平均分中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)智慧，構(gòu)建除法的思維根基|漢聲數(shù)學(xué)精讀⑤

當(dāng)孩子們能夠熟練地使用加減法，并開始接觸乘法后，一個與之相伴相生、卻又思維方式不同的概念——除法，正等待著他們。《猜一猜，除一除》這本書，將帶領(lǐng)我們超越平均分的單一視角，共同探索除法作為一種強(qiáng)大數(shù)學(xué)工具的三種核心靈魂：逆向思維、簡化模型與周期智慧。

在開始共讀之前，我們不妨問自己兩個問題：

1.當(dāng)孩子計算12÷3時，他的腦海中是只能浮現(xiàn)分糖果的畫面，還是能靈活地切換于平均分與包含分之間，甚至能察覺到它與乘法、減法之間的深刻聯(lián)系？

2.他是否認(rèn)為余數(shù)只是一個計算后無關(guān)緊要的尾巴，還是能意識到，這個尾巴恰恰是解決許多現(xiàn)實(shí)問題的關(guān)鍵鑰匙？

如果孩子的理解仍停留在前者，那么這本書的精讀將是一次至關(guān)重要的思維升級。我們一起把除法從一種單純的計算，升華為一種可解決復(fù)雜問題的核心數(shù)學(xué)思想。

我們引導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)除法，目標(biāo)遠(yuǎn)不止于算得對、算得快，在這個過程中，孩子將系統(tǒng)建構(gòu)三種學(xué)好數(shù)學(xué)至關(guān)重要的思維方式：

1. 逆向思維：從結(jié)果反推原因，這是所有方程思維與邏輯推理的基礎(chǔ)。

2. 模型化思想：將紛繁復(fù)雜的情境，抽象為等分或包含的簡潔數(shù)學(xué)模型。

3. 周期性思想：理解余數(shù)如何精確刻畫事物在循環(huán)中的位置，這是洞察規(guī)律的第一步。

掌握這三種思維，意味著孩子開始像數(shù)學(xué)家一樣思考，而不僅僅是計算。

一、低年級（1-2年級）：

操作中建構(gòu)除法概念

對應(yīng)課本知識：

• 二下《表內(nèi)除法》；

核心任務(wù)：

通過對比性操作，深刻體驗(yàn)并理解等分除與包含除的本質(zhì)區(qū)別，感受除法與乘法、減法的內(nèi)在聯(lián)系。

深度精讀活動：

1

等分除

任務(wù)：有12塊糖果，平均分給3個小朋友，怎么分最公平？

操作：鼓勵孩子從“一人一個輪流發(fā)”的直覺，過渡到“先估后分”的策略（猜每人能分4塊，然后直接分配）。

深度討論：先估后分的策略高明在哪里？它其實(shí)在心里完成了一次乘除轉(zhuǎn)換（想：3×4=12，所以12÷3=4）。這就是“猜一猜”的智慧——用乘法的思路解決除法問題！

與課本鏈接：在平均分的實(shí)操中，植入乘除互逆這一代數(shù)思維的種子。

2

包含除

任務(wù)：地上有12顆魔法石，每4顆能合成一個能量寶石。最多能合成幾個？

操作：讓孩子每次圈出4顆石頭，并記錄過程：12 - 4 - 4 - 4 = 0，減了3次。

深度討論：包含除最原始的面貌是什么？是連續(xù)減去相同的數(shù)。除法，其實(shí)就是更簡潔、更高效的重復(fù)減法。這個活動讓孩子從根源上打通了乘、除、減之間的內(nèi)在經(jīng)脈。

與課本鏈接：深刻構(gòu)建對除法意義的完整理解，為未來學(xué)習(xí)除法豎式的算理打下堅實(shí)基礎(chǔ)。（現(xiàn)在部分校內(nèi)老師只關(guān)注等分除，而忽略了包含除，造成孩子缺少對除法兩種意義的完整認(rèn)知。）

二、中年級（3-4年級）：

在關(guān)系中把握本質(zhì)含義——除法是拆解與還原的工具

對應(yīng)課本知識：

• 三下《除數(shù)是一位數(shù)的除法》；

• 四上《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》；

核心任務(wù)：

熟練運(yùn)用乘除互逆關(guān)系進(jìn)行估算、驗(yàn)算與推理，并感受有余數(shù)除法在刻畫周期性現(xiàn)象中的價值。

深度精讀活動：

1

逆向思維：密碼破譯

任務(wù)：破解被墨水涂鴉的算式：__ ÷ 6 = 2？（商是二十幾）。

操作：引導(dǎo)孩子將除法逆向還原成乘法：被除數(shù)= 6×2？。通過估算（6×20=120，6×30=180）鎖定范圍，再結(jié)合其他條件（如被除數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字之和為6）進(jìn)行精確推理。

