“開胃菜”數(shù)學(xué)專欄第17期：用變量代換法求解微分方程

本期話題：在微分方程的理論中，變量代換方法有著廣泛的應(yīng)用，通過變量代換，將方程轉(zhuǎn)化為相對(duì)容易解的方程類型，從而達(dá)到求解目的。例如，齊次方程、伯努利方程、歐拉方程、二階可降階方程等，都有固定的換元模式。但更多靈活的換元方法，主要靠經(jīng)驗(yàn)和積累，也是一個(gè)無止境的探索，其中熟練地湊微分和函數(shù)各種變形也起著重要作用。

本期話題，給大家提供幾個(gè)相對(duì)固定的換元模式，并介紹一些比較經(jīng)典的換元案例，以饗讀者。

本專題推文的主體內(nèi)容將在后續(xù)整理后上傳分享！由于電子文檔以外部鏈接存放具有不穩(wěn)定性與不可控性，為此，咱們公眾號(hào)的部分封面圖片原始高清文件和推文中明確有PDF文檔分享的電子文檔下載請(qǐng)通過考研競(jìng)賽交流圈（點(diǎn)擊打開）文件或美圖分類，或相應(yīng)分類標(biāo)簽快速獲取。文檔上傳時(shí)間一般要晚于推文幾天，或者會(huì)集中在月底上傳。咱號(hào)不贊成積累、打印電子文檔，希望學(xué)友們通過筆記本、草稿紙，抄抄寫寫學(xué)數(shù)學(xué)！

典型題

｜詳細(xì)分析

自主練習(xí)

｜專題訓(xùn)練

參考解答將在下一期公布，歡迎大家直接在文后留言參與討論和批評(píng)指正（描述不清楚的問題可以直接在留言區(qū)上傳圖片）。

【注1】“開胃菜” 數(shù)學(xué)專欄是咱號(hào)為助力學(xué)友們攻克大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難關(guān)，特別聯(lián)合在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域擁有深厚積淀與豐富經(jīng)驗(yàn)的金義明老師共同打造的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)專欄。專欄以 “夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、拓展解題思路、提升問題解決能力” 為核心宗旨，聚焦學(xué)生在大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)中的核心需求。無論是在課堂學(xué)習(xí)后，希望進(jìn)一步鞏固相關(guān)課程的核心知識(shí)點(diǎn)，解決知識(shí)掌握不牢固的問題；還是在解題過程中，面臨思路狹窄、方法單一的困境，渴望拓寬解題視角；亦或是希望系統(tǒng)積累各類實(shí)用解題技巧，提升解題效率與準(zhǔn)確性，專欄都將提供針對(duì)性的內(nèi)容支持。

在推文內(nèi)容定位上，專欄主要面向三類核心人群：針對(duì)考研備考學(xué)子，圍繞考研數(shù)學(xué)大綱，梳理高頻考點(diǎn)、解析經(jīng)典真題，助力學(xué)子夯實(shí)考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，突破備考難點(diǎn)；面向競(jìng)賽備賽的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，將分享競(jìng)賽常用解題思路、技巧與典型例題，幫助同學(xué)提升競(jìng)賽解題能力，從容應(yīng)對(duì)賽事挑戰(zhàn)；同時(shí)，對(duì)于希望在大學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)課程學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步提升與鞏固的學(xué)友，專欄也通過知識(shí)點(diǎn)深化講解、易錯(cuò)點(diǎn)分析等內(nèi)容，助力其穩(wěn)步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)成績(jī)。

【注2】對(duì)于練習(xí)，一定不要做完、核對(duì)完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用、或某個(gè)題型的求解思路與方法，不僅對(duì)于解題思路要理解、掌握，同時(shí)對(duì)于涉及的知識(shí)點(diǎn)、解題思想與方法要總結(jié)，對(duì)于其中的一些結(jié)論、結(jié)果最好能夠記住。同時(shí)，對(duì)于給出的參考解答過程，要仔細(xì)推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對(duì)，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時(shí)查漏補(bǔ)缺，保證在再出現(xiàn)類似問題時(shí)，能夠重現(xiàn)求解思路與過程，從而保證訓(xùn)練的有效性！對(duì)于如何練習(xí)，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習(xí)題主要源于歷屆考研題、競(jìng)賽題與經(jīng)典教材與參考書，相關(guān)題目可能略有改動(dòng)！建議（一定）自己在草稿紙上動(dòng)手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細(xì)參考解答（多解）參看高數(shù)、數(shù)分綜合提高練習(xí)冊(cè)，點(diǎn)擊推文鏈接：了解詳情！

【注4】數(shù)學(xué)內(nèi)容推文整理分享、閱讀都不容易，費(fèi)時(shí)費(fèi)力更費(fèi)腦！參考解答僅供參考，解答過程與思路僅代表作者對(duì)問題的理解，解答過程不一定嚴(yán)謹(jǐn)或完全正確，或者是最優(yōu)的，希望在對(duì)照完以后，不管是題目有問題，還是參考解答過程有問題，希望學(xué)友們?cè)谖暮罅粞圆涣咧赋?/strong>！如果有更好的解題思路與過程，也歡迎通過管理員郵箱、微信或QQ以圖片、或Word文檔形式發(fā)送給管理員，對(duì)于分享的完整思路與解答過程，管理員將盡可能在第一時(shí)間推送和大家分享，謝謝！

上期練習(xí)參考簡(jiǎn)答

往期推薦閱讀

1、

2、

3、

4、

微信公眾號(hào)：考研競(jìng)賽數(shù)學(xué)(ID: xwmath)大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程分享交流平臺(tái)！支持咱號(hào)請(qǐng)點(diǎn)贊分享！