# 歐洲人發(fā)明微積分時，中國人用什么數(shù)學(xué)？

聲明：本文根據(jù)資料改編創(chuàng)作，情節(jié)均為虛構(gòu)故事，所有人物、地點和事件均為藝術(shù)加工，與現(xiàn)實無關(guān)，圖片僅用敘事呈現(xiàn)。

1684年，
德國萊比錫，
《教師學(xué)報》上刊登了一篇只有六頁的論文。
標題很長——《一種求極大極小和切線的新方法》。
作者是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、外交官戈特弗里德·威廉·萊布尼茨。
這篇論文被后世公認為微積分正式誕生的標志。
它用簡潔的符號描述了變化、運動、無限——dx，
dy，
∫，
這些符號至今仍在使用。

同在這一年，
遙遠的東方，
清朝康熙二十三年，
康熙皇帝剛剛平定三藩之亂，
開始將注意力轉(zhuǎn)向?qū)W問。
他身邊的學(xué)者們正在整理《數(shù)理精蘊》，
一部匯集中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的巨著。
他們用的工具是算盤，
研究的對象是方程、勾股、測量，
處理的是有限、靜止、具體的問題。

兩種數(shù)學(xué)，
兩個世界——一個用符號描述無限，
一個用算盤計算有限。

1684年的萊比錫，
萊布尼茨的微積分是半個世紀的智力結(jié)晶。

萊布尼茨是真正的全才。
他研究法律、哲學(xué)、邏輯學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)、歷史、神學(xué)、外交。
他發(fā)明了能加減乘除的步進計算器，
提出了單子論，
設(shè)計了二進制。
微積分是他眾多成就中的一項，
卻影響最為深遠。

萊布尼茨從幾何問題入手：如何求曲線的切線（微分），
如何求曲線下的面積（積分）。
他發(fā)現(xiàn)這兩個問題是互逆的——微分是求變化率，
積分是求累積和，
微分與積分互為逆運算。
這就是微積分基本定理。

萊布尼茨的貢獻不僅是發(fā)現(xiàn)了微積分，
還創(chuàng)造了至今仍在使用的符號系統(tǒng)。
他用d表示微分（來自拉丁文differentia），
用∫表示積分（拉長的S，
來自拉丁文summa）。
dy/dx是一個分式，
可以像分式一樣運算；∫ydx表示y乘以dx的無窮小和。
這套符號直觀、易用、可操作，
后來被歐洲大陸廣泛接受。

與此同時，
英國牛頓也在獨立研究流數(shù)法。
牛頓的方法更注重物理直覺，
符號系統(tǒng)不同（用點表示導(dǎo)數(shù)）。
英國堅持用牛頓的符號，
導(dǎo)致與歐洲大陸的數(shù)學(xué)發(fā)展脫節(jié)。
萊布尼茨的符號最終勝出，
成為微積分的標準語言。

微積分的意義，
遠不止于數(shù)學(xué)。
它提供了描述變化、運動、增長、衰減的語言。
物理學(xué)的運動方程、經(jīng)濟學(xué)的邊際分析、生物學(xué)的種群模型、工程學(xué)的優(yōu)化設(shè)計，
都離不開微積分。
微積分是近代科學(xué)的基石，
是工業(yè)革命的數(shù)學(xué)引擎。

同一時期，
1684年，
清朝康熙二十三年。

這一年，
康熙皇帝31歲，
正值壯年。
他平定三藩，
收復(fù)臺灣，
江山穩(wěn)固。
他酷愛學(xué)習(xí)，
對數(shù)學(xué)尤其感興趣。
他聘請傳教士南懷仁、徐日昇、張誠等人教授幾何、代數(shù)、天文。
他親自學(xué)習(xí)歐幾里得幾何，
用滿語寫筆記，
還讓傳教士編譯《幾何原本》滿文版。

但中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)，
走的完全是另一條路。

**算盤**——這是中國最普遍的“計算機”。
算盤起源于宋代，
到明代已經(jīng)非常成熟。
加減乘除、開平方、開立方，
都能在算盤上快速完成。
熟練的珠算高手，
速度不亞于手持計算器。
算盤是實用工具，
不是理論工具。

**實用算術(shù)**——中國數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)是“算學(xué)”，
不是“數(shù)學(xué)”。
它關(guān)注的是具體問題的解法，
不是抽象的公式體系。
《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典，
內(nèi)容包括方田（面積）、粟米（比例）、衰分（配分）、少廣（開方）、商功（體積）、均輸（賦稅）、盈不足（盈虧）、方程（聯(lián)立方程組）、勾股（直角三角形）。
每一章都是實際問題，
每個解法都是算法步驟。

