萬字梳理三千年中國歷法沿革

今天是二十四節氣之一的冬至。冬至與我們國家的歷法一直有著很深的淵源，以現代農歷為例，我們需要首先通過冬至確定農歷十一月的位置，然后才能定下何時為下一個農歷年的起點，即正月初一。往前追溯，冬至有可能是我們的先民最早認識到的節氣之一。

中國古代歷法的發展其實可以看作是半部中國古代天文學，趁冬至日的到來，逐星喵嘗試用萬字篇幅（約1.3萬字）簡單梳理了從先秦到明末的三千年中國古代歷法沿革，與大家分享。考慮到中國古代歷法的內容異常豐富，以下論述難免掛一漏萬，大家如果對一些細枝末節感興趣，可以進一步閱讀前賢大作，如《中國天文學史大系·中國古代歷法》。

總的來說，中國古代歷法的發展在清代以前可以大致分為五個階段：

先秦萌芽，漢晉南北朝奠基，隋唐兩宋成熟，元登峰造極，明曲折進路。

01

先秦萌芽

中國古代歷法中的一些基本元素與傳統，如陰陽合歷、干支紀日法、歲星紀年法、二十四節氣等，在先秦時期就已經出現。

陰陽合歷的傳統至晚在殷商時期（公元前14世紀—前11世紀）就已經出現。根據甲骨文的有關卜辭，當時的一個月有大月和小月之分，大月30天，小月29天，偶有連大月出現。這說明當時一個月的長度是以朔望月為標準。此外還有平年和閏年的分別，平年有12個月，閏年有13個月，偶爾還有一年14個月乃至15個月的記載 。這說明當時人們雖已經有了置閏的意識，但尚未完全掌握其具體規律。

干支紀日依托六十干支實現。干支分為天干和地支，其中天干共十個，地支十二個。十天干與十二地支依次配合，就能整合成六十干支。利用六十干支，就可以形成一套以60天為周期的干支紀日法，如：第一天記為“甲子日”，第二天為“乙丑日”……第五十九天為“壬戌日”，第六十天為“癸亥日”，完成一次循環。第六十一天則是下一個循環的“甲子日”。

六十干支

從殷墟出土的甲骨文表明，至晚在公元前13世紀，即商代晚期時，干支就已被普遍應用在日常的紀日當中。目前學界一般默認干支紀日從應用之日起就不曾中斷，并連續應用至今。現在我們在某些日歷上仍然可以看到干支紀日法的身影：例如2022年元旦就是甲寅日，60天后的3月2日也是甲寅日。干支紀日這種連續不斷的特性讓我們在推斷、確定古代日期時有了相對明確的參考系。

歲星紀年是一種利用行星位置標記年份的方式。五顆行星中，水星和金星距離太陽較近，時常被太陽的光芒掩蓋，只有火星、木星和土星能夠整夜可見，而在這三顆星之中，木星的亮度是最亮且最穩定的。經過長期觀察，在春秋時期人們發現木星大約每12年就會回到原來的星空背景中，遂將木星行經的星空分為12部分，將每一部份分別命名，稱為“十二次”[1]，這樣就可以通過記錄木星所在星次進行紀年。

《國語·周語下》載有：“昔武王伐殷，歲在鶉火，月在天駟，日在析木之津，辰在斗柄，星在天黿。星與日辰之位，皆在北維。”這段話描述了周武王伐紂期間曾經出現的各種天象，其中的鶉火、析木就屬于“十二次”，“歲在鶉火”即此時歲星（木星）在鶉火星次。

《國語》書影

二十四節氣也在春秋戰國時期趨于完整。二十四節氣中最早出現的節氣當屬夏至和冬至，因為這分別代表了一年當中正午日影最短和最長的時節，也可以通過感知晝夜長度的變化總結出來。而從晝夜長度變化出發也不難發展出春分、秋分的概念。《左傳?僖公五年》（公元前655年）載有“凡分至啟閉，必書云物“，歷代學者注疏都認為這里的“分、至、啟、閉”指的是春/秋分（分）、夏/冬至（至）、立春/夏（啟）、立秋/冬（閉）這八個重要的節氣。

《左傳》書影

部分節氣名稱也已見于先秦文獻中，如啟蟄（驚蟄）、清明、大暑、白露、霜降等。成書于漢初的《淮南子?天文訓》中記錄了完整的二十四節氣，名稱與后世完全一致，因此可以推斷現行二十四節氣至晚在戰國時期正式成型。

02

漢晉南北朝奠基

中國古代天文學中的“歷法”是一個很特別的概念。在先秦時期，它與如今語境下的歷法并無不同，指一種為系統記錄時間流逝而發明的記時規則。不過從西漢的太初歷開始，中國古代歷法所涵蓋的內容明顯超過了我們日常熟悉的歷法概念。

太初歷的原始術文并未得到保留，在西漢末年，劉歆在太初歷的基礎上發展出三統歷，《漢書?律歷志中》保留了完整的三統歷術文。考慮到太初歷與三統歷的緊密聯系，可以認為太初歷/三統歷是中國歷史上流傳于世的第一部完整歷法。

