他與達芬奇齊名，因沉迷賭博而創立了概率學，因愛上占星而預測出自己的死期，最后結局荒誕……

伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart），著名數學家，享譽世界的數學科普作家，英國皇家學會會士。曾獲英國皇家學會的“法拉第獎章”、美國科學促進會的“公眾理解科學技術獎”和英國倫敦數學學會與英國數學及應用研究院頒發“塞曼獎章”，英國沃里克大學數學系榮退教授。

他的新作《數學巨人傳：思考、創造的奇趣故事》講述了阿基米德、劉徽、花拉子米、牛頓、費馬、高斯、黎曼、龐加萊、圖靈、拉馬努金、諾特和哥德爾等25位數學家的非凡生活和驚人發現。這些數學巨人的人生本就如同小說般精彩，更何況他們開創了數學。

今天就來講講那個集古典文學、數學、物理、化學、生物學、醫學、哲學、占星學都卓有成績的卡爾達諾的股市

來源 | 《數學巨人傳 : 思考、創造的奇趣故事》

作者 | [英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者 | 張憬

在十分年幼之時，我便全身心投入劍術修習，嚴肅對待每一節課，通過堅持不懈的訓練，終于在最勇猛的人當中也有了一定的地位。晚上，我甚至敢違抗公爵的命令，全副武裝，在我居住的城市四處潛行。我戴著黑色的羊毛面罩，擋住自己的臉，腳穿羊皮鞋。我經常整夜在外面游蕩，直到天亮，賣力地演奏樂器，并因此汗流浹背。

這是 1520 年前后，文藝復興時期的意式生活——至少對卡爾達諾來說是這樣。他在自傳《我的生平》（The Book of My Life）中坦白了許多事，包括上面那段。卡爾達諾是個多面手，在數學和醫學方面尤其天賦異稟，享受著（如果可以這么說的話）肥皂劇和八卦小報似的職業生涯。

他揮霍家產，沉迷賭博，搞得自己身敗名裂，貧困潦倒。他曾經因為懷疑別人出老千，用刀劃破對方的臉。他被指控為異端，遭到囚禁；他的兒子因毒害妻子而被處死。

不過，卡爾達諾還曾讓失語的圣安德魯斯主教（Bishop of St Andrews）重新開口說話，并且贏得了1400 金克朗的獎賞。帶著勝利回到意大利之后，卡爾達諾加入了米蘭的醫生協會，這里曾在幾十年間拼命將他拒之門外。

最重要的是，卡爾達諾是一位數學大師，撰寫了一本超越時代的偉大教材——《大術》（Ars Magna），副標題是“代數的法則”。經由《大術》，代數學走向成熟，同時擁有了符號，得到了系統發展。卡爾達諾可以被視為“代數學之父”的又一位競爭者。不過，和其他幾位一樣，讓他獲得這個頭銜是存在爭議的，情況沒有那么簡單。

卡 爾 達 諾 是 個 私 生 子。 他 的 父 親 法 齊 奧· 卡 爾 達 諾（Fazio Cardano）是一名律師，有很強的數學天賦，脾氣一點就著。他住在帕維亞（Pavia），是列奧納多·達·芬奇（Leonardo da Vinci）的朋友。

他總穿一件與眾不同的紫色斗篷，戴一頂黑色小帽，55 歲時牙齒已經掉光。卡爾達諾的母親基婭拉·米凱里亞（Chiara Micheria）是個年輕的寡婦，早有三個孩子，在生下卡爾達諾多年后嫁給了他的父親。她身材肥胖，脾氣和法齊奧不相上下，說生氣就生氣。她也是非常虔誠、極其聰明的人。基婭拉再次懷孕時，米蘭出現了瘟疫，于是她搬到了鄉下，而三個年齡較大的孩子則留在城里，最終染病而死。即將出生的卡爾達諾并沒有帶來喜悅：“雖然嘗試了多種墮胎藥……但都徒勞無功，我還是在 1501 年 9 月 24 日正常出生了。”

