“開胃菜”數(shù)學(xué)專欄第17期：用變量代換法求解微分方程

本期話題：在微分方程的理論中，變量代換方法有著廣泛的應(yīng)用，通過變量代換，將方程轉(zhuǎn)化為相對容易解的方程類型，從而達(dá)到求解目的。例如，齊次方程、伯努利方程、歐拉方程、二階可降階方程等，都有固定的換元模式。但更多靈活的換元方法，主要靠經(jīng)驗和積累，也是一個無止境的探索，其中熟練地湊微分和函數(shù)各種變形也起著重要作用。

本期話題，給大家提供幾個相對固定的換元模式，并介紹一些比較經(jīng)典的換元案例，以饗讀者。

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典型題

｜詳細(xì)分析

自主練習(xí)

｜專題訓(xùn)練

參考解答將在下一期公布，歡迎大家直接在文后留言參與討論和批評指正（描述不清楚的問題可以直接在留言區(qū)上傳圖片）。

【注1】“開胃菜” 數(shù)學(xué)專欄是咱號為助力學(xué)友們攻克大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難關(guān)，特別聯(lián)合在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域擁有深厚積淀與豐富經(jīng)驗的金義明老師共同打造的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)專欄。專欄以 “夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、拓展解題思路、提升問題解決能力” 為核心宗旨，聚焦學(xué)生在大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)中的核心需求。無論是在課堂學(xué)習(xí)后，希望進(jìn)一步鞏固相關(guān)課程的核心知識點，解決知識掌握不牢固的問題；還是在解題過程中，面臨思路狹窄、方法單一的困境，渴望拓寬解題視角；亦或是希望系統(tǒng)積累各類實用解題技巧，提升解題效率與準(zhǔn)確性，專欄都將提供針對性的內(nèi)容支持。

在推文內(nèi)容定位上，專欄主要面向三類核心人群：針對考研備考學(xué)子，圍繞考研數(shù)學(xué)大綱，梳理高頻考點、解析經(jīng)典真題，助力學(xué)子夯實考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，突破備考難點；面向競賽備賽的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，將分享競賽常用解題思路、技巧與典型例題，幫助同學(xué)提升競賽解題能力，從容應(yīng)對賽事挑戰(zhàn)；同時，對于希望在大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)課程學(xué)習(xí)中實現(xiàn)進(jìn)一步提升與鞏固的學(xué)友，專欄也通過知識點深化講解、易錯點分析等內(nèi)容，助力其穩(wěn)步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)成績。

【注2】對于練習(xí)，一定不要做完、核對完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個知識點的應(yīng)用、或某個題型的求解思路與方法，不僅對于解題思路要理解、掌握，同時對于涉及的知識點、解題思想與方法要總結(jié)，對于其中的一些結(jié)論、結(jié)果最好能夠記住。同時，對于給出的參考解答過程，要仔細(xì)推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時查漏補(bǔ)缺，保證在再出現(xiàn)類似問題時，能夠重現(xiàn)求解思路與過程，從而保證訓(xùn)練的有效性！對于如何練習(xí)，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習(xí)題主要源于歷屆考研題、競賽題與經(jīng)典教材與參考書，相關(guān)題目可能略有改動！建議（一定）自己在草稿紙上動手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細(xì)參考解答（多解）參看高數(shù)、數(shù)分綜合提高練習(xí)冊，點擊推文鏈接：了解詳情！

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