《漢書·律歷志中》的三統歷術文

從術文內容看，三統歷可分為六個章節，分別是統母、紀母、五步、統術、紀術和歲術。統母和紀母章節給出了和日月五星相關的一系列基本數據，這些數據會在后面的計算中使用到；五步章節列出了五大行星在一個會合周期內的動態；統術章節給出了推算歷元、節氣、朔日、閏余（什么時候要置閏）、月食等與日月位置有關項目的方法；紀術章節介紹的是推求五星位置和對應時刻的算法；歲術章節包含了推算歲星紀年的方法，以及十二星次和二十八宿的星度表等資料。從三統歷的內容中，我們可以發現中國古代歷法所囊括的內容實際上從西漢起就已經遠遠超出一般意義上的“歷法”，而更加接近現代意義的“天文星歷”。

西漢年間的太初歷和三統歷奠定了中國古代歷法體系的基本范式，不過在細節上有諸多待完善之處。東漢末年，一部不落窠臼的乾象歷將中國古代歷法水平推向了新高度，制歷者劉洪也被尊為一代歷算宗師。

劉洪銅像

相比后漢四分歷，三統歷等早期歷法，乾象歷有許多創新與突破，其中有三大亮點最值得關注。首先是乾象歷采用了更精確的月長與年長，早期歷法使用的一些天文數據并不是十分精確，例如從古六歷、三統歷，到后漢四分歷采用的年長均為365又1/4日，月長則結合19年7閏的閏周定為29又499/940日 。兩者均略大于實際的回歸年與朔望月 ，如此一來隨著時間推移，誤差積少成多，歷法會不可避免地出現所謂的“后天”現象，即預報的天象時刻晚于天象實際發生的時刻，這一結果對于以歷法合天為終極追求的古人而言顯然是不可接受的。劉洪在乾象歷中大膽突破傳統，棄用兩個沿用了數百年之久的常數 ，提出以365又145/589日為一年，以29又773/1457日為一月。與舊值相比，新數值更接近實際的回歸年與朔望月 ，更重要的是這一舉動宣告了“祖宗之法”并非金科玉律，邁出了歷法得以不斷精進的第一步。

《晉書·律歷志中》收錄的乾象歷術文

乾象歷的第二個創新是站在巨人的肩膀上完成的。中國古代歷法作為一種陰陽歷，月份編排參考的是月相變化規律，因此需要對月球的運動有準確的認識。乾象歷之前的歷法關于月球的運動都按勻速運動處理，但在實際觀測中已有人認識到月球的真實運動并非勻速運動。東漢時賈逵就曾提到：“梵、統以史官候注考校，月行當有遲疾……率一月移故所疾處三度，九歲九道一復”。梵、統指的是后漢四分歷其中兩位編制者李梵與蘇統，他們不僅注意到月球運動的不均勻現象，而且給出了定量的結果——月球在天空中每運行一周，其運動最快的位置會前移三度，而這一位置大約每九年回到最開始的位置。月球繞地球公轉的軌道是橢圓，因此月球和地球的距離并不固定。當月球離地球最近，位于近地點時，運動速度最快。換句話說，李梵和蘇統已經發現了月球近地點進動的現象。然而后漢四分歷在處理涉及月球運動的內容（例如計算交食）時，仍然將月球的運動視為勻速。

現在常說的“超級月亮”實際上是位于近地點的滿月，月亮看起來比一般的滿月更大︱NASA

在乾象歷中，劉洪在李梵、蘇統的研究基礎上更進一步，首次給出了具體的近點月數值，即月球連續兩次過近地點的時間間隔。劉洪稱月球近地點每月的進動值為“過周分”，以周天度數加上過周分，除以月球運動的平均速度，得到一個近點月為27又3303/5969日 ，該值與實際近點月相差不到2分鐘。劉洪還列出了月行遲疾表，即月球在一近點月周期內的運行動態表。對于月球相對于黃道的運動劉洪也做出了探索，例如明確提出黃白交點 退行的概念并給出定量值（劉洪稱“退分”），測定月球與黃道的距離（劉洪稱“月去黃道度”）等。

收錄在《晉書·律歷志中》的月行遲疾表

劉洪對月球運動的深入研究也引出了乾象歷的第三大亮點，即對日月交食規律的進一步認識。在掌握日月食原理以前，古人對日月食的預測是通尋找交食周期完成的，例如巴比倫天文學家總結的沙羅周期。

西漢文獻中開始出現關于交食周期的記述，如《史記·天官書》中有“月食凡百一十三月而復始”。劉歆在三統歷明確了一個135月的交食周期，在一個周期中會出現23次月食。而在乾象歷，劉洪首次從原理上給出交食發生的條件，即食限的概念。理論上當太陽與月球分別處在黃白交點時，就會發生交食。在實際推算中，日、月及地影均有一定視直徑，因此即使天體稍微偏離黃白交點，亦有可能出現交食。在保證交食可能發生的前提下，允許月球偏離黃白交點的最大值 ，即為食限。