**天元術(shù)與四元術(shù)**——宋元時期，
中國數(shù)學(xué)達到高峰。
李冶的天元術(shù)用“元”表示未知數(shù)，
列方程求解；朱世杰的四元術(shù)用“天、地、人、物”表示四個未知數(shù)，
解高次方程組。
這是符號代數(shù)的萌芽，
但符號系統(tǒng)不統(tǒng)一，
傳播不廣。
明代以后，
這些高深算法逐漸失傳。

**缺少變量數(shù)學(xué)**——中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)處理的是“量”，
不是“變”。
方程的解是具體的數(shù)，
不是函數(shù)。
沒有變量，
就沒有變化率，
就沒有微積分。
極限、無窮小、導(dǎo)數(shù)、積分，
這些概念在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中完全沒有出現(xiàn)。

**數(shù)學(xué)與自然哲學(xué)分離**——在中國，
數(shù)學(xué)是工具，
不是世界觀。
數(shù)學(xué)家不追問“運動的本質(zhì)是什么”，
只問“怎么算”。
數(shù)學(xué)與儒家經(jīng)典、道家哲學(xué)、佛學(xué)沒有交集。
而歐洲的微積分，
誕生于對運動、變化、無限的哲學(xué)追問。

將1684年的萊布尼茨微積分與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)并置，
兩種數(shù)學(xué)邏輯的差異清晰可見：

**數(shù)學(xué)的對象**

萊布尼茨：變量、函數(shù)、變化率、累積量——處理“變化”和“無限”。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)：具體數(shù)量、方程的解、幾何測量——處理“常量”和“有限”。

**數(shù)學(xué)的表達**

萊布尼茨：符號——dx、dy、∫，
抽象、簡潔、可操作。
符號可以推演，
不必每次都回到幾何直觀。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)：文字——籌算用算籌擺出數(shù)字，
珠算用口訣，
方程用漢字表達。
沒有符號代數(shù)，
沒有公式。

**數(shù)學(xué)的方法**

萊布尼茨：分析學(xué)——從一般到特殊，
從函數(shù)到導(dǎo)數(shù)，
從微分到積分。
微積分基本定理把微分和積分統(tǒng)一起來。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)：算法——針對每類問題給出具體計算步驟。
沒有統(tǒng)一的框架，
各章各法。

**數(shù)學(xué)的用途**

萊布尼茨：描述自然規(guī)律——運動、力、光、熱、流體、彈性。
微積分是物理學(xué)的語言。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)：解決實際問題——丈量土地、計算賦稅、建造房屋、編制歷法。
數(shù)學(xué)是算賬的工具。

**對無限的看法**

萊布尼茨：接受無窮小——dx是無窮小量，
比任何正數(shù)都小但不為零。
雖然哲學(xué)上有爭議，
但計算有效。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)：回避無限——極限概念在劉徽的割圓術(shù)中出現(xiàn)過（“割之彌細，
所失彌少”），
但未發(fā)展成系統(tǒng)理論。
無限被視為“不可窮盡”，
不予深究。

**數(shù)學(xué)的傳承**

萊布尼茨：公開發(fā)表——論文、書信、著作，
在學(xué)術(shù)共同體中傳播。
數(shù)學(xué)是公共知識。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)：秘傳為主——很多算法只在師徒間口授，
或者寫在書里但流傳不廣。
明代以后，
宋元數(shù)學(xué)幾乎失傳。

##04

這種差異的背后，
是兩種文明對“數(shù)學(xué)”的不同理解。

在歐洲，
數(shù)學(xué)是“自然的語言”。
伽利略說：“宇宙這部書是用數(shù)學(xué)語言寫的。
”數(shù)學(xué)不只是工具，
更是理解世界的鑰匙。
微積分的發(fā)明，
源于對運動、變化、無限的哲學(xué)追問。
萊布尼茨是哲學(xué)家，
他發(fā)明微積分是為了解決形而上學(xué)的根本問題——連續(xù)性、無限、自由意志。

在中國，
數(shù)學(xué)是“實用的技藝”。
“算學(xué)”被列為“六藝”之一（禮、樂、射、御、書、數(shù)），
是實用技能，
不是宇宙真理。
數(shù)學(xué)家很少追問“為什么”，
只關(guān)心“怎么算”。
數(shù)學(xué)不與自然哲學(xué)結(jié)合，
只與日常生活結(jié)合。

