中國數(shù)學家再中數(shù)學四大刊，蘭州大學首篇：突破斯托克斯方程“光滑性”限制

蘭州大學剛出了篇數(shù)學四大刊！

作者是蘭州大學耿俊教授和西湖大學申仲偉教授，論文已經(jīng)被Inventiones mathematicae（《數(shù)學新進展》）接收。

《數(shù)學年刊》、《數(shù)學學報》、《數(shù)學新進展》和《美國數(shù)學會雜志》并稱為數(shù)學四大刊，是國際數(shù)學界公認的數(shù)學頂級期刊，每年中國研究機構中選論文經(jīng)常不超過10篇。

這項研究，圍繞的是流體力學的重要基礎之一：斯托克斯方程。

具體來說，是研究斯托克斯算子在非光滑區(qū)域里的無窮范數(shù)預解估計。

——別慌，咱淺淺地做個簡化翻譯，大概意思就是，兩位數(shù)學家想搞清楚，在邊界不那么規(guī)則的空間里，比如自然河道而非光滑的管道中，流體運動相關的數(shù)學方程解的范圍和規(guī)律。

可以理解為，是為斯托克斯方程在相當廣的范圍內(nèi)找到了更通用的數(shù)學規(guī)律。

這也是蘭州大學首篇數(shù)學四大。

揭示斯托克斯方程在非光滑域內(nèi)更普適規(guī)律

兩位數(shù)學家瞄準的是流體力學理論里的一個關鍵缺口：

描述粘稠流體運動的斯托克斯方程，在非光滑邊界空間里，流體的速度和壓力還沒有找到可靠的最大值約束規(guī)律。

斯托克斯方程定常形式

在知道作用在粘稠流體上的外力有多大之后，要想算出流體的速度和內(nèi)部壓力，最關鍵的是搞清楚：能不能只通過外力的最大強度，就確定出流體速度的最大值、進而通過間接方式約束壓力波動。

這個判斷方法就是無窮范數(shù)預解估計。

此前，依據(jù)如下公式，僅能在邊界光滑的區(qū)域，比如完美的球面實現(xiàn)這一估計。

而現(xiàn)實中的工業(yè)管道接口并不完全光滑，比如常見的，有連續(xù)切線的C1邊界，允許棱角的Lipschitz邊界等，會導致速度梯度和壓力在邊界附近失控，導致傳統(tǒng)方法失效。

這篇論文有兩大核心突破：

一是給出了關鍵結論，在3維及以上空間的C1邊界、2維空間的Lipschitz邊界下，通過外力最大值，就能預估速度最大值。明確了非光滑邊界的適用性。

二是用大尺度平均的創(chuàng)新思路破解了壓力失控的難題。

具體來說，在有界區(qū)域中，3維及以上空間的C1邊界、2維空間的Lipschitz邊界下，能得出如下核心結論：最大速度常數(shù)·最大外力。

如果邊界光滑，如C1??，還能進一步通過如下公式控制速度梯度的最大值。

而對于外部的無界區(qū)域，只要足夠大，也能實現(xiàn)類似的速度控制，且2維Lipschitz邊界下還得到了更完整的預解估計。

在壓力失控的問題上，作者并沒有直接解決“點上壓力難以控制”這個傳統(tǒng)難題，而是巧妙地采用了“大尺度平均”的新思路：

不糾結邊界附近極小尺度的壓力波動，只在的合適大尺度的上分析，通過新的最大函數(shù)工具，將壓力的平均波動和速度的平均大小綁定。

再結合已有的分析框架，最終實現(xiàn)估計。

并用如下公式清晰地呈現(xiàn)了這一約束邏輯。

該研究的價值極具份量。

在理論上，填補了斯托克斯方程在非光滑區(qū)域無窮范數(shù)空間預解估計的研究空白，首次明確了C1、Lipschitz邊界的適用性，建立了相應的解析半群理論，完善了流體力學的數(shù)學分析體系。

在實際應用層面，為工程領域提供了更貼近現(xiàn)實的計算工具。

現(xiàn)實流體場景多為非光滑邊界，在此之前，工程師依賴近似簡化計算的誤差較大，而本篇論文中的公式可以直接用于預估非光滑邊界下的速度上限和壓力變化范圍，提高了數(shù)值的準確性。

東西部數(shù)學家聯(lián)手

論文的兩位作者，分別來自西部和東部重點研究機構蘭州大學和西湖大學。

耿俊，出生于1982年，云南宣威人，現(xiàn)任蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院教授、博士生導師。

他的主要研究方向是調(diào)和分析、偏微分方程，以及非光滑區(qū)域上的邊值問題和均勻化理論等。

蘭州大學的同學們可能還上過他開設的偏微分方程相關課程。

耿俊于2011年在美國肯塔基大學取得博士學位，導師正是論文的另一位作者申仲偉教授。

此前，師生二人已經(jīng)合作過多篇頗具影響力的文章。

申仲偉，美國數(shù)學會首屆會士，1964年出生，湖南衡陽人。

少時，申仲偉就有“天才少年”之名——14歲就考進了北大數(shù)學系。

1985年，他碩士畢業(yè)于中國科學院數(shù)學研究所。1989年獲芝加哥大學數(shù)學博士學位。在加入肯塔基大學之前，申仲偉還曾在普林斯頓大學和普渡大學任教。

1995年，申仲偉入職肯塔基大學數(shù)學系，2003年晉升為正教授，并于2007-2011年擔任數(shù)學系系主任。2016年，他還獲得了肯塔基大學文理學院杰出教授稱號。

而就在今年7月，申仲偉選擇回國全職任教，加盟西湖大學理學院、理論科學研究院，擔任數(shù)學講席教授。

他的學生中，耿俊之外，諸葛金平也已回國任教，現(xiàn)任中國科學院晨興數(shù)學中心副研究員。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2408.03844

來源：量子位。