【毅言堂】綜合與實踐課怎么上？——觀2025年湖北好課堂有感

【毅言堂】綜合與實踐課怎么上？

觀2025年湖北好課堂有感

前言：綜合與實踐是小學數學學習的重要領域。學生將在實際情境和真實問題中，運用數學的其他學科的知識與方法，經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，感悟數學知識之間、數學與其他學科知識之間、數學與科學技術和社會生活之間的聯系，積累活動經驗，感悟思想方法，形成和發展模型意識、創新意識，提高解決實際問題的能力，形成和發展核心素養。

綜合與實踐主要包括主題活動和項目學習等，第一、第二、第三學段主要采用主題活動式學習，第三學段可適當采用項目式學習。

目前無論是小學北師大版數學教材或人教版數學教材，對于綜合與實踐領域都比舊版更為重視，更強調綜合性和實踐性。北師大版教材中“數學好玩”，人教版教材中不同單元后面的數學活動，都從不同角度要求我們在教學中有效完成這些綜合與實踐。

簡單對比如下表（來自deepseek整理）：

北師大版

人教版

整體風格

開放、活潑、重體驗

嚴謹、扎實、重應用

編排邏輯

以獨立的“數學好玩”板塊呈現，自成體系，趣味引領。

緊密依附于各單元知識，作為知識的綜合應用環節。

活動形式

低年級“主題活動”，高年級“項目學習”，梯度明顯。

以“解決問題”為導向的探究活動為主，形式相對統一。

教師角色

更像引導者、組織者，需要放手讓學生去探索。

更像指導者、點撥者，沿著清晰的主線推進活動。

一、好課堂展示安排

2025年11月20-21日在湖北武漢進行的小學數學“湖北好課堂”交流展示活動中，有幸學習了9節課，聆聽了劉莉老師、方芳老師等專家的點評，收獲頗豐，感悟猶深。

課題如下表：

節次

課題

主講教師

年級

1

土圭之法

李靜瑤

四年級

2

相反意義的量

羅偲

六年級

3

探秘南水北調

余力

六年級

4

穿越古今的測量——長方體的體積

趙燕

五年級

5

我們的校園

王珍珍

四年級

6

探秘九省通衢——武漢

廖俊輝

六年級

7

旅游中的數學——推理

王璽玥

二年級

8

擲一擲

廖涵

五年級

9

藏在紙張里的數學密碼

肖潔

六年級

這9節課都非常精彩，每一位授課教師及其背后的教研團隊，都付出了艱苦的努力，展現出了強大的實力，每一位孩子都展現出了出色的數學素養，對照聽課記錄，值得不斷研究揣摩。

二、九節課學習體會

0 1

第一節《土圭之法》

在2022版新課標第46頁內容要求和第134頁例55《土圭之法的故事》中，我們可以詳細了解課標給出的示例：

精彩之處：

顯然這個選題十分講究，新北師大版數學三年級上冊安排了綜合與實踐《探索年月日的秘密》，對中國古代歷法進行了初步探索，而本節課的選題則來自于2022版新課標中主題活動1，以及例55。

整節課邏輯非常清晰，沿是什么、怎么做、為什么的主線，以《尚書·堯典》中“期三百有六旬有六日，以閏月定四時成歲”這段話導入，一起尋找其中與時間有關的字詞，并給予解讀，幫助學生用數學眼光去觀察古文，理解古文中的數學信息。然后讓學生提出“想知道什么”的問題，并進行整理歸納；關于土圭之法的知識，需要在教材之外尋找解釋，李老師用到了豆包工具，由學生現場向豆包提問，AI給出了若干文字解釋，包括圖片、視頻等，在這些信息中，提取學生容易理解和操作的部分，一個模擬土圭之法的學具，并組織學生在小組活動中操作這些學具，完成測量和記錄，并從記錄中找到規律，驗證四個節氣的劃分依據——日影長度；最后是學生總結歸納，并輔以動畫演示，解釋四季形成的原因。

整個課堂活動中學生參與度高，并且有效進行了數學活動，最終完成了實踐活動，圓滿達成教學目標。

我的思考：

導入環節，將側重點調整為中國古代如何認識一年四季，設置如下問題串：

師：同學們，你們知道我們吃的糧食什么時候播種？什么時候收獲嗎？

生：春天播種、秋天收獲；

師：那我們如何知道春天什么時候來，秋天什么時候來呢？

生：討論中……

從學生討論的各種結果中，肯定所有人的探索過程，找到適合本課的方法——太陽影子長度的變化。

理由是，中國古代的農業主要看天，天上有兩個最為明顯的參照物，太陽和月亮，這也是所有文明古代的歷法中，都離不開太陽和月亮的原因，顯然白天是人類活動最密集的時間段，看太陽最為方便，所以研究它的影子，是一個重要參考。中國古代地域廣闊，植被和地貌差別極大，無法形成統一的認知，而太陽很有效避免了這一問題，大家對其研究的成果可以互相交流，理解一致。

