日本“算圣”關(guān)孝和與江戶數(shù)學的孤峰

作者：蔣豐

在中國大元王朝朱世杰的數(shù)學著作《四元玉鑒》沉寂四百年后，東瀛列島一位自稱“藤原姓”的武士，用一套獨創(chuàng)的“點竄術(shù)”與“傍書法”，竟獨立發(fā)展出可與明清算學對話的數(shù)學體系。

那是元祿四年（1691年），江戶城神田織部坂的宅邸內(nèi)，五十歲的關(guān)孝和正面對滿桌算木與算籌。紙門上松影搖曳，這位御納戶組的幕府旗本，此刻的身份并非武士，而是日本數(shù)學史上一顆最明亮的星辰。

《關(guān)孝和全集》（大阪教育圖書，1997年版）首卷記載其“生年不詳，卒于寶永五年十月二十四日（1708年12月5日）”。但是，據(jù)弟子建部賢弘《發(fā)微算法演段諄》跋文推測，其活躍期恰逢江戶幕府第五代將軍德川綱吉治下的元祿盛世。在町人文化勃興的縫隙中，一種被稱為“和算”的本土數(shù)學正悄然生長。

關(guān)孝和出身武士家族，幼年從師學漢算，《增修關(guān)孝和全集》附錄載其“初習《算法統(tǒng)宗》，后通《九章》、《周髀》”，表明其知識源流始于明清時代傳入日本的中國算書。不過，真正轉(zhuǎn)折應該是發(fā)生在寬文十年（1670年），他偶獲三百年前中國大元王朝朱世杰《四元玉鑒》殘本——這部在故土已瀕失傳的元代杰作，意外成為點燃起和算革命的火種。

貞享元年（1684年），關(guān)孝和完成《發(fā)微算法》。這部被建部賢弘稱為“和算之樞機”的著作中，出現(xiàn)了改變?nèi)毡緮?shù)學走向的創(chuàng)舉：“傍書法”（代數(shù)記法）。他舍棄傳統(tǒng)算籌，采用漢字與符號混合系統(tǒng)，如“甲加乙”表兩數(shù)之和，“甲自之”表平方。

《日本數(shù)學史》第三卷特別指出，這套系統(tǒng)與同期歐洲代數(shù)符號雖形異而理同，卻完全獨立發(fā)展。更驚人的是其“點竄術(shù)”（行列式解法），《解伏題之法》手稿顯示，他通過移動算籌位置（點竄）求解高次方程，實質(zhì)上發(fā)現(xiàn)了比萊布尼茨早十年的行列式概念。

“所謂點竄者，移算木之位，觀其交錯而成解?！钡茏踊哪敬逵⒃凇豆沤袼惴ㄓ洝分腥绱嗣枋觥．旉P(guān)孝和用這種獨創(chuàng)方法解開“圓理”（圓周率）問題時，他實際上觸及了解析幾何的邊界——用行列式處理圓錐曲線交點，恰是后世射影幾何的雛形。

元祿七年（1694年），關(guān)孝和隱居江戶淺草期間的算學筆記里，密密麻麻布滿了正131072邊形的計算?！蛾P(guān)孝和全集》第二卷收錄的《括要算法》顯示，他將圓周率計算至小數(shù)點后第20位，所用“增約術(shù)”本質(zhì)是遞歸數(shù)列的極限思想。

同時期中國數(shù)學家梅文鼎正在用“割圓術(shù)”逼近圓周率，而關(guān)孝和的方法呈現(xiàn)出奇特的平行演進?！对鲂揸P(guān)孝和全集》解題篇指出：“其圓理術(shù)與劉徽、祖沖之血脈相連，然其‘零約術(shù)’之精妙，已暗合無窮級數(shù)之理?！边@種通過正多邊形周長逼近圓周率的方法，在關(guān)孝和手中被推向當時人力計算的極致。

更值得玩味的是其數(shù)學哲學。《關(guān)孝和遺稿》中有段不起眼的眉批：“數(shù)無虛實，唯道有本末。”當他用“累遍增約術(shù)”處理橢圓弧長時，實際上在挑戰(zhàn)“徑一周三”的千年教條。這種對“道”與“術(shù)”關(guān)系的思考，使他的工作超越了單純計算，具備了某種數(shù)學本體的探求意味。