食限示意圖

劉洪根據自己對月球運動的認識，推算出在朔或望時，當月球距離黃白交點14°33′以內 ，就會發生日食或月食。作為對比，現代天文學規定的日食限上限約18°，下限約15°；月食限上限約12°，下限約10°。朔/望期間，月球與黃白交點的距離大于上限值一定不發生交食，小于上限值可能發生交食，小于下限值一定發生交食。

乾象歷未能在東漢時頒行，到三國孫吳時（223~280）才得以行用。雖然實際行用時間并不長，但乾象歷對后世的影響力是長遠的。三國時期韓翊、楊偉等人所造歷法都與劉洪的乾象歷術有很深的淵源，其中楊偉 的景初歷自237年面世后，很快獲得曹魏政權青睞并頒行，隨后又在兩晉時期得到繼續沿用，直到南北朝時期才被更晚近的歷法取代，前后行用時間長達二百余年，是中國歷代少有的長壽歷法。景初歷之長青，自然有楊偉的才華橫溢，而他正是沿著劉洪開創的道路，繼續在月球運動以及交食理論方面做出了許多完善，充實與提高工作。《晉書·律歷志中》的“洪術為后代推步之師表”，可以說是對劉洪治歷水平及學術影響的高度概括。

南北朝諸部歷法中執牛耳者，當屬南朝劉宋年間的元嘉歷與大明歷。何承天與祖沖之分別在元嘉歷 與大明歷中提出了推求歷法基本常數的新方法，也是兩部歷法的最大亮點之一。

何承天雕像︱南京六朝博物館

何承天在確定元嘉歷的歷法常數時運用的新算法叫調日法。日法是中國古代天文常數以分數表示時的分母數值，最初特指朔望月長度的分母，所以調日法的字面意義就是調整朔望月長度的分母取值。在實踐中，使用初級觀測手段可以確定某個天文常數的大致取值，如一個朔望月約為29.53日，一個回歸年約365.25日。此時如果想得到一個更為精準的取值，除了在觀測手段上繼續精進，還可以嘗試數學方法，如調日法。運用調日法的前提是已知相關的弱率與強率，例如已知一個數大于1又3/4，小于1又4/5，那么此時3/4為弱率，4/5為強率。調日法之“調”，體現為對強弱二率的分子與分母的進行不同的加權以調制出新率（亦稱中平之率）的分母和分子，權重的分配取決于強弱二率何者更接近真實值。假設強率更接近真實值（1.79），則對強率的分母賦予更高權重（如3:1），那么新率的分母為4×1+5×3=19，分子為3×1+4×3=15。相比于強弱率所屬的舊取值，使用新率的取值（1又15/19）更接近真實數值。

調日法的出現使得古代得以在觀測技術手段沒有重大突破的前提下繼續提高歷法精度。現在一般認為 ，元嘉歷中何承天定朔望月的日法時，以26/49為強率，9/17為弱率，對強弱二率賦予不同權重（15:1），調得新日法為752，朔望月的取值為29又399/752日。

調日法最初是針對朔望月的一種數學逼近算法，而祖沖之為推求更加準確的冬至時刻，在制訂大明歷時也運用了一種巧妙的數學算法。中國古代推算回歸年長的一般方法是通過圭表測影獲得兩個相隔數年的冬至時刻，將兩次冬至的時間間隔除以年數，得到年長的平均值，即回歸年長。故獲得準確的回歸年長的前提是得知準確的冬至時刻。祖沖之以前，東漢末的劉洪在乾象歷中采用了更精確的回歸年長 ，可惜現存的文獻中并無具體推導過程。祖沖之大明歷有著堪稱精密的回歸年長，而他使用的方法完整呈現在了《宋書·歷志》，讓我們后人得以窺見其中的智慧。

祖沖之紀念郵票

利用圭表測影確定冬至時刻的方法長期以來有幾個痛點，其一是影子末端并不清晰，影響影長準確數值的讀取；其二是冬至日天氣不總是適合測量日影；其三是太陽過冬至點的時刻不必然在正午發生。第一個痛點的解決需要對觀測手段作改進，對于后兩個痛點，祖沖之另辟蹊徑，既然在冬至測影在客觀上存在一定限制，那么測影就放在其他時間進行，再借助數學手段反推冬至時刻。具體來說，祖沖之選擇了三個時間，一個（A）在冬至前，兩個（B、C）在冬至后，分別測量三個時間的正午影長，通過冬至后的兩個影長可以求得影長每日變化值，進而推導出與A點影長相等的時間點D。由于冬至前后的影長變化可以近似看作對稱，則AD的中點即為冬至時刻。祖沖之依此原理先后求得大明五年（461年）與熹平二年（173年）的冬至時刻，得到288年間的總日數，平均一年的日數就是大明歷采用的回歸年長——365.2428日。

《宋書·歷志》書影

何承天的調日法與祖沖之的冬至時刻算法作為一類可以有效提高歷法常數精度的數學手段，不僅在他們各自制定的歷法中發揮了作用，也被后世治歷者吸收發展，其中冬至時刻算法直到明末西法傳入以前都是測算冬至時刻的主流方法。