在學生討論結果中，一定會呈現多樣化，但每一種方法，自然有其限制，老師可適當評價，引導學生得到更容易的方法，這和中國古代最終確定用日影的理由是一樣的。

由這個四季來源問題，再引到本課的測量工具上，更加自然，其實課標上那段《尚書》，學生讀起來還是有困難的，需要老師解讀其數學意義，這個環節用時也就較長了。

在研究土圭之法的時候，為什么要用到土圭之法，即為什么要測日影長，那段文字啟發意義并不明顯，所以可以將這部分時間調整至問題串中，將實踐活動的必要性更充分體現出來。

學生可能遇到的另一個困惑，就是為什么四季中日影長會不同，李老師展示的地球、太陽模型很好地解釋了這一現象，中國古代的智慧，是建立在長期、大量的觀察基礎上，需要學生知道用日影長來區分四季，并不是某個人靈機一動想出來的點子，而是中國古代勞動人民集體智慧的結晶，我們在課堂上重現測量，只是將漫長的智慧積累過程濃縮到了一節課。

0 2

第二節《相反意義的量》

在2022版新課標第49頁、第50頁分別是對應的內容要求和學業要求：

在第138頁例50中，對于如何表達具有相反意義的量，給出了樣例：

關于負數的初步認知，北師大版教材位于四年級上冊《生活中的負數》，人教版教材位于六年級下冊《負數》，與課標要求一致，由于正式引入負數進行數域的擴充，放在了七年級，因此小學階段對于負數，主要是理解相反意義的量，從生活情景中感受數系的擴展，進一步發展數感；每一輪數系的擴展，都會經歷認識數、比大小、運算、生活中的應用等若干階段，顯然對于負數，只是起了個頭。

精彩之處：

羅老師在課的開始，展示了真實生活情景中出現的負數如樓層、不同方向、收入支出、上下車、氣溫等，這些學生熟知的事物中，出現了前面帶有“-”號的數字，引發學生對“是什么”的探索，針對為什么會出現這樣的數字，通過讓學生用自已的方式記錄，從文字說明到圖形說明，最后到符號說明，解決了“-”號出現的必要性；

通過讓學生說一說的方式，解讀這些數字所表示的實際意義，體會“相反意義”，在這個環節中，學生表達得非常清楚，本課重點得到了體現。而數線的引入（此時稱數軸并不嚴謹），則將正數、零、負數的位置關系更直觀的展現了出來，這已經接近七年級時對負數的認識了；

當然本課亮點絕不僅止于此，在生活中的情境中發現負數，體會相反意義的量，羅老師的視野非常開闊，生活中一定經常用數學眼光去觀察周邊事物，例如手機相機上的角度，色彩飽和度、音效等，這些身邊的案例具有明顯的現代特征，學生可以立即感受到。

在課堂上，羅老師還提出了一個好問題：“海平面高度是否會發生變化？”，學生在探究這個問題的時候表現出極大的興趣，其實我也很有興趣知道學生是如何認知海平面上升之后，原有地標的海拔高度的變化，有一個孩子說得非常接近真相，當海平面上升后，珠穆朗瑪峰的海拔高度會減少，而吐魯番盆地的高度吞吞吐吐，似乎我聽到的結果是增加；前者比較好理解，六年級的孩子可以很直觀地發現，但后者則理解稍有困難，畢竟學生還沒學過負數比大小，這是七年級的課程內容。

當海平面上升之后，羅老師增加了新的海平面，這個圖就很有意思了：

其實有個學生發現的很值得肯定，就是最高峰和最低谷之間的距離是不變的，當海平面上升之后，珠峰的海拔高度肯定是減少了，盆地到海平面的距離肯定是增加了，但海拔高度應該是減少，而不是增加。這涉及到絕對值的意義，不展開說明。

我的思考：

關于表示正負的符號問題，我們在小學時，接觸到的“+”和“-”通常是代表運算，即這個符號兩端是寫有數字的，現在出現只在符號右側出現數字，左側空空如也，這是非常別扭的，其實左側并不是空的，我們完全可以用0代替，但出現0-2這樣的運算，超出了學生的認知，所以只能理解為以零為界，大于零，0+2，省略零之后記為+2，小于零，0-2，省略零之后記為-2；

這直接導致后面有一個生活情境不好理解，那就是樓層，眾所周知，現實中并不存在0樓，1樓開始，往上是2樓，往下是-1樓，也有的地方標為B1樓，這需要解釋清楚，符合數學的理解是，1樓作為0，往上一層樓是2樓，記為+1，往下一層樓是-1樓（B1），記為-1，是不是和實際生活有出入？數學來源于生活，但生活中的數字是否就是字面意義，未必；