寶永二年（1705年），位于江戶芝的增上寺懸掛出一塊特殊繪馬——木板上刻著三道微分方程題，署名“關(guān)孝和門人集體奉納”。這方現(xiàn)存東京國立博物館的“算額”，成為關(guān)流學派公開挑戰(zhàn)天下學者的戰(zhàn)書。

關(guān)孝和開創(chuàng)的“關(guān)流”采取秘傳制度，《關(guān)流口傳書》規(guī)定“一子相傳、擇賢而授”，但其數(shù)學成果卻通過“遺題繼承”這種獨特方式傳播。每年正月，弟子們在神社懸掛算額（數(shù)學問題繪馬），吸引全國“算額道”愛好者破解。《日本科學史大系·數(shù)學卷》統(tǒng)計，元祿至明治初期全日本約留下八百余塊算額，其中三成與關(guān)流命題相關(guān)。

這種介于秘傳與公開間的傳播模式，造就了奇特的知識生態(tài)。一方面，核心的“點竄術(shù)”真義只傳嗣子（實際由外甥、后來成為養(yǎng)子的關(guān)孝正繼承），另一方面，挑戰(zhàn)性算題又刺激了整個和算社群的發(fā)展。建部賢弘在《大成算經(jīng)》序言中坦言：“師嘗云：‘閉戶則道絕，開戶則道濫?！试O(shè)此兩全之法?！?/p>

寶永五年那個秋日，當關(guān)孝和在江戶淺草邸內(nèi)病逝時，他大概不會想到，自己開創(chuàng)的數(shù)學傳統(tǒng)會在兩百年后瀕臨滅絕。明治維新“和算廢棄令”頒布后，《關(guān)孝和全集》編纂者林鶴一在1910年的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，關(guān)流秘傳本“十不存一”，大量算學手稿被用作糊窗紙或焚于灶火。

然而20世紀初的數(shù)學史家們，在塵封的寺廟倉庫與舊書店暗閣中，展開了驚心動魄的“和算搶救運動”。三上義夫1913年發(fā)表于《東京物理學校雜志》的論文第一次將關(guān)孝和的“點竄術(shù)”與萊布尼茨行列式理論對比，震驚西方數(shù)學史界。更戲劇性的發(fā)現(xiàn)發(fā)生在1936年——東北大學收藏的《關(guān)孝和遺稿》中，竟找到關(guān)于“伯努利數(shù)”的獨立發(fā)現(xiàn)記錄，比雅各布·伯努利還早二十年。

這些離散的文本碎片逐漸拼合出一個被遺忘的天才形象。尤其是昭和九年（1934年）在京都西本愿寺發(fā)現(xiàn)的《解伏題本義》抄本，清晰展現(xiàn)了孝和從“天元術(shù)”到“多元高次方程組”的突破路徑。日本學士院編纂的《明治前日本數(shù)學史》評價：“其算法雖無歐洲近代數(shù)學之符號體系，然其思維已達到同等抽象高度。”

今天，當學者在《關(guān)孝和全集》第五卷中，看到他用漢文撰寫的“方程術(shù)”旁密密麻麻的日語訓點批注時，能感受到一種文明嫁接的張力。哈佛大學科學史教授J.W.Dauben指出：“關(guān)孝和的案例表明，近代數(shù)學的種子可以在完全不同的文化土壤中萌發(fā)，雖然最終未能長成參天大樹。”

孝和晚年最重要的著作《七部書》現(xiàn)已散佚，但通過弟子們《大成算經(jīng)》、《拾璣算法》等書的轉(zhuǎn)引，仍可窺見其體系全貌。法國漢學泰斗馬若安在《中國數(shù)學史》補遺中特別強調(diào)：“關(guān)孝和的工作證明，在17世紀全球數(shù)學發(fā)展的圖譜上，存在著歐洲與中國之外的第三條路徑，這條路徑因文明語境的特殊性而中絕，但其智力成就不應被忽視。”

學者村田全在《日本的數(shù)學 西洋的數(shù)學》（中公新書，1981年版）中略帶傷感地表示：被譽為日本“算圣”以至“和算”的“關(guān)流”，最終在明治維新“脫亞入歐”的浪潮中沉寂，但關(guān)孝和留下的那些綴滿算式的繪馬，仍懸掛在時間的走廊深處，成為東方智慧獨立探索數(shù)學真理的永恒見證——當他在元祿年間的京都，用“點竄術(shù)”解開一個高次方程時，那個瞬間，數(shù)學真正成為了跨越文明的人類共同語言。（2026年4月27日寫于北京燕京飯店1809房間）