從時間膨脹到長度收縮——給高中生的狹義相對論（二）

作者：鎖相（物理學博士，科研工作者）

上接：

我們已經了解到，相對論改變了人們對經典時空觀中時間這一概念的認識，接下來我們討論相對論對于空間這一概念的影響。

“給高中生的狹義相對論”系列文章是關于狹義相對論的科普，預設的讀者是對物理感興趣的高中畢業生，因此文章中將盡量不出現數學公式和過多的物理術語。部分必須出現的術語將在文章末尾的“名詞解釋”部分簡單闡述。

我們再讓玩具車從乘客身邊開過。玩具車的頭尾經過乘客時，乘客的鐘分別給這兩個事件計時。同樣的，螞蟻的鐘也分別計時。根據之前提到的時間膨脹，t2-t1將會比t2’-t1’來得小。請注意我們舉了一個與之前光反射截然相反的例子。在之前光反射的例子中，跟著螞蟻一起移動的鐘在玩具車的慣性系中空間位置不變，所以測出來的是本征時間，得到一個較小的時間差。而現在，本征時間鐘所在的位置是下圖中綠線所在位置，也就是說，本征時間存在于乘客所在的慣性系中了。所以，在現在的例子中，t2-t1是本征時間，也是可能有的最短時間。

圖六：在此例中，因為綠線所在位置的鐘代表本征時間，所以本征時間存在于乘客所在的慣性系。(說明：圖標來自網絡。為了畫圖和示意方便，圖中比例不合常理。)

因為運動的相對性，乘客感覺到螞蟻的運動速度等于螞蟻感覺到乘客的運動速度。于是，乘客和螞蟻對距離的判斷可以通過時間間隔乘以運動速度得出，那么，乘客測量到的玩具車長度將小于螞蟻測量到的玩具車長度。由于螞蟻隨著玩具車移動，螞蟻測量到的長度是本征長度，也就是長度的最大可能值。簡單地說，運動的尺子變短了。

如果說我們想要測量長度，那么我們需要一把尺子，之前的螞蟻和乘客的相對運動讓人頭昏眼花，于是達成共識最好辦法是在靜止狀態進行測量。我們將選擇一個待測量物體在里面保持靜止的慣性系，里面測量出來的物體長度被稱為本征長度。在之前的例子中，只有乘客能測量到車廂的本征長度，只有螞蟻能測量到玩具車的本征長度。這把尺子的定義不在乎什么技術手段，并且，根據光速不變原理，我們可以用光一秒內前進的距離作為定標的手段。一秒這個時間的確定，我們可以通過之前介紹的本征時間的方法來定義，在這里就不再詳細介紹了。

狹義相對論對時空的影響可以簡單地歸納為尺縮時延。具體的影響大小可以通過之前螞蟻在玩具車中反射光波的方法給予定量計算。所需要的計算只是勾股定理和簡單的高中數學，過程列在下圖中，可以看到，考慮了相對論后，時間和長度變化的系數是

光速是3E8 米/秒，飛機的速度可以是500公里/小時，約為140米/秒，相應的相對論修正大約小于正常值10的-13次方。我們常說的納米只是米的-9次方。所以在地球上較快的常見運動物體上，相對論效應非常非常小，這也就是我們的直覺與經典力學吻合的原因。

圖七：公式中的c為光速，v為小車移動速度，L為鏡子到探測器距離，Dt’為螞蟻慣性系中事件發生時間間隔, Dt為乘客慣性系中事件發生的時間間隔。(說明：圖標來自網絡。為了畫圖和示意方便，圖中的比例不合常理。)

時間膨脹與長度收縮的通用表達式可以通過洛倫茲公式給出。在經典力學中，一個坐標系到另一個坐標系的變換是伽利略變換。伽利略變換明顯不適用于狹義相對論，因為在伽利略變換中，速度是沒有上限的，并且時間膨脹與長度收縮也是跟伽利略變換矛盾的。為狹義相對論準備的數學工具叫洛倫茲變換，這是根據變換的線性性要求（不在此系列文章中介紹了）和四維空間間隔不變性要求（將在后續的“相對論中的因果關系”和“四維空間與E=mc2”兩篇文章中介紹）所得到的。

下面的文章，我們進一步了解相對論中的時空觀，考察的對象是相對論中的因果關系，我們看看時間旅行在物理世界里是否會發生，兩個觀測者之間何時會相互影響。

名詞解釋——給有興趣深究的朋友們

伽利略變換

經典力學中從一個慣性系到另一個慣性系的坐標變換。在火車中，如果用地面坐標表示車廂內物體的坐標，只需要加上火車速度*時間（地坐標=火車坐標+火車速度*火車行駛時間，默認在時間為零時，地面坐標與火車坐標零點重疊）。這個變換還意味著，物體相對于火車的速度、物體相對于地面的速度，兩者正好差一個火車速度，默認不同的慣性系共用一個絕對時間，一個物體的長度在不同慣性系中也有一個絕對長度。具體的表達式如下：

洛倫茲變換

滿足在不同慣性系中光速不變的變換。速度不再是象伽利略變換中一樣的簡單疊加，否則速度將沒有上限。這個變換中不存在絕對時間概念，時空是混合在一起的。洛倫茲變換的物理意義就是此系列文章所介紹的狹義相對論。具體的表達式如下：

公式符號說明：以上的公式中，x’, t’代表車廂中的坐標，x，t代表以地面為基準的坐標。當這兩個坐標的零點重合時，定義t和t’都為零。火車沿著x方向以v的速度運動。