關于零，有必要多說一點，它是正數和負數的分界線，這一點課堂上說是對的，也就是說，你把誰作為分界線，誰就是零，例如在誤差表示時，100克為標準質量，那么它就代表零，+5代表100+5，而-5代表100-5；這就相當于把分界線從0變成了100，于是原來的+5和-5實際上是105和95；這與課堂上海平面升高的含義是一致的，至此這個例子算是畫上一個圓滿的句號了。

0 3

第三節《探秘南水北調》

在2022版新課標第50頁、51頁《水是生命之源》內容要求和學業要求如下：

在第142頁例63中，給出了相應的樣例說明：

這里包含的內容遠不止一個南水北調，事實上這也是建議之一，可挖掘的內容相當豐富，關鍵在于老師能否用數學眼光去審視，因此選材南水北調工程，這節課主要研究三個問題：路線、水量、受益。

精彩之處：

這三個問題并不是由老師拋給學生，而是在課堂上通過讓學生自已說一說，想知道什么，再由老師進行提煉，學生前期的準備工作還是相當充分的，在通過各種信息渠道了解到南水北調相關常識后，課堂上的提問相對就會精準許多，體現了課前的引導非常到位，學生對為什么要進行南水北調這樣的超級工程理解很深刻。

在研究第一個問題中，通過讓學生在地圖上用合適的測量工具來測量圖上路線長，再根據比例尺計算路線的實際長度，學生多數選擇了繩子和刻度尺，在第1個學生小組上臺匯報的時候，第二個男生專門強調了測量時，要按住繩子，讓繩子與路線完全重合，同時這一組也出現了極容易被忽略的問題，南水北調從丹江口出發，終點處有分岔，北京和天津，他們只測量了到北京的那段路線，沒有測量天津，后來有個女孩補充得很好，天津也是南水北調工程中的一部分，必須加上；在各小組測量結果中，出現不一樣是很正常的，學生也能理解。圓滿完成了怎樣測量

在研究第二個問題時，700億立方米的水，學生不容易感受到，所以選擇讓學生用身邊熟知的事物，這個班的孩子都是武漢的，所以第一個男生說用東湖(還有其它組用湯遜湖)，很貼切，第二個女生說用長江，第三個男生說用西湖，其實這個地方只要是能夠直觀感受到水量的巨大就可以。這個問題是借助豆包AI來完成的，結果通過彈幕分享到大屏幕上，學生興趣比較高。

第三個問題則是實實在在需要學生閱讀并計算，類似于應用題，從現場學生表現來看，速度很快、準確度很高。

像這種給材料分析的活動，一方面培養了學生從文字信息中讀取數學信息的能力，另一方面也幫助學生運用已學過的數學知識去解決問題，素養導向明確。

關于調水分配方案的設計，非常妙，一方面是扇形統計圖的運用，另一方面是讓學生參與決策，依靠數據進行決策。

我的思考：

當學生在用細繩將地圖上的路線“化曲為直”的過程中，主要是體驗這種轉化的數學思想，但在實際操作中，印在紙上的路線更多是用刻度尺一段段量出來，這其實也沒問題，從數學意義上講，曲線分割下去，可近似認為由很多小線段構成，部分小組的學生用刻度尺一小段一小段地測量，精度和用繩子拉直后測量，相差并不大。

學生在調水分配方案中有各自不同的想法，是很正常的，只要合理，都值得肯定，事實上南水北調有益之處并非只有對北方的民生、農業、生態等有影響，對于南方也有益，多余的水被北調了，那么發生洪澇災害的可能會減少一點，同時運河的存在，也讓南北交通更便利，對雙方都有益。

0 4

第四節《穿越古今的測量——長方體的體積》

人教版小學數學五年級下冊教材中，有專門的討論活動，怎樣計算長方體的體積？

長方體的體積計算公式是長×寬×高，如何讓學生在探究活動中理解這一公式的來源，用學生能理解的方式推導出這個公式，是本節課的重要任務。學生在前面的課時中已經學習了什么是體積，以及體積單位，按認知規律，將用前面學過的體積單位來“測量”長方體的體積，知道一個長方體的體積由多少個體積單位組成，如何組成，對于真正理解公式的幾何意義有極大幫助。

精彩之處：

這節課的導入環節就十分吸引人，粟米層積法。

在中國古代數學著作《九章算術》“商功”章中，記載了一種計算長方體糧倉容積的方法，其原理是：利用標準容器“斗”或“斛”為基本單位，將一定單位數量的粟米運入糧倉平鋪，記錄下這一層粟米的厚度，再通過觀察糧倉中粟米的高度有多少層，從而計算出這個糧倉的容積。

