“開胃菜”數(shù)學(xué)專欄第9期：遞推積分法與區(qū)間重現(xiàn)積分法

本期話題：遞推積分法與用“區(qū)間重現(xiàn)法”計(jì)算定積分的幾種經(jīng)典模型。對(duì)于含參數(shù)n（n為自然數(shù)或正整數(shù)）的積分，有時(shí)難以直接求出其結(jié)果，這時(shí)我們經(jīng)常通過建立遞推公式的辦法來求解，就像下樓梯一樣逐步降低n的值，最終求出結(jié)果，這種方法我們稱之為“遞推積分法”。

一般通過分部積分的方法進(jìn)行降階，值得注意的是，“下樓梯”可能每次是一個(gè)“臺(tái)階”，也可能是兩個(gè)“臺(tái)階”，所以要準(zhǔn)備好“底部”的一個(gè)或兩個(gè)初始結(jié)果。如果遞推公式比較簡(jiǎn)單，有時(shí)可以歸納得到通項(xiàng)公式。

區(qū)間重現(xiàn)積分法是定積分中一類特殊的還換元法，其作用是通過換元改造了被積函數(shù)，但保持了積分區(qū)間不變，進(jìn)而可與原積分協(xié)作，求出結(jié)果。

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【注2】對(duì)于練習(xí)，一定不要做完、核對(duì)完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用、或某個(gè)題型的求解思路與方法，不僅對(duì)于解題思路要理解、掌握，同時(shí)對(duì)于涉及的知識(shí)點(diǎn)、解題思想與方法要總結(jié)，對(duì)于其中的一些結(jié)論、結(jié)果最好能夠記住。同時(shí)，對(duì)于給出的參考解答過程，要仔細(xì)推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對(duì)，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時(shí)查漏補(bǔ)缺，保證在再出現(xiàn)類似問題時(shí)，能夠重現(xiàn)求解思路與過程，從而保證訓(xùn)練的有效性！對(duì)于如何練習(xí)，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習(xí)題主要源于歷屆考研題、競(jìng)賽題與經(jīng)典教材與參考書，相關(guān)題目可能略有改動(dòng)！建議（一定）自己在草稿紙上動(dòng)手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細(xì)參考解答（多解）參看高數(shù)、數(shù)分綜合提高練習(xí)冊(cè)，點(diǎn)擊推文鏈接：了解詳情！

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