中國古代歷法屬陰陽歷，需要在保證日期與月相匹配的同時讓月份與季節相對應，因此需要在適當的時候插入一個月，多出一個月的年份稱為閏年，這一過程即置閏。早在公元前6世紀初的春秋中期，人們就認識到19個回歸年與235個朔望月的時長幾乎一致，于是當時的歷法采用了在19年中插入7個閏月以避免歷法與季節的錯位。這里的19年7閏就是一個經典的置閏周期，簡稱閏周。而當歷算家用獨立的方法分別求得更為精確的朔望月與回歸年時，他們意識到兩者的關系并不是一個簡單的19年7閏就能概括的，如何更好地調和日月運動又重新成為一個需要討論的問題。

何承天在制定元嘉歷的過程中已經注意到19年7閏不夠準確 ，不過何承天更注重歷法計算的簡便，認為歷法可以隨時修正，故并未修改這個在當時已經沿用了近千年的閏周。相比之下祖沖之希望歷法“將來久用，無煩屢改”，因此各項歷法數據必須精益求精——大明歷最終拋棄了19年7閏，采用391年144閏的全新閏周。值得注意的是歷史上第一個突破19年7閏的歷法并不是祖沖之的大明歷，而是北朝涼的玄始歷。北涼的趙（fěi）略早于祖沖之在玄始歷中采用600年221閏的閏周。玄始歷于公元452年頒行，行用七十余年。

03

隋唐兩宋成熟

進入隋唐時期，中國古代歷法邁入了成熟階段，在充分吸收前朝優秀歷法成果的同時不忘繼續改革與創新。隋唐時期前后涌現超過20部歷法，并有多部為后世歷算家稱道的名歷。元代郭守敬總結前人在歷法上的成就為“創法十三家”，其中隋唐歷法就獨占五席。

創法十三家

中國古代歷法在隋唐時期邁向成熟的一大標志是這一時期的歷法在諸多方面都有所“創法”。其中關于“定朔”的討論與接納就是典型例子之一。朔在天文學上指日月黃經重合的時刻，也是中國古代歷法中一個月的起點——實際上中國古代絕大部分歷法都規定朔所在的那一天為每月初一。如發現日月合朔時刻不在朔日，就說明歷法出現了偏差，而“歷朔不正”正是古代歷法改革的主要動機之一。那么古代的天文學家如何確定合朔時刻呢？從朔的定義出發，觀測太陽和月亮黃經相等的時刻即可，但由于合朔時日月同升同落，此時幾乎不可能直接觀測月亮的位置，因此合朔時刻都是推算得到的。

只有發生日食時，才能看到合朔時刻的月亮︱Yuri Beletsky

早期歷法普遍將日月運動視為勻速運動處理，那么只需知道某一時刻月亮和太陽的位置，就能推算出下一次日月合朔的時刻，知道了合朔時刻，也就確定了下個月的初一。后續月份的初一可以通過累加朔望月長度計算。以日月平均運動推算的合朔時刻就是平朔。中國古代天文學家很早就發現月相變化的朔望月周期平均大約是29.5日，由于每個歷月的日數必須取整，那么自然會出現30天的大月和29天的小月。結合平朔法，結果便是大小月交替排布，大月略多，偶爾會出現連續兩個大月。

東漢時李梵、蘇統注意到月行有遲疾，揭示了月球視運動并不均勻。這也意味著用平朔法給出的合朔時刻與真實天象存在偏差，例如日食按理說只會在每月初一出現，但以平朔法計算，日食就有可能在晦日（上個月最后一天）或者初二發生。于是劉洪在乾象歷的交食計算部分就考慮了月球的不均勻視運動，以求得到更為精準的日月食預測結果。考慮了月球不均勻運動的影響推算的合朔時刻稱為定朔。

按照理想的情況，當學者認識到月球運動不均勻，平朔作為一種簡便但粗糙的概念應當被定朔取代。但在現實中，從乾象歷開始到麟德歷以前，漢至唐數百年間的幾乎所有歷法仍然以平朔編排歷日。這是因為幾百年間的天文學家都放任歷日與天象錯位的現象不管不顧嗎？實際上早在劉宋年間，何承天最初編訂元嘉歷時就使用了定朔編排歷日，然而在朝堂之上，不少官員對這種體現科學嚴謹的做法表示反對，其中最顯眼的聲音是“不合舊法”：使用定朔排歷時，在月球不均勻視運動的影響下，大小月不再是交替出現，而是可能出現連續多個大月或多個小月。

這一改變如今看來似乎無關痛癢，但和過去大小月交替充滿秩序感的歷譜相比，定朔法給出的歷譜可以稱得上是混亂不堪了，盡管后者更能反映真實天象。歷法的精確無誤固然是歷代天文學家孜孜不倦追求的目標，但一部歷法的最終樣貌是各利益相關方博弈、權衡，乃至妥協的結果, 學者的意志有時并不能占據主導。在元嘉歷這個例子中，何承天最終按照官方的意愿恢復了傳統平朔排歷。