這是非常奇妙的體積計算方法，成功將體積計算變成了高度測量，這種層積法再往后發展，便是大名鼎鼎的祖暅原理“冪勢既同，則積不容異”，意思是截面面積相等的立體體積相同，通過分層（切片）解決不規則立體體積的問題。

趙老師通過一段AI視頻解讀了這一古代求長方體體積的方法，并將視頻中的透明長方體盒子也拿到了現場，完成了從虛擬到真實的轉場。然而這節課并不是要重復這個方法，而是基于該法的升級，用單位體積來表示長方體體積，因此這一段轉進是趙老師示范講解的，通過講解，也介紹了即將登場的各種道具，為后面的活動進行了很好的鋪墊。

通過這個轉場，從導入情境中的古代問題，變成了現實課堂中的小立方塊和長方體箱子的問題，十分精彩，十分順滑。

方法也提煉了出來，求一個物體的體積，就是求這個物體包含多少個體積單位。

第一組學生很快擺滿了這個箱子，隨后趙老師提出了一個好問題“不擺滿箱子也能算出體積嗎？”這個問題其實也是來源于古代的實際問題，哪有那么多標準容器？這就把如何用單位體積去測量長方體體積的方法的必要性展現了出來。

四個學生回應了猜想，分別有三種：7個，一半（12個），5個；然后各小組抽簽決定用多少個小立方體去擺滿箱子，簽上的數字分別是1，7，13，即分別用1個，7個，13個小立方體去測量長方體箱子的體積。這個活動是本節課的重點部分，讓學生動手操作，去實際感受體積單位如何“湊”成一個長方體。

在展示環節，學生表達非常清晰，每一層的數量乘以層數，就是總數，而每一層的數量是長乘以寬的結果，這幾乎就是體積計算公式了。

學生展示用7個立方體表示長方體的體積，也就是表示出了長方體的三條棱，如下圖：

于是接下來用1個立方體也能擺，只不過需要移動一下，設計用1個立方體擺的目的是幫助學生理解體積單位概念，然后順理成章將測量工具進化成刻度尺，如下圖：

當我們將長×寬換成底面積，則得到了長方體的另一個體積計算公式，底面積×高，整節課思路非常清晰，板書漂亮，如下圖：

我的思考：

在第一個活動中，學生用多少個小立方體可以測量長方體箱子的體積，不妨再放開一點，在前面四個學生回答的基礎上，讓學生任意選取需要用到的小立方體，時間再給多一點，充分體驗“最簡”，后面有學生解讀如何用5個小立方體來測量，其實和用1個的思路是一樣的，雖然這節課設計的時候給出了1，7，13這三種情況是學生最容易想到的，但沒有必要限制數量。

從數小立方體個數到用刻度尺測量長、寬、高，這中間存在一個過渡，趙老師已經處理得很好，不再贅述，這里只是就長方體體積公式拓展一下：在學生前半節課已經熟練掌握用小立方體測量長方體體積后，他們已經知道了用體積單位來測量體積，在學生回答還可以用刻度尺測量之后，這個性質就完全變了，我們知道刻度尺測量出來的是長度，而不是剛才學生們數的立方體個數，長度×長度結果是面積，而個數×個數得到的是總數，因此這節課的理解難點就在這里，從數學意義上理解，當每個小立方體的棱長縮小成刻度尺上的一個長度單位之后，最底層的小立方體會變得很“薄”，近似于平面，而多個平面疊加起來，就是我們的長方體，小學生并沒有接觸過無窮小概念，所以這個學段，我們只能是感受。

為什么在學習了長×寬×高之后，還要再推導出底面積×高？恐怕這是學生很容易產生的疑惑，這其實涉及到長方體的分類，它屬于柱體，只要每個截面面積相同，那么這一類柱體都可以用其截面積乘以高，另外，對于長方體而言，底面是相對的，任意兩條相鄰的棱所在的平面，都可以作為底面，而幫助學生理解這一點，只需要將長方體換個擺法。

0 5

第五節《我們的校園》

人教版小學數學三年級下冊的綜合與實踐活動

總共有兩個校園中的問題，本節課選擇的是第一個問題，鋪草皮。

學生在三年級已經學過了面積計算和搭配，因此在這個綜合與實踐活動中，主要運用這兩個章節的內容來解決實際問題，對應的核心素養維度分別是數感與運算能力、量感與空間觀念、應用意識和創新意識、推理意識和數據意識、模型意識。

