永別了，背公式時代！波蘭物理學家用一個算子統一數學

新智元報道

編輯：KingHZ

【新智元導讀】別再為背公式發愁了！一個算子eml(x,y)就能搞定一切。指數函數？y=1即可。對數？三層嵌套。π？五層。這項發現不僅改變數學觀，還啟發我們：宇宙底層代碼可能極致簡短，一個算子統治全部。

你背過多少數學公式？

sin、cos、tan、ln、log、sqrt、指數、冪運算、雙曲函數……

從初中到大學，這些符號像野草一樣在你的筆記本里瘋長，每一個都有自己的定義、自己的圖像、自己的一堆性質。

你以為數學就是這樣——越學越多，越學越雜，公式背不完，卷子做不盡。

但如果我告訴你：這些東西，全部，沒有例外，都是同一個公式的變體呢？

2026年4月，波蘭雅蓋隆大學的物理學家安杰伊·奧德爾齊沃萊克（Andrzej Odrzywo?ek）在扔出了一篇論文，標題翻譯過來就是：「用單個二元算子生成所有初等函數」。

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.21852

這個算子長這樣：eml(x, y) = e? ? ln(y)。

沒了。就這一行。指數減去對數。

然后他證明了一件事，讓整個數學圈「地震」：只要你不斷地把這個算子嵌套進自己——就像俄羅斯套娃一樣一層套一層——你可以從中推導出科學計算器上的每一個按鍵。

三角函數，對數，根號，冪運算，雙曲函數，甚至連圓周率π和自然常數e都能從里面「長」出來。

科學計算器上幾十個按鍵，理論上只需要一個。

一個算子統治所有函數，憑什么？

先看最簡單的例子。

要得到指數函數e?？把y設成1就行：eml(x,1)=e??ln(1)=e??0=e?。

一步到位。

要得到自然常數e本身？把兩個輸入都設成1：

eml(1,1)=e1?ln(1)=e?0=e

常數e直接彈出來。

要得到對數函數ln(x)？這就需要三層嵌套了：

先用eml構造出一個中間值，再把它喂回eml，讓指數和對數互相抵消，最終剩下的就是ln(x)=eml(1,eml(eml(1,x),1))。

而要得到π？

五層嵌套。用到了歐拉公式e^(iπ)=?1的逆向推導——先構造出?1，再取復數對數，π就從中浮現。

要得到虛數單位i？六層。

要做加法x+y？這個看似最基礎的運算，反而需要五層嵌套才能表達。

因為eml的底層語言是指數和對數，它要先把加法翻譯成ln(e?·e?)這種"指數-對數"方言，再用eml的嵌套把它拼出來。

這聽起來像是一場精巧的數學魔術。但奧德爾齊沃萊克通過詳盡的計算搜索證明：這不是個別巧合，而是系統性的完備性。

每一個初等函數，都能在這棵「嵌套樹」上找到自己的位置。

數學界的「與非門」

為什么程序員最先炸了

如果你是程序員，你一定聽過一個經典事實：現代計算機的全部邏輯，理論上只需要一種門電路——與非門（NAND gate）。

AND、OR、NOT、XOR……所有布爾邏輯運算，都可以用NAND門的不同組合來實現。

NAND門，就是數字世界的「萬能積木」。

整個CPU，從本質上說，就是幾十億個NAND門的排列組合。

而奧德爾齊沃萊克發現的eml算子，做了一件完全類比的事情——只不過它的戰場不是離散的0和1，而是連續數學的整個疆域。

正如The Register形容的那樣：數字硬件中只需要一個二輸入門就能實現所有布爾邏輯，而現在連續數學也可能有了自己的類似原語。

有人立刻聯想到了Y組合子——另一個"從虛無中創造萬物"的計算機科學經典概念。

更有意思的是質疑的聲音。有人問：超幾何函數不是早就統一了這些函數嗎？這個發現的邊界到底在哪里？

也有人追問：用eml門來做運算，復雜度真的比傳統方法更低嗎？

這些討論恰恰說明了這項發現的價值——它不是在回答一個舊問題，而是在提出一個新問題：連續數學的最小公理集，到底可以多小？

反直覺的真相：數學的盡頭是極簡

我們從小接受的數學教育給了我們一個根深蒂固的印象：數學是一座不斷向上生長的大廈，每一層都比上一層更復雜。

從加減乘除到方程，從方程到函數，從函數到微積分，知識只會越積越多，公式只會越背越厚。

但eml算子的發現，像一把手術刀，劃開了這座大廈的外墻，露出了里面的鋼筋骨架——而那根骨架，細得令人窒息。

三百年來折磨了無數學生的龐雜函數族譜：三角函數、反三角函數、雙曲函數、對數函數、冪函數……

它們看似各自獨立，各有各的公式和性質。

但現在我們知道了，它們全部是同一個「超級祖先」的后代，都是eml(x,y)=e??ln(y)這一行代碼通過不同方式自我折疊后的產物。

這不是數學變簡單了。

這是我們終于看清了：數學從來就沒有那么復雜過。

這像極了物理學的歷程。

牛頓之前，人們以為天上的運動和地上的運動是兩套完全不同的規則。直到萬有引力把它們統一了。麥克斯韋之前，電和磁是兩種毫不相干的現象。

直到電磁方程組把它們統一了。現在，數學的初等函數世界里，也出現了自己的「統一場論」。

波蘭雅蓋隆大學的物理學家Andrzej Odrzywo?ek

如果你愿意把想象力再往前推一步，這項發現會帶你到一些有趣的地方。

如果宇宙的數學底層邏輯真的可以用某種「源代碼」描述，那這段源代碼可能比任何人想象的都要短。

eml算子暗示了一種可能性：宇宙——無論你怎么定義這個詞——可能是一個極致的極簡主義者。

不是創造了一百種工具來搭建世界，而是只寫了一行函數，然后讓它自我折疊、自我嵌套，最終涌現出了三角函數、對數、微積分乃至整個物理世界的數學語言。

這個思路在AI時代有一層格外的意味。

當下的大語言模型——GPT、Claude、Gemini——它們的策略是「大力出奇跡」：用千億級參數、海量數據、巨大算力來窮舉人類知識的所有模式。

這是一條「從復雜到復雜」的路。而奧德爾齊沃萊克的發現指向了一條相反的路：從極簡到萬物。

一個算子，一個常數，無限嵌套，全部涌現。

這不禁讓人追問：如果連續數學的底層可以如此精簡，那未來的AI架構是否也存在某種「單算子」式的底層重構？是否有一種尚未被發現的計算原語，能夠用極少的參數完成今天需要千億參數才能做到的事？

沒有人知道答案。但這個問題本身，可能比答案更重要。

參考資料：

https://arxiv.org/abs/2603.21852