法齊奧的職業是律師，但他精通數學，曾為達·芬奇提供幾何方面的建議，并且在帕維亞大學和米蘭的皮亞蒂（Piatti）基金會教授幾何學。他將自己的數學和占星技能傳授給了兒子：“我的父親在我幼年時就教我算術的基礎知識，還同時讓我了解了一些神秘的東西……他教我阿拉伯占星術的要素……在我 12 歲以后，他教我歐幾里得《幾何原本》的前六卷書。”

卡爾達諾兒時體弱多病，父親原本計劃讓他繼承法律事業，但沒能如愿。他進入帕維亞大學攻讀醫學，成績優異，盡管被許多人認為口不擇言、性格討厭，但他還是以一票的優勢當選為校代表。成功沖昏了他的頭腦。正是在這個時期，他開始帶著劍和樂器在城市的大街小巷游蕩，并且開始賭博。因為對運氣背后的數學頗為了解，卡爾達諾獲得了不小的優勢。1564 年前后，他寫下了最早的概率論著作之一——《賭博之書》（Book on Games of Chance），最終在 1663 年出版。

他還能靠下棋賺錢，這也是一份收入。但隨著卡爾達諾變得越來越放蕩不羈，他既失去了運氣，也失去了遺產。

但生活還要繼續。此時，卡爾達諾已經有了醫學學位，他試圖進入米蘭的醫生協會，這是通往高收入職業和舒適生活的大門。然而這一次，他的口無遮攔讓期待落空了，他被拒之門外，于是在附近的一個村莊當了醫生。干著這份只能糊口的工作，他娶了民兵隊長的女兒露西婭·班達里尼（Lucia Bandarini）為妻。

由于再次被協會拒絕，他重上賭桌，結果損失了一大筆錢。他典當了家中所有的財產，包括露西婭的珠寶，最后全家一貧如洗，幾乎走投無路。“我毀了自己！我完蛋了！”卡爾達諾這樣寫道。他和露西婭生了一個孩子，這孩子有多種輕微的先天缺陷，但在當時不被認為是殘疾。此時法齊奧已經去世，卡爾達諾被定為他的繼承人，事情終于有了轉機。

1539 年，就連醫生協會也不再排斥他了。他還有了新的發展，出版了幾本數學著作，其中一本使他毫無爭議地躋身于數學開拓者的行列。

數學中的多數領域都是在復雜而混亂的歷史進程中產生的，缺乏明確的方向，原因就在于，當零散的想法開始互相關聯時，方向才真正浮現出來。數學的叢林會在人的探索中不斷生長。代數某些特點的呈現可以追溯到古希臘人，那時他們甚至沒有有效的符號可以代表整數。丟番圖發明了代表未知數的簡略符號，大大促進了代數雛形的發展，但他的研究重點是解整數方程，與數論的聯系更為直接。古希臘和波斯的幾何學家用純粹的幾何方法解決了我們現在認為屬于代數的問題。花拉子米規范了代數的過程，但沒能引入符號表示。

早在這一切發生之前，古巴比倫人就已經發現了代數學中第一項真正重要的技術：解二次方程。我們現在承認，這類問題開啟了 19 世紀代數學的大門，這也是學校數學課程所教授的代數學：從一個未知數和它的冪（平方、立方，等等）之間的某種數量關系中，推出這個未知數的值（或可能的一組值），也就是解多項式方程。

其中，如果未知數的最高次冪是它的平方，涉及的方程就是二次方程。古巴比倫留下知識記錄的數學家們知道怎樣求解這類問題，并且把方法教給了學生，有泥板上神秘的楔形文字為證。這里最困難的一步是求關鍵之數的平方根。

事后看來，下一步要研究的顯然是三次方程，涉及未知數的立方、平方和未知數本身。古巴比倫的一塊泥板提示了求解三次方程的一種特殊方法，但關于他們在這方面的發現，我們的了解也僅限于此了。古希臘和波斯的幾何方法頗為實用，奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam）的研究最為詳細。他的詩歌更加有名，尤其是《魯拜集》（Rubaiyat），愛德華·菲茨杰拉德（Edward FitzGerald） 的譯本使這本書名聲更盛。但純粹的代數解法似乎還遙不可及。