精彩之處：

王老師很巧妙地將書本中的問題變成了現實中的問題，并創新性地將標書這一事物呈現在學生面前，讓所有學生的參與感得到有效激發。

在第一個活動中，讓學生自主設計兩塊空地鋪設不同草皮，再計算所需要總費用這就涉及到如何分配的問題，每塊空地鋪一種草皮，現有兩塊地、三種草皮，將這個實際問題用數學眼光觀察，就是分配（列舉法），課堂上用“如何寫最簡單”將它數學化，分別用字母表示這三種草皮，而為更直觀表示結果，將它們表格化，學生在面對表格中的數字時，所需要思考的維度是不一樣的，通常情況下，算式中的數字，我們只需要考慮它進行的什么運算，表示什么實際意義，而在表格中，一個數字除了左右相鄰，還有上下相鄰（行與列）的關系，對學生要求較高，特別是在計算不同空地鋪不同草皮時，從表格中找到相應的數字，是難點之一。

第二個活動屬于開放性活動，學生可自由發揮，根據前面引導視頻中的草地樣式，學生不限于同一空地只用一種草皮，而是可以混搭，并且課堂上還給出了一個自動計算面積的程序，將設計過程中需要的計算自動處理，讓學生專注于設計圖案。實際在課堂上，學生的想法多種多樣，并且很有實際意義，有些設計真的可以用于現實。

我的思考：

用表格來容納數字對小學生來講一直很不容易，因為表格是二維的，每個單元格分屬不同的行與列，而行與列則是表格中數字的一類信息，以本課表格為例，每個數字包含的信息有草皮名稱，價格，因此這三個數字所在單元格，行指草皮信息，列指價格，學生在讀取表格中的數字信息的時候，必須同時關注這兩條；反之，未來在學生需要用表格表示數字信息的時候，要學會將數字信息分成兩類，根據這兩類來列表，這個難度更高。

在學生討論總共有多少種鋪草皮的方案時，全鋪同一種的有AA，BB，CC，這比較容易解釋，但鋪不同類草皮時，學生對于AB，BA是同一類的理解，有點勉強，畢竟在圖示上，這兩塊空地位置是不一樣的，因此，需要說明，當我們在計算總費用的時候，兩塊空地的位置信息不重要，而在后面進行草地圖案設計的時候，這個位置信息就不能忽略了，例如有孩子在草地上設計文字，“天天向上”和“向上天天”顯然不同。這同時也是在告訴我們，用數學眼光觀察現實世界，是帶著目的去觀察的，學生在需要解決問題的前提下，用數學眼光去觀察，那觀察出來的結果必須與問題相關，不盲目。

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第六節《探秘九省通衢——武漢》

本課是六年級綜合與實踐，內容自創，通過巧妙的設計，將比例尺、統計圖、速度等數學知識，與地理、經濟等多學科融合，教學設計非常新穎，并在課堂上引入與AI大模型對話，調整提示詞從而得到預期回答。

精彩之處：

第一個活動是探秘水陸空交通網，通過一張車票展開，特別是省內非武漢地區的人們，外出乘坐交通工具，基本繞不開武漢中轉或途經武漢，這完美解釋了“九省通衢”的含義，通過武漢臨近的幾座大城市到武漢的距離，在數學意義上解讀了它“中心”的含義。

第二個活動是“千公里經濟圈”，結合前面的數據，加上經濟數據，呈現了武漢的這個經濟圈中了樞紐地位，順便引出“長江經濟帶”的概念，從經濟角度來看武漢的地位。在這個活動中，學生通過向AI提問，獲取武漢經濟地位相關的信息，并從這些信息中提取自已需要的內容，用自已的數學知識去理解，用數學的方式展現，例如統計圖。

學生在這個活動中，直接與AI對話，并審視AI給出的回答，判斷是否有益于自已思考的問題，并不是盲目聽從AI給出的結果，這對于我們未來在課堂上科學運用AI給出了很好的案例，值得進一步思考。

我的思考：

導入環節已經很優秀了，不妨在此基礎上將問題拋給學生，如果你從省內某個其它城市出發，例如黃石，前往外省某個城市，車票怎么買？可以現場打開12306來呈現，若直達，則途經城市中有沒有武漢，若中轉，是不是在武漢中轉，通過這個設計，讓學生更直接認識到武漢“九省通衢”的地理意義；

另一方面，“九省通衢”中的數字“九”真的是是指九個省嗎？這也可以作為跨學科知識進行解讀。

活動一中，主要是通過水陸空交通網來體現武漢的“中心”地位，除了在地圖上測量，通過比例尺計算外，其實還有多種方式，例如在初中學段，將整個中國地圖，看作一個不規則圖形，它的中心在哪里？如何用一個半徑最小的圓，將整個中國地圖完全覆蓋，圓心在哪？

