們可以將有意義的相關性和因個體差異而產生的噪聲區分開來。不過世界總是在不斷變化，我們會不斷面臨新的問題，不斷發現新的數據來源，所以統計學也會隨著時代的發展而不斷更新。

雖然人類每時每刻都在計算、測量，但直到 17 世紀 50 年代左右，現代統計學才真正開始逐漸發展成一門獨立學科，正如我們將在第 8章中看到的，布萊瑟·帕斯卡和皮埃爾·費馬在這一時期首次正確理解了概率論。由于有了處理變異性的堅實數學基礎，統計學也得以迅速發展。結合人死亡年齡的數據，概率論為計算養老金和年金提供了堅實的基礎。當科學家們掌握了如何利用概率理論處理測量中的變異性時，天文學也經歷了革命性的變革。維多利亞時代，很多數學愛好者癡迷于收集人體數據（以及其他各種數據），這使得統計分析和遺傳學、生物學、醫學之間建立了緊密的聯系。到了 20 世紀，統計學變得更加數學化，然而遺憾的是，對許多學生和從業者來說，統計學似乎僅僅是對一套統計工具機械應用的代名詞，而其中很多工具都是以統計學家的名字命名的，關于這些統計學家，之后的章節會有詳細介紹。

這種將統計學視為一種“工具”并機械地應用于各種情境，而沒有更深入理解或思考的觀點，目前正面臨著重大挑戰。首先，我們正處于一個數據科學（data science）的時代，企業和機構正在從交通監控、社交媒體、網購貨物等日常信息中統計出龐大且復雜的數據集，并據此進行旅行路線優化、個性化廣告推薦、購物商品推薦等技術創新—第 6 章中，我們會介紹建立在大數據（big data）之上的各種算法（algorithm）。統計知識、數據管理、編程技巧、算法研發等知識或能力，逐漸成為數據科學家必備的技能。

隨著大規模數據集和方便快捷的分析軟件的普及，有不少人覺得統計方法的專業培訓似乎變成了一件可有可無的事，這種觀點實在過于天真。事實上，數據處理量正在變得越來越大，科學研究的數量和復雜度也在不斷攀升，我們越來越難以歸納出合理的結論，這使得我們對統計知識的需求不降反增。面對愈加龐雜的數據，我們必須更深入了解數據的價值所在。