《宋書·歷志》書影

北魏張子信發現太陽視運動同樣存在不均勻后，定朔相對于平朔在歷算精度上的優勢已是顯而易見，但前者取代后者的過程在隋唐時期仍然是一波三折：劉焯的皇極歷和初唐傅仁均 的戊寅元歷都采用了定朔，但皇極歷未獲官方頒行，戊寅元歷則遭遇了與當年何承天相同的困境。直到李淳風制定麟德歷時在采用定朔的前提下獨創了一種名為“進朔” [2]獨特的規則，用于規避出現連續多個大月或小月的“問題”。至此定朔與平朔之爭才算落下帷幕。

除了定朔，唐代歷法相對于前代歷法還有一些“違背祖訓”的操作，例如取消閏周。前文我們講述了南北朝歷法對于閏周的革新，但就本質而言，不管是傳統的19年7閏，還是南北朝時的600年221閏，391年144閏等，終究只是對回歸年與朔望月數量關系的一個近似，兩者在數值上的比例關系不可能正好等于一個分數。

在二十四節氣成型前，對于在何時插入閏月的問題，19年7閏能起到有效的指導作用。當二十四節氣成熟以后，天文學家注意到十二中氣正好可以對應十二個歷月，如第一個中氣雨水對應正月，中氣之一的冬至對應冬月（十一月）。

十二中氣與十二歷月的對應

按平氣法[3] ，兩個中氣之間的時間間隔約為30.44天，略大于一個朔望月。經過約33個朔望月后，兩者產生的偏差將會達到一個朔望月的長度，表現在歷法上就是出現了一個沒有中氣的歷月，此時中氣與歷月的關系被打破，如果要維持原有的對應關系，就要將這個沒有中氣的歷月定義為閏月，以前一個歷月的序號加“閏”的形式命名，如閏月的前一個月是五月，那么這個閏月就叫做閏五月。西漢制定太初歷時，增加了一個“無中氣置閏”的歷法規則，相比閏周方案只能告知在一段時間內應該有多少個閏月，無中氣置閏法已經能夠準確指示何時插入閏月，可以說此時閏周已經完成了自己的歷史使命。不過隨后數個世紀的故事大家已經知曉，閏周并沒有式微，仍有學者前赴后繼嘗試給出更準確的數值。對閏周的揚棄同樣由李淳風完成，他敏銳地意識到盡管閏周的概念古已有之，但在無中氣置閏法面前已無異于形式主義，當革故鼎新。

李淳風像

唐代歷法在交食算法上亦有重要突破，郭守敬在論述創法十三家時就提到“一行造大衍歷……定九服交食之異……徐昂造宣明歷，始悟日食有氣、刻、時三差”，郭守敬這里指的是一行在大衍歷當中留下的九服食差算法以及徐昂在造宣明歷時提出的日食三差。

自張子信發現了月球視差現象并作了定性描述后，歷算家們很快就注意到月球視差對于交食預測的影響。以日食為例，月球視差對日食預報的影響具體體現在日食發生的時間、日食食分大小以及日食持續時間。在隋唐以前的歷法中，基本上以定朔時刻作為日食食甚的時刻，進而以此時的月球位置推求日食食分以及日食持續時間等數據。由于存在月球視差，定朔時刻與實際的食甚時刻之間并不重合，而是存在一個時間差，食甚時月球的位置也不再是定朔時刻時的位置。隋唐時期的歷算家們的一大課題就是尋找能夠消除月球視差對交食預報影響的算法，日食三差的概念就是在這一背景下誕生的。

《新唐書·歷志六上》的日食三差術文

對日食食甚時刻的修正值稱為時差，對月球位置的修正值稱氣差與刻差，由于兩者共同影響日食食分大小，故又合稱食差。時差與氣差概念最早在隋代大業歷出現，一行結合天文大地測量的結果提出九服食差算法，通過比較各地與陽城的日中晷影，巧妙地將基于陽城計算的食差轉化為各地食差，從而達到預測各地日食食分大小。唐宣明歷首次奠定以時、氣、刻三差修正日食推算。

在一次日食期間，不同地理位置看到的日食食分不盡相同︱NASA

兩宋諸歷以北宋紀元歷與南宋統天歷為執牛耳者，其中紀元歷出自北宋歷算家姚舜輔之手，他同時也是占天歷的作者。姚舜輔在制歷期間引用最新恒星觀測數據，提出通過觀測金星確定太陽方位，在歷法推算中開發出簡便而精密的算法，以上工作讓紀元歷得以成為兩宋乃至10~13世紀華夏大地最有影響力的歷法之一。紀元歷自崇寧五年（1106）起行用，是北宋行用的第十部也是最后一部歷法。

靖康之變導致北宋覆滅，紀元歷術也因此不知去向，直到紹興二年（1132）時，宋高宗才輾轉尋獲紀元歷并重新啟用，紀元歷也成為南宋行用的第一部歷法。此后南宋又經歷了多次改歷，但紀元歷仍在發揮余熱，常與現行歷法相互參校。