第二個活動是通過AI問答，了解武漢的經濟地位，現場老師們耳目一新，引發了熱烈的討論，那就是關于AI回答這種形式，究竟是不是數學課？劉莉老師進行了專業解讀，肯定了這種形式的AI運用，并且鼓勵老師們進行更深入的思考和實踐，我們的數學課堂上，怎樣用AI才能促進學生核心素養的提升？

到目前為止，我們絕大多數AI的應用，都集中在搜索信息，這是搜索引擎時代的習慣，AI的作用絕不僅僅作為搜索引擎，它可以模仿人的某些操作，還會進行判斷，它的“經驗”來自于背后海量的數據、大模型，因此在這節課上，學生向AI提問之后，AI給出的結果是基于成年人的理解層面，它并不知道小學六年級的孩子具備什么樣的知識儲備，也不明白這個班的學生的成長經歷，因此無法給出最適合孩子們理解的內容，所以能看出孩子們在看到結果之后，臉上的一點茫然。

AI給出的結果不經加工直接給學生，是欠妥的，這也是課堂上依然需要老師的必要性，因此在小學階段，對于AI在課堂上的使用是很謹慎的，畢竟我們都知道它喜歡“一本正經胡說八道”，但作為老師備課、教研卻是利器。

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第七節《旅游中的數學——推理》

人教版小學數學二年級下冊綜合與實踐

本課對教材內容進行了改編，用家人出游問題代替教材上的拿書問題，并在后續安排了活動二，包含教材上的汪汪調色盤、座位選選看、鞋子對對碰，用排除法、列表法、連線法教學生初步的數學推理，讓學生從已知信息出發，分析條件間的關聯，養成有序思考的習慣，限于二年級學生的認知水平，主要是從兩個元素到三個元素的推理。

精彩之處：

導入環節貼近生活，以早餐吃什么的二選一推理，拉近與學生的距離，這一類基礎推理，學生面對兩個選擇A和B，條件肯定A或否定B，則選A；讀懂條件中表示肯定和否定的語句，從而得到推理依據；

活動一中第一個孩子說的是對的，但寫的是錯的，后面連續發言的學生，邏輯思維非常清晰，王老師的板書將這些邏輯漂亮地記錄在黑板上；

以上同學均通過描述的方法推理出最后的結果，完成了邏輯推理的第一層；

借助學生在學習單上的生成，將描述法進一步升級成連線法；

王老師迅速抓住學生現場表現，巧妙地引導學生回答，利用生成推進課堂節奏，很高明。

兩名學生先后上臺，用邊推理邊填表的方式，完成第三種表格法；其中每種顏色代表第幾次推理，紅色代表第一次推理“第一站去動物園”，這個條件的另外含義是第一站不去游樂園和科技館、第二站和第三站不去動物園；藍色代表第二次推理“第二站不去游樂園”，它的另外含義是第二站去科技館、第三站不去科技館；最后的黃色則是最后一步，只剩下一個選擇了，這種方法對學生來講理解難度較大，要用好并不容易。

三種方法之后，提出了一個好問題“這三種方法在推理步驟上有什么相同之處？”引導學生迅速找到了推理的關鍵點——有序思考。

活動二中，學生很順利地完成推理，說明在這節課上，確實掌握了推理的方法；

這兩個推理的設計非常好，座位選選看中，第一句是否定句，第二句需要比較大小后才能確定；鞋子對對碰中，第一句同樣也沒有確定，第二句才確定一處，再回過頭看第一句，確定了兩處，第三、四句都是否定句式，這樣的條件在推理中很考驗學生的邏輯能力，畢竟不是A，那可能是什么呢？這個問題比起簡單的肯定句式，對推理的要求更高一些。

我的思考：

連線法就是未來樹狀圖的雛形，不妨用樹狀圖來整理一下活動一：

這是所有可能的情況，現在按活動一中的條件，第一站去動物園，第二站不去游樂園，劃掉排除的分支，如下圖：

這個過程學生用描述法說得很好，用連線的方式也容易接受，表格法稍有困難，仔細聽了描述表格法的兩個孩子的回答，其實他們沒有給出老師期望的答案，不過老師很有耐心，充分鼓勵了這兩個孩子，那么老師期望什么結果呢？

動物園

游樂園

科技館

第一站

第二站

第三站

當上圖中的√和×用藍色統一之后，老師本意是，通過讀條件“第一站去動物園”，學生確定了第一站的去處之后，同時還要確定第一站不去游樂園和科技館，以及第二站和第三站都不可能再去動物園，但兩個孩子始終只說了第一站去動物園，不去游樂園和科技館，因為他們心里默認，既然第一站去了動物園，那么第二站和第三站自然不會再去動物園，這個問題其實好解決，在活動一開始之前，規則中講清楚，每一站去一處，不重復即可。