一切在意大利文藝復興這個頗具傳奇色彩的時期發生了改變。1515 年前后，博洛尼亞（Bologna）的一位教授斯希皮奧內·德爾·費羅（Scipione del Ferro）發現了特定類型三次方程的解法。之所以要區分類型，是因為當時人們還不承認存在負數，所以方程兩邊都是正項。

費羅將一些筆記傳給了女婿安尼巴萊·德爾·納韋（Annibale del Nave），其中提到他可以求解“立方項加未知數等于數”的方程。很可能還有兩種情形他也能解決。經過一些初步變換，這兩種情形有效涵蓋了所有可能的情況。他的方法既涉及平方根，也涉及立方根。

除了德爾·納韋，費羅的學生安東尼奧·費奧雷（Antonio Fiore）也知道上文提到的解法。另外，尼科洛·豐塔納（Niccolo Fontana）獨立發現了同一種解法——他還有一個廣為人知但現在看來很不雅的綽號叫塔爾塔利亞（Tartaglia），也就是“結巴”的意思。

費奧雷當時正打算另立門戶，當個數學教師，他想出了一個好主意：與塔爾塔利亞進行一場公開對決，比拼解答數學問題的能力。這種智力對決在當時很常見。但有流言說三種情況都有了已知的解法，塔爾塔利亞為此大受刺激，極其擔心費奧雷什么都知道了。于是他加班加點，勉強趕在對決前找到了所有解法。

結果，費奧雷其實只會解一種方程。塔爾塔利亞拋出了費奧雷無法應對的題目，把他打了個落花流水。

這個勁爆的消息迅速傳播開來，也傳到了正在勤勤懇懇為《大術》收集素材的卡爾達諾耳朵里。他時刻留意著數學領域有什么新動向，能不能讓他的書更加完善，因而很快發現了一個極為珍貴的機會。

當時，費羅的早期成果已經遺失，于是卡爾達諾拜訪了塔爾塔利亞，懇求他透露三次方程的秘密。塔爾塔利亞最終松了口。傳說他讓卡爾達諾發誓保密，但既然卡爾達諾本來就打算寫書，這種可能性看來就不太大了。

不管怎么說，正式出版的《大術》包含了塔爾塔利亞的三次方程解法。成果歸功于自己，卻被別人搶先公開了，惱羞成怒的塔爾塔利亞以《各種問題和發明》（Diverse Questions and Inventions）作為回擊，其中收錄了他和卡爾達諾之間的所有通信。按照書中的說法，卡爾達諾曾在 1539 年莊嚴宣誓“絕不公開您的發現”，后來誓言卻被打破了。

不算太意外的是，事情的真相可能更加復雜。過了一段時間，后來成為卡爾達諾學生的洛多維科·費拉里（Lodovico Ferrari）聲稱他當時在場，而卡爾達諾并沒有同意對塔爾塔利亞的方法保密。

不過，費拉里也不見得是一個公正的旁觀者。針對塔爾塔利亞所說的違背誓言一事，他發布了一則公告，要以辯論的方式挑戰塔爾塔利亞，話題由塔爾塔利亞選擇。

1548 年 8 月的一天，一大群人聚集在教堂里觀看這場辯論。我懷疑沒有多少人真的為數學而來，有些人可能完全不懂，他們大多只是想看雙方大吵特吵。雖然辯論結果沒有已知的記錄，但費拉里很快就被任命為皇室子弟的家庭教師；相比之下，塔爾塔利亞從沒說過自己獲勝，他丟掉了在布雷西亞（Brescia）的工作，還一直對結果頗有怨言。看來我們可以做出有根據的猜測。

諷刺的是，這一切都沒有必要。在準備《大術》的過程中，卡爾達諾和費拉里看到了費羅的論文，其中就包含了三次方程早先的解法。他們都認為，這種解法的真正源頭在這里。卡爾達諾之所以提到塔爾塔利亞的成果，是為了解釋他為什么會聽說費羅的成果，僅此而已。

也許吧。但如果卡爾達諾已經從更早的來源知道了這個解法，他為什么還求塔爾塔利亞透露秘密呢？也許他并沒有求他，我們只知道塔爾塔利亞的一面之詞。此外，卡爾達諾也有自己的心思，他需要的不僅僅是三次方程的解法本身。