統天歷是南宋歷算家楊忠輔的作品，行用時間僅十年（1198~1207），之所以將其與紀元歷并稱，一是楊忠輔在歷中首創“歲實消長”概念，明確回歸年的長度會隨著時間推移出現變化，并給出了具體算法；二是統天歷再一次挑戰了中國古代歷法中看似重要但對歷法推算無實際幫助的上元概念，虛設而實廢上元積年。元代郭守敬曾將紀元歷列為創法十三家之一，郭守敬領導制定的授時歷能夠成為中國古代歷法的一座高峰 ，宋代紀元歷與統天歷的影響不容忽視。

04

元登峰造極

至元十三年（1276）元軍攻下南宋首都臨安后，成立太史局，征召許衡，以及劉秉忠的學生王恂、郭守敬等人負責新歷事宜。至元十七年（1280）冬至歷法定稿，忽必烈賜名“授時歷”，次年正式頒行。

忽必烈

授時歷的特點可總結為“考正者七事”與“創法五事” 。具體而言，授時歷以實測數據為基準訂正了冬至時刻、回歸年長、太陽位置、月球位置、黃白交點、二十八宿距度、日出入晝夜時刻等七類天文常數，并重新設計了太陽不均勻視運動、月球不均勻視運動、黃赤道差、黃赤道內外度、白道交周等五項內容的算法。嚴格來說，以上這些工作不過是讓授時歷拿到了邁入了優秀歷法行列的入場券，真正讓授時歷成為中國傳統歷法最高峰的，是以下幾項改革與創新。

授時歷相比前代歷法的一項重要變化是對上元概念的揚棄，改用實測歷元。一部歷法的推算起點稱為歷元，依據定義歷元又可細分為上元，近距歷元與實測歷元。其中上元通常意味著是甲子日午夜，同時日月五星皆位于冬至點。古人認為這代表了宇宙混沌初開的狀態，因此歷來備受推崇與重視，大部分中國古代歷法選取的歷算起點都是上元。在現實中，完全符合條件的上元不會存在，此外推求上元所需計算量巨大，因此唐初就有歷算家嘗試擺脫推求上元的桎梏：傅仁均的戊寅元歷曾一度采用實測歷元（618年為戊寅年，戊寅元歷由此得名），但不敵上元法論者的攻擊，不得不重新回歸上元。唐中晚期曹士的符天歷以顯慶五年（660）為歷元，使用了近距歷元，不過符天歷只在民間流行，不屬官方歷法。

到南宋時期的統天歷時，楊忠輔表面上選取了一個甲子年冬至日作為“演紀上元”，但這一年的冬至日并非甲子日，更沒有出現日月五星共聚的天象。在具體推算時，統天歷也不用“演紀上元”作為統一的起點，各項數據有各自的實際推算起點。虛設上元的做法免去了計算上元過程中龐大而無用的計算量，還有助于提高有關歷法問題計算的精確度。然而楊忠輔在統天歷中對上元傳統陽奉陰違的做法遭受了諸多批評，統天歷本身行用僅八年便遭取代。授時歷沿襲了統天歷的做法，取至元十八年（1281）冬至為歷元，給出各天文數據周期起點與歷元的時間差，如氣應（冬至距前一個甲子夜半的時間）、閏應（冬至距十一月平合朔的時間）、轉應（冬至距月過近地點的時間）、交應（冬至距月過黃白降交點的時間）等。自唐初起六百余年后，授時歷終于成功應用了實測歷元法，實現了前代部分歷家的歷元理論。

《元史·歷志二》中有關授時歷使用實測歷元的記載

對于歷法計算中相關數學算法，授時歷也進行了更新，最具代表性的要數高次招差術和弧矢割圓術。招差術是一種中國古代歷算家計算任意時刻日月五星位置時采用的代數方法，按照精度一般可分為線性內插法，二次差內插法，三次差內插法等。使用最基礎的線性內插法時，擬合出來的日月五星視運動只能是勻速運動，與實際天象偏差較多。隋唐時期的歷算家如劉焯、一行等在推導天體位置時引入二次修正項，出現二次差內插法，此時可以擬合出天體的勻加速或勻減速視運動，使得這一時期有關日月五星位置的推算精度提升了一個臺階。遼金兩宋時期，部分歷法在處理太陽運動時已嘗試引入三次修正項，構造出三次差內插法，擬合出太陽的變加速/減速視運動。到元代授時歷時，日月五星的位置推算普遍使用三次差內插法，時稱平立定三差法，具體形式為F(x)=ax+bx2+cx3，其中a、b、c均為常數，分別稱為定差、平差和立差。

招差術算法演進過程

弧矢割圓術是授時歷中進行黃、赤、白道坐標計算與變換時運用的一種算法，不使用三角函數，而是結合勾股定理與會圓術求解球面三角。所謂會圓術是北宋沈括提出的一種借助弦長、矢高等已知量計算一段弧長的算法，在一個公式中描述了圓的弧、弦、徑、矢之間的關系。沈括在《夢溪筆談》中沒有給出公式的推導過程，一般認為沈括是根據《九章算術》中的弧田術（弓形面積近似公式）得到了弧長公式。