而第二個條件“第二站不去游樂園”，老師期望的結果同樣如下圖：

動物園

游樂園

科技館

第一站

第二站

第三站

第二站不去游樂園，那么剩下只有科技館可選，同時第三站一定是游樂園，最后再補上表格中最后一塊，第三站不去科技館，不同顏色區分出不同判斷步驟，這沒有問題，只是學生未必按這個思路，二年級的孩子，能夠通過二選一排除法完成初步推理，教學目標已經達到了。

我們再來看這兩個條件“第一站去動物園”和“第二站不去游樂園”，其實它們能推理出的結論是有重復部分的，“第一站去動物園”，可以推理出第二站和第三站都不會去動物園，以及第一站不會去游樂園和科技館；“第二站不去游樂園”，可以推理出第二站去科技館，第三站去游樂園，以及第三站不會去游樂園；也就是說，學生僅通過前一個條件可以推理出相應的結論，也可以在前一個條件中推理出部分結論，而由第二個條件補齊剩下結論，是可以的；但從線性邏輯角度來講，盡量由一個條件推理出所有結論，不遺漏最好。

0 8

第八節《擲一擲》

人教版小學數學五年級上冊綜合與實踐

本節課在第4單元《可能性》最后一節，學生在前面已經初步學習了列舉法求概率，用次數估計概率等，接觸到了摸卡片、轉盤、擲立方體等游戲，對事情發生的可能性有一定了解，所以在章節最后安排這個綜合與實踐活動，旨在幫助學生運用所學知識，解決兩個骰子（色子）擲出點數的問題。

精彩之處：

在前面鋪墊一個骰子可扔出6種可能，并且每一種可能性相等之后，提出兩個骰子一起扔，總共有多少種可能，這其實埋下了伏筆，因為我們知道兩個骰子扔出的所有結果，可能性并不相等，但此時學生并不知道，這也是利用認識誤區營造一種懸念，為后面的游戲引出做好準備。

在學生認知中，兩個骰子一起扔，總共會有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12這十一個結果，因此當老師出示悟空和八戒一起玩游戲的時候，下意識地認為悟空的5，6，7，8，9只有五種，而八戒有六種結果，所以八戒會贏，不過有個孩子說悟空的結果是連續的，八戒的不連續，所以悟空會贏，這個觀察角度十分特別（似乎是對的），引起爭議之后，后面再做實驗就顯得十分必要了。

收集實驗數據的方式采用了平板上的app，如下圖：

這比起傳統的畫“正”字，效率提高了很多，也更方便匯總全班數據，信息技術手段使用得恰到好處。

有限的實驗次數能否說明悟空一定能贏？有孩子說運氣不好，不服，那么順勢增加次數，顯然一節課時間不夠完成，因此再次引出自動投骰子的小程序，它恰好解決了傳統課堂時間與空間不足的問題，這也是課堂上正確使用信息技術的范例。

實驗之后，老師引導學生思考為什么會有這樣的結果，引出了數字組合的概念，再用加法算式來表示所有數字組合的結果，讓學生思考實驗結果的必然性。

廖老師展示的這個小組的結果很有代表性，在列舉所有可有可能算式時，加數中出現了超過6的數字，現場這個小組的孩子們立刻進行了反思，相信他們對自已的錯誤認識足夠深刻了。

我的思考：

仔細對比了教材上的情景和本節課的情景，西游記的背景更童趣一些，但個人認為教材上的情景更容易讓學生有參與感，老師與學生一起玩游戲，老師為什么總是贏，會激發學生更大的興趣。

課堂上廖老師敏銳地抓住了學生出現的錯誤，并利用這個生成有效推進了課堂，經驗十分老道，其實還有一種方法可以避免學生出現這種錯誤，就是表格，如下圖：

1

2

3

4

5

6

1

1+1

1+2

1+3

1+4

1+5

1+6

2

2+1

2+2

2+3

2+4

2+5

2+6

3

3+1

3+2

3+3

3+4

3+5

3+6

4

4+1

4+2

4+3

4+4

4+5

4+6

5

5+1

5+2

5+3

5+4

5+5

5+6

6

6+1

6+2

6+3

6+4

6+5

6+6

在表格中我們同樣可以用不同色塊區分兩人獲勝，效果是一樣的，當然，本課所用方法更類似正態分布圖，統計圖總比表格更直觀。

0 9

第九節《藏在紙張里的數學密碼》

小學六年級學過比和比例之后，利用生活中常見的A4紙作為情景，研究它的長寬比，以及為什么選擇這樣的長寬比，引申到古代中國紙張的尺寸，從古到今，從傳統文化到現代工業標準，這節課的選題十分巧妙，將多個學科的知識融到了一起，同時還具備延展性，留下的問題可以在初中階段繼續研究，直到徹底弄明白。