在卡爾達諾的指導下，費拉里設法更進一步，求解了四次方程。最重要的是，費拉里的解法要先將題目轉換為相關的三次方程。也就是說，如果不介紹三次方程的解法，卡爾達諾就沒法向世人展示這種四次方程的解法。

也許事情完全像卡爾達諾和費拉里宣稱的那樣。塔爾塔利亞擊敗費奧雷的事讓卡爾達諾意識到三次方程的解法已經被攻克了。隨后，經過一番挖掘，他找到了費羅的手稿，由此獲得了他的書中所寫的方法。

受到這個發現的激勵，費拉里又攻克了四次方程。卡爾達諾將相關發現寫進了自己的著作。作為卡爾達諾的學生，費拉里很難抱怨自己的成果被收錄其中，他似乎還挺為這件事自豪的。出于對塔爾塔利亞的尊重，卡爾達諾稱贊他重新發現了同一方法，并引起了自己的注意。

《大術》之所以重要，還有一個原因。卡爾達諾運用他的代數方法求和為 10、積為 40 的兩個數，得到的答案是 5 15 ± ? 。由于彼時負數沒有平方根，他宣布這個結果“玄妙而無用”。求解三次方程時，如果存在三個實數解，也會遇到同類情形。

1572 年，拉斐爾·邦貝利（Rafael Bombelli）發現，如果忽略這些表達式的含義，按部就班地計算，就能得到正確的實數解。最終，這個思路引出了復數系統，在復數系統中， ?1 是有平方根的。從實數到復數的擴展對當今的數學、物理學和工程學至關重要。

16 世紀 40 年代，卡爾達諾再度行醫。然后（就像我說過的，他的人生經歷跟肥皂劇和八卦小報一樣），悲劇發生了。他的長子詹巴蒂斯塔·卡爾達諾（Giambatista Cardano）同布蘭多尼婭·迪塞羅尼（Brandonia di Seroni）秘密結婚。在卡爾達諾看來，這位新娘無恥又沒用。她的父母都是見錢眼開的小人，而她身為妻子竟然當眾嘲弄詹巴蒂斯塔，說家里的三個孩子不是他的骨肉。

詹巴蒂斯塔毒殺了她，并很快認罪。法官堅持認為，避免死刑的唯一辦法是卡爾達諾與迪塞羅尼家就賠償達成共識。但他們索要的賠償金數額巨大，卡爾達諾無力支付，于是他的兒子遭受了酷刑，左手被砍掉，然后被斬首。

卡爾達諾是條硬漢，他扛住了一切，但被迫搬家，去博洛尼亞當了醫學教授。在那里，他的傲慢又得罪了醫學界的同行，他們嘗試讓上面解雇他。他的小兒子阿爾多·卡爾達諾（Aldo Cardano）欠下了巨額賭債，還闖入父親家中偷竊錢財和珠寶。

卡爾達諾認為自己別無選擇，只能上報案件，阿爾多因此被逐出博洛尼亞。即便這樣，卡爾達諾依然保持樂觀，他寫道，盡管出了這么多悲慘的事，“我仍然是非常幸運的，如果換成別人，他也會認為自己是幸運的”。

但命運還在醞釀更多的災難，而這些災難的起因是他跟占星術扯在了一起。卡爾達諾曾在 1570 年為耶穌占星。他還寫了一本贊美尼祿（Nero）A 的書，后者屠殺過早期的基督徒。兩件事加在一起讓他遭受了異端的指控。他被關進監獄，后來又被釋放，但無法再擔任任何學術職務。

卡爾達諾去了羅馬，沒想到在那里受到了熱情的歡迎。教皇格里高里十三世顯然寬恕了他，還給了他一筆退休金。他進入了當地的醫生協會，并且寫下了自己的人生，但沒有出版。在他去世 60 多年后，這本自傳終于問世。根據傳說，卡爾達諾是自殺身亡的，因為他預言了自己的死期，并且出于內行的驕傲捍衛了預言的準確性。

《數學巨人傳 : 思考、創造的奇趣故事》

作者： [英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者：張憬

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