授時歷集合了前代各家歷法的優點于一身，可謂集大成之作，不愧為中國傳統歷法的最高峰。授時歷自1281年起一直行用至1367年元朝滅亡。朱元璋稱帝后，明代施行的歷法名為大統歷，而其內涵基本沿襲授時歷。可以說授時歷在明代又以“大統歷”的身份繼續行用了3個多世紀，累計施行近400年，是使用時間最長的中國古代歷法。

05

明曲折之路

元代末年，民變四起，身為后來大明開國皇帝的朱元璋自然是其中的主要勢力。在朱元璋看來，能在眾多反元勢力中脫穎而出，自己對于天象觀測的重視起到了相當的作用，特別是對相關天象星占學意義的解讀。朱元璋時常依據天象占驗的結果進行軍事部署，考慮到一部分天象可以事先推算，為了占得先機，朱元璋自然也對歷法推算的準確性相當重視。

明太祖朱元璋

稱帝以后，朱元璋沿襲元代的做法，設立回回司天監，同時招募回回天文學家至南京翻譯阿拉伯天文歷法。當明初漏刻博士元統上書稱授時歷法漸差天度需要做出必要的修正時，朱元璋立馬將他提拔為欽天監監正并負責修歷。洪武十七年（1384），《大統歷法通軌》（下稱《通軌》）面世，成為明代歷法推算的基礎。我們一般認為大統歷就是授時歷，因為《通軌》是一部基于授時歷框架的作品。但細究起來，兩者在具體使用的天文常數以及算法上存在區別。另外《通軌》有著更為濃厚的實用色彩。元統編寫《通軌》時特意根據公式事先編算好立成表，通過查表法進行計算，從而簡化了計算過程。中國古代歷法推算通常用兩種方法，一種是直接代入原始公式計算，是為公式法；另一種則是根據原始公式事先編算好一份算表，具體計算是通過查表的方式得到結果，提前制作的算表稱“立成”，故后一種方法也稱立成法。立成表在歷法推算中起到的作用可以類比電子計算機出現以前流行的計算尺，兩者都可以大幅簡化運算過程，提高效率。立成表并非元統的創造，唐大衍歷以后的歷法在推算時大都使用了立成法，不同之處在于元統在《通軌》中對立成法的運用更為徹底，不僅把大量符合條件的公式轉換為立成表，還將計算過程改造成類似填寫表格的方式，進一步降低歷法推算難度。使用者只需按照表格所示的步驟，將每步計算的結果填入表格中指定的位置，就可以逐步完成全套計算。

元統《大統歷法通軌》︱韓國首爾大學奎章閣圖書館藏

元統對授時歷的一番改造是有成效的，《通軌》在明初對于交食預測精度要高于原來的授時歷。然而隱去原始公式完全依賴查表填表的方法固然降低了歷法推算的門檻，但欽天監的傳人們逐漸只知其然不知其所以然，不能充分領悟立成表背后的歷法原理。這一隱患在一個世紀后開始顯現：從15世紀中期起，大統歷的推算開始產生可觀的誤差，欽天監對此看似無所作為，實則有心無力。

從成化年間（1465~1487）至萬歷年間（1573~1620），兩個世紀不到的時間里由于歷法推算出現誤差產生了不下十余次的改歷呼聲，而這一時期官方多以“當今歷法已至精至密”、“無通博之才不可擅議歷法”等理由屢次駁回這些改歷的奏請。官方歷算界長期依賴便捷算法導致對歷法的理解退化，能力不足的現狀自然會孕育墨守成規的想法，從而進一步強化歷算領域長期以來存在的崇古之見，改歷之事無疑阻力重重。隆慶年間（1567~1572）負責重刊《大明大統歷法》的周相就感嘆，如今嚴格依據世代相傳的歷法規章行事，仍會擔心推算不夠周詳以致失職，還談何改變舊制，另創新法呢？套用某個已經過氣的流行語就是“光是活著就已經竭盡全力了”。

弘治年間禮部對某次改歷奏請的回復︱《禮部志稿·卷九十七》

到萬歷年間，有關改歷的討論已不是單純的是否改，而是如何改，以及由誰牽頭改。期間影響較大的改歷推手有明代宗室朱載堉 與布衣學者邢云路 ，同一時期西方傳教士開始進入中國傳教，他們敏銳地捕捉到官方的改歷需求以及上層人士對于歐洲科技的興趣，開始有意識地將西方天文學體系引入中國以換取達官要人們的信任。

崇禎二年（1629）的一次日食成為明代改歷的關鍵節點。這一次日食發生以前，崇禎皇帝眼前有三份預報，分別來自大統歷，回回歷法以及“新法”。所謂“新法”即當時由歐洲傳教士帶來的西方天文學方法，這一次日食“新法”的相關推算由徐光啟完成。在日食結束后，崇禎決定讓時任禮部左侍郎的徐光啟 組織成立歷局負責改歷事宜 。

