清華劉家臻團隊：非線性反饋如何驅動網絡的有限時間相變丨PRL速遞

導語

在自然界和社會系統的許多相互作用網絡中，局部連接的微觀動力學會在時間演化中集體放大，導致宏觀結構的突然重組。然而，傳統的平衡統計力學框架無法描述這種在有限時間內出現的非平衡突變過程。本文提出了一個關于非平衡網絡動力學的可解模型，揭示了有限時間動力學相變（Dynamical Phase Transition, DPT）的普適機制：由局部非線性反饋驅動的隨機連邊過程，在時間演化中自組織形成臨界點，使得網絡平均度在有限時間處發散。該框架以解析形式建立了動力學方程、臨界條件與可觀測序參量之間的聯系，展示了非平衡系統中時間奇點的形成。這一工作表明，有限時間的臨界現象并非偶然異常，而是非平衡網絡演化的自然結果，拓展了人們對復雜系統中時間臨界性的認識。

本篇論文一作劉家臻為發起人，主講讀書會[第4期 圖形生長問題的數學理論]。

關鍵詞：非平衡網絡、動力學相變、有限時間奇點、時間臨界性、三角閉合反饋

劉家臻丨作者

論文題目：Dynamical Phase Transitions in Nonequilibrium Networks 論文鏈接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/yls4-kdvj 發表時間：2025年10月15日 論文來源：Physical Review Letters

在自然界和社會系統中，復雜網絡的演化往往呈現自組織的突變特征：金融市場的連鎖反應、生態系統的突然崩塌、社交網絡的輿論爆發，皆是局部互動在宏觀尺度上被放大的結果。傳統的平衡統計力學模型假設系統在長期極限下達到穩態，因此能有效解釋溫度、壓力等外參驅動下的相變現象，卻無法捕捉系統在有限時間內的動力學突變。另一方面，已有的非平衡網絡模型通常聚焦于穩態拓撲（如冪律分布或社團結構）的生成機制，而忽略了這些結構如何在演化過程中自發出現和消失。換言之，現有框架缺乏描述“時間臨界性”（temporal criticality）的理論語言——即局部非線性過程如何通過動態放大在有限時間內誘發全局突變。為了理解這種從微觀連接規則到宏觀爆發行為的跨尺度耦合，我們需要一種新的非平衡網絡動力學模型：它不依賴外部控制參數，而通過內生的動力學相互作用，揭示復雜系統在時間演化中出現的臨界點與相變機制。

為捕捉非平衡網絡在有限時間內的臨界演化，我們提出了一個最小非平衡網絡動力學模型（見圖1）。該模型通過顯式引入時間依賴的連邊率函數，將微觀層面的連接過程與宏觀結構變量（如平均度與聚類系數）的時間演化相耦合。具體而言，模型設定每條潛在邊的生成率不僅取決于節點間的隨機接觸，還取決于它們共同鄰居數所形成的局部三角閉合反饋，從而在微觀層面引入非線性相互作用。

圖1 復雜網絡上的動力學相變

通過在連續極限下對連邊與斷邊過程的主方程求解：（1）我們推導出平均度隨時間的解析表達式，揭示其在有限臨界時間處出現hyperbolic scaling效應，從而在解析層面刻畫了系統從稀疏相到致密相的動力學相變過程。這一結果表明，局部三角閉合的非線性反饋經由隨機連邊放大為全局突變，構成一類一階動力學相變（見圖2和3）；（2）解析推導表明，漸近臨界時間時的度分布會逼近冪律，其中冪指數趨向-1，而聚類標度也會漸近服從 C(k)～1/k，再次體現hyperbolic scaling效應。這一特征表明，有限時間動力學相變不僅改變連接密度，還重塑了網絡的異質結構與多尺度特性（圖4）；（3）作者發展了圖動力學的Schwinger–Dyson方程族，將網絡子圖密度的時間演化形式化為關聯函數的層級演化。該框架揭示了從微觀連接概率到宏觀結構演化的層次耦合機制，為非平衡網絡建立了場論意義下的系統描述。

上述解析結果與大規模數值模擬高度一致。并顯示隨著熱力學系統N增大，序參量躍遷趨于不連續，確認相變的熱力學極限性質。

圖2 有限時間內邊密度發散和對應的一階相變

圖3 相圖

圖4 復雜網絡動力學相變的臨界行為

本研究的理論分析揭示了非平衡網絡在有限時間動力學相變過程中所體現的三種深層機制：（1）有限時間的動力學相變并非偶然的突發事件，而是一種普適的非平衡機制，是一種由動力學自洽性決定的時間臨界性。這一思想在理論上延伸了非平衡統計物理的范疇，使“臨界點”不再是參數空間中的靜態分界，而是時間演化過程中自發出現的奇點；（2）當局部連接強化宏觀聚集時，系統的結構穩定性將很可能隨之下降。解析結果表明，非線性反饋雖可加速秩序形成，但同時放大擾動對全局結構的影響，使系統在臨界點附近對隨機波動極度敏感；（3）在非線性交互可忽略時，系統近似滿足詳細平衡，對應封閉體系的平衡穩態；而在非線性交互不可忽略時，持續的三角反饋驅動系統保持非零概率流，形成具有正熵產生率的非平衡穩態（NESS）。兩種穩態可由“動力學勢–組合熵”競爭關系統一描述，前者為能量最小化平衡態，后者為熵驅動的開放態（見原文討論和補充材料部分）。

未來對動力學相變（DPT）的實證研究，將依賴于更高分辨率的復雜系統時序數據與跨領域驗證，從量子系統到金融經濟系統，再到生態系統。在計算應用層面，未來可探索機器學習生成模型，特別是擴散模型與薛定諤橋框架在非平衡系統中的可遷移性，評估其在有限樣本條件下重建非平衡臨界動力學的能力。在理論層面，有限時間奇點的解析結構揭示了與量子體系動力學相變的形式對應：經典系統的生滅算符與量子演化算符在數理上可由同一類譜解析性刻畫。這種跨領域的映射表明，時間臨界性可能構成連接經典非平衡與量子動力學的共同語法橋梁。未來的理論研究將進一步探討這“動力學勢—譜結構”的統一框架，探索是否存在普適的“非平衡能量景觀”。

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