精彩之處：

從中國古代不同朝代紙張的大小導入本課，厚重的歷史感一下子就上來了，直到出現現代的紙張，這是生活中經常見到的事物，貼近學生。

肖老師擅于引導學生提問，通過學生發言，將他們想研究的問題一一羅列，并成功導出本課的問題，A3紙是297×420mm，A4紙是210×297mm，A5紙是148×210mm，學生很快發現這些數字之間的聯系，并由此產生了新的問題，為什么這樣設計？

學生很快發現這些不同的紙張，有的長等于另一張的寬，有的長等于另一張長的一半，而“一半”可以通過對折得到，而且學生確實觀察非常細致，對折后，長與寬是相對的，畢竟我們學習長方形的時候，長代表較長的邊，寬代表較短的鄰邊，這一點抓得很好。

通過活動對折、測量，發現結論：A3紙對折后就變成A4紙，長寬比不變，都約為1.4。

發現這一結論之后，進一步激發學生興趣，為什么會這樣？用字母a、b表示一個長方形的長與寬，對折后，新長方形的長是b，寬是a/2，結果得到a:b=b:a/2，當然這個比例式在小學階段學生還暫時得不出比值，但這節課進行到這一步，探究已經足夠深入了。

我的思考：

在人教版初中數學七年級下冊，我們還會有一次這樣的探究：

在此基礎上，我們還可以繼續探究B4、B5尺寸的紙，還有8開、16開尺寸的紙，研究方法仍然是一樣的。

我們在未來初中擴充數域時，這也可以作為“數不夠用了”的案例，無理數的發現，不僅僅只是邊長為1的正方形的對角線長度，長寬比一定，對折后仍然保持這一長寬比的長方形，都可以設計成引導問題。

在小學階段，我們接觸到的絕大多數都屬于有理數，即可以寫成q/p形式的數，其中p、q是整數(p≠0)，從數指頭開始認識整數，從分一分開始認識分數，這些都屬于有理數，只有當學習小數的時候，有一個讓學生十分困惑的數，那就是圓周率，除它外的小數，都可以變成分數，而到了初中，接觸到更多不能變成分數的小數，即無限不循環小數，再擴充至實數，高中階段還會再經歷一次數域的擴充，這是后話了。

三、怎樣上好數學綜合與實踐？

首先需要提出一個好項目（好活動、好問題）

數學來源于生活，當我們用數學眼光觀察現實世界時，會產生很多數學問題，相當一部分可以搬到課堂上進行研究，例如這九節課的選題，在選題方面，我們的課標已經給出了很多樣例，我們的教材更給出了具體的問題，教師用書針對這些問題也給出了相應的教學建議，所以對于一線教師來講，認真學習新課標，認真研究教材，認真閱讀教師用書，這是前提；

其次需要科學地設計好項目的課堂呈現形式，雖然我們在生活中可能會有無數數學問題需要解決，但在課堂上，在40分鐘（或45分鐘），能夠呈現出的部分有限，因此選擇哪些點鋪開，延伸到什么程度，適合哪個學段，需要課前仔細思考；例如新課標中《度量衡的故事》，這里面可挖掘的內容非常多，我們需要根據教學需要，選擇其中部分元素來進行教學設計，在大標題之下，確定小標題；

在選題之后，就是內容的裁定，我們需要一個學生能夠在課堂上“盡全力”完成的項目，或能解決的問題，所謂“盡全力”，一方面是指這個問題要引起學生足夠的興趣，這九節課中，研究的問題均來源于學生“想知道”、“想完成”，而不是老師想知道、想完成；另一方面是不超范圍，在學生認知框架下設計，讓學生能夠用已有的數學知識來解決問題，如果過程中涉及到未來內容，也是以留下懸念為主，忌諱將未學內容匆匆包裝，喂一口夾生飯。

最后是師生共同完成項目，正如現實中的項目，并非領隊一個人發號施令就把項目完成了，而是牽頭進行研究，帶動團隊一起研究，老師顯然是班級這個團隊的Project Manager (PM)，所有參與綜合與實踐的學生，要深刻感受到課堂上的活動與操作，是為了他們自已的興趣或困惑，而不是“老師讓我們這樣做”，因此整個課堂上要有分工協作，除了生生協作，還需要有師生協作，當老師將自已從課堂活動的“局外者”切換身份到“參與者”，課堂活力就出來了。

四、關于AI與課堂教學的話題

感謝劉莉老師在活動中屢次提及它，目前AI很流行，大家都在用，都在研究，聲音也很多，我個人認為：

第一、任何AI給出的結果，未經加工，不得直接拋給學生；

第二、AI是工具，需要老師去主導，而非反過來；

第三、絕對禁止學生用AI找答案；

借用劉莉老師的一段話作為結尾