1629年6月21日日全食，北京可見食分0.167的偏食︱NASA

徐光啟對西方的了解主要來自來華傳教的耶穌會士利瑪竇。透過利瑪竇，徐光啟不僅了解到來自西方的天主教，也讓他認識到當時的歐洲科學技術要比明朝的水平更上一層樓，因此萌生了學習西學的念頭。利瑪竇希望結識更多士大夫以便完成傳教的任務，而徐光啟則看中了跟隨著傳教士一同到來的西方科技知識，兩人雖抱著不同目的，卻一拍即合。1603年，徐光啟受洗加入天主教會。1604年中進士入翰林后，徐光啟得以有更多時間與當時已定居北京的利瑪竇交流學習，共同探討天文、地理、數學、水利等學問。

位于上海徐匯區的徐光啟雕像

徐光啟雖推崇西學，但沒有打算不加思考地吸收西學，而是設計了一條“會通超勝”的路線：“欲求超勝，必須會通；會通之前，先須翻譯”。徐光啟引入西學的最終目的是要讓中學超越西學，是謂“超勝”；而想要達成這一目標，就要將西學中的知識與中國的學術傳統相結合，也就是“會通”；在此之前，則需要充分理解西學知識，故“翻譯”是萬里長征的第一步。“翻譯”這一步，他與耶穌會士利瑪竇合譯的《幾何原本》前六卷就是最好的例證。至于“會通”，徐光啟在崇禎授意下主持編訂的《崇禎歷書》是結合當時客觀實際的一次實踐。徐光啟提出了“熔彼方之材質，入大統之形模”的改歷方針，所謂“彼方之材質”指的是西方天文學的基本理論和方法，而“大統之形模”則是指以大統歷為代表的中國傳統歷法形制，可以說徐光啟是借助了改歷的契機將自己“中西會通”的思想付諸實踐。

利瑪竇

《崇禎歷書》中主要采納了第谷的宇宙體系作為理論框架，而實際上全書參考的內容并不限于第谷的相關著作，還包括了托勒密、開普勒、哥白尼、伽利略等人的作品。徐光啟在編修歷法之初就定下了歷書的總體框架，從理論層次看可分為基本五目（法原、法數、法算、法器、會通），按具體內容則可劃為節次六目（日躔歷、恒星歷、月離歷、日月交會歷、五緯星歷、五星交會歷）。基本五目中徐光啟認為最基本同時中國傳統歷法中最欠缺的是“法原”（基本天文學原理與理論），《崇禎歷書》共137卷，其中法原部分共計四十余卷，占全書約1/3的篇幅，當中著重闡述了托勒密、哥白尼與第谷的理論工作。

現代重新匯編出版的《崇禎歷書》書影

徐光啟希望藉此次改歷從根本上提高中國的天文學乃至整個科學技術的水平，具體是將改歷當中取得的天文與數學成果加以推廣，應用到其他領域，如氣象、水利、樂律、軍事、財務、建筑、地理、醫療等，最終惠及國計民生的方方面面，以完成最后對西方的“超勝”。不過徐光啟沒能走到“超勝”這一步，他甚至沒能看到《崇禎歷書》這部“會通”之作的完工。1633年11月8日徐光啟與世長辭，臨終前他舉薦李天經接替他在歷局的工作，繼續主持《崇禎歷書》的編纂。1635年1月2日（崇禎七年十二月初三），李天經向皇帝進呈了第五批，也是最后一批歷書，此時可以認為新歷書已經修竣。但直到1644年時，崇禎帝仍未下定決心頒行新歷，而此時明朝氣運已盡。滿清入關后，原在歷局工作的傳教士湯若望借花獻佛，將《崇禎歷書》刪改為103卷，連同所編的新歷本一起進呈清廷，得到頒行。新歷定名為《時憲歷》。刪改的《崇禎歷書》改稱為《西洋新法歷書》。

《西洋新法歷書》書影

參考&拓展

[1]十二次規定冬至點所在次為星紀，冬至點位于星紀正中，星紀向東依次為玄枵（xiāo）、娵（jū）訾（zī）、降婁、大梁、實沈、鶉首、鶉火、鶉尾、壽星、大火、析（xī）木。

[2]進朔是使用定朔的前提下，為避免出現連續四個大月或三個小月而人為規定的歷法規則。最早由李淳風修麟德歷時提出，此后諸歷多采用之，具體進朔方法略有區別。大衍歷的作者一行雖已指出進朔無此必要，但仍沿循其法。宋代周琮也曾表示進朔法有違自然規律，但也僅限議論并未有所改革。元授時歷徹底廢除了進朔。

[3]平氣是確定二十四節氣位置的一種方法，與之相對的概念是定氣。平氣規定兩兩節氣之間的時間間隔相等，相當于把一個回歸年24等分；而定氣規定兩兩節氣之間太陽在黃道上運動的距離相等，相當于將黃道24等分。在張子信發現太陽視運動不均勻現象以前，通過兩種方法得到的二十四節氣位置沒有區別。

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