深度討論：為什么把除法倒過來變成乘法想，問題就變簡單了？這背后的逆向思維，是解決所有未知數(shù)問題的萬能鑰匙，也是未來代數(shù)思維的核心。

與課本鏈接：此活動是學(xué)習(xí)除法試商和解方程思想的啟蒙。

2

余數(shù)思維：周期預(yù)言家

任務(wù)：今天是星期二，24天后是星期幾？100天后呢？

操作：引導(dǎo)孩子發(fā)現(xiàn)星期是以7天為周期的循環(huán)。將問題轉(zhuǎn)化為：24÷7 = 3（周）... 3（天）。

深度討論：我們?yōu)槭裁床魂P(guān)心完整的3周，而只關(guān)心余數(shù)3？因?yàn)橛鄶?shù)精準(zhǔn)地定義了一個事物在循環(huán)中所處的位置。除法在這里，成了一個強(qiáng)大的周期定位器。

與課本鏈接：將有余數(shù)除法從一個計算結(jié)果，升華為解決生活中有規(guī)律現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。

三、高年級（5-6年級）：

策略中應(yīng)用思想——除法是優(yōu)化與深刻

對應(yīng)課本內(nèi)容：

• 五上《小數(shù)除法》；

• 六上《分?jǐn)?shù)除法》；

核心任務(wù)：

在復(fù)雜的策略性問題中運(yùn)用除法進(jìn)行優(yōu)化分析，并初步觸碰數(shù)論思想，感受數(shù)字本身的深刻。

深度精讀活動：

1

優(yōu)化思維：叢林求生之水壺方案

任務(wù)：23人的探險隊(duì)，小水壺供2人/天，大水壺供5人/天。如何配水壺讓所有人有水喝，沒有浪費(fèi)，且方便攜帶？

操作：引導(dǎo)孩子嘗試不同策略：多用大壺（23÷5=4...3，需4大2小、5大）或混合搭配（如3大4小），并比較總壺數(shù)，且無浪費(fèi)。

深度討論：這不僅是除法，更是策略優(yōu)化。我們必須在盡可能用高效率單位和避免因余數(shù)造成浪費(fèi)之間找到最佳平衡點(diǎn)。這引入了最基本的運(yùn)籌學(xué)與優(yōu)化思想。

與課本鏈接：此為解決問題領(lǐng)域的高級應(yīng)用，融合計算、模型建立與策略評估。

2

數(shù)論思維：同余謎題與數(shù)字的家族

任務(wù)：將所有自然數(shù)按照除以3后的余數(shù)來分類，建立0、1、2三個余數(shù)家族。

操作：列出各家族成員，并引導(dǎo)孩子觀察：同一家族的任意兩數(shù)相減，結(jié)果有何特點(diǎn)？（是3的倍數(shù)）。

深度討論：余數(shù)家族在數(shù)學(xué)上有一個專門的名字叫同余類。這個活動讓我們第一次意識到，數(shù)字可以按照除法性質(zhì)進(jìn)行站隊(duì)，這是數(shù)論——數(shù)學(xué)皇冠上明珠的起點(diǎn)。

與課本鏈接：深刻理解整除特性，并為未來接觸更抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)奠定直觀基礎(chǔ)。

當(dāng)我們合上《猜一猜，除一除》這本書，希望孩子帶走的不僅僅是一套計算規(guī)則，而是一個立體的、充滿智慧的除法世界觀：

• 它既是公平的裁決（等分除），也是效率的衡量（包含除）。

• 它既是乘法的回溯（逆運(yùn)算），也是減法的精華（重復(fù)減）。

• 它既能處理完整的量（整除），也能刻畫循環(huán)的位置（余數(shù)）。

• 它既是解決問題的策略（優(yōu)化），也是洞察數(shù)字規(guī)律的鑰匙（數(shù)論）。

從動手操作中建構(gòu)概念，在關(guān)系理解中把握本質(zhì)，再到策略應(yīng)用中升華思想，對除法認(rèn)知的每一次深化，都在為孩子搭建一座從機(jī)械算術(shù)通往真正數(shù)學(xué)思維的橋梁，這便是本書賦予孩子最寶貴的數(shù)學(xué)思維。

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