在歐洲，
數(shù)學(xué)是“抽象的”。
符號可以脫離具體對象獨立推演，
得出新的知識。
微積分符號讓數(shù)學(xué)家可以在紙上“操縱”無窮小，
像代數(shù)一樣計算。

在中國，
數(shù)學(xué)是“具象的”。
算盤上的珠子、籌算的棍子、文字描述的過程，
都與具體操作綁定。
抽象符號沒有被發(fā)明，
也不需要被發(fā)明。

在歐洲，
數(shù)學(xué)是“動態(tài)的”。
微積分處理的是變化、運動、生長、衰減。
變量和函數(shù)是數(shù)學(xué)的核心對象。

在中國，
數(shù)學(xué)是“靜態(tài)的”。
方程的解是固定的數(shù)，
幾何圖形是靜止的形狀。
沒有變量，
就沒有函數(shù)，
沒有變化率。

##05

微積分傳入中國，
非常晚。

1859年，
英國傳教士偉烈亞力與中國數(shù)學(xué)家李善蘭合作翻譯了美國數(shù)學(xué)家羅密士的《解析幾何與微積分初步》，
中譯名為《代微積拾級》。
這是中國第一部微積分著作。
李善蘭在序言中感慨：“算學(xué)至今日，
可謂極深微矣。
”他創(chuàng)造了大量中文數(shù)學(xué)術(shù)語——代數(shù)、微分、積分、函數(shù)、級數(shù)、切線、漸近線，
這些詞沿用至今。

但此時，
距離萊布尼茨發(fā)表微積分已經(jīng)過去175年，
距離牛頓去世已經(jīng)132年。
中國錯過了微積分，
也錯過了科學(xué)革命。

20世紀初，
中國廢除科舉，
興辦新式學(xué)堂，
數(shù)學(xué)成為必修課。
微積分進入大學(xué)課程，
中國學(xué)生開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)。
此后一百年，
中國培養(yǎng)了大批數(shù)學(xué)人才，
在微分方程、數(shù)論、代數(shù)幾何等領(lǐng)域取得成就。

今天，
中國是數(shù)學(xué)競賽強國。
國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽上，
中國隊常年金牌第一。
但中國在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論創(chuàng)新上，
與世界頂尖水平仍有差距。
菲爾茲獎（數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎）至今只有兩位華裔得主——丘成桐（美籍）和陶哲軒（澳籍），
且都在海外完成工作。

##06

從算盤到微積分，
中國人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式發(fā)生了根本變化。

但“實用”的傳統(tǒng)仍在。
中國學(xué)生擅長解題，
不擅長提問；擅長計算，
不擅長證明；擅長應(yīng)用，
不擅長理論。
高考數(shù)學(xué)強調(diào)計算速度和準確性，
不鼓勵自由探索。
很多學(xué)生學(xué)微積分只是為了考試，
并不理解它背后的哲學(xué)意義。

“算盤思維”與“微積分思維”的沖突，
體現(xiàn)在很多方面。
算盤思維是離散的、有限的、步驟明確的；微積分思維是連續(xù)的、無限的、動態(tài)的。
前者適合處理確定性問題，
后者適合處理變化性問題。
從算盤到微積分，
不只是工具的升級，
更是思維方式的革命。

##07

1684年，
當萊布尼茨在萊比錫發(fā)表微積分論文時，
康熙皇帝正在北京學(xué)習(xí)歐幾里得幾何。
一個在創(chuàng)造描述變化的語言，
一個在學(xué)習(xí)描述空間的學(xué)問。
一個在思考無窮小，
一個在丈量圖形。

三百多年后，
微積分是中國大學(xué)生的必修課。
每一個理工科學(xué)生都要學(xué)極限、導(dǎo)數(shù)、積分。
但我們是否真的理解了微積分背后的哲學(xué)？是否真的接受了“變量”和“函數(shù)”的思維？還是只是把它當作解題工具？

萊布尼茨告訴我們：數(shù)學(xué)不只是算賬，
更是理解世界的語言。
中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)告訴我們：數(shù)學(xué)也可以很實用，
解決具體問題。
最好的數(shù)學(xué)，
或許是兩者的結(jié)合——既有抽象的理論，
也有扎實的應(yīng)用；既能探索無限，
也能算清眼前。

從算盤到微積分，
從算法到分析，
中國人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的路，
走了三百多年。
1684年，
萊比錫和北京在兩個世界里計算。
今天，
我們活在一個微積分已經(jīng)普及的世界里，
但仍需思考：我們是在用算盤精神學(xué)微積分，
還是真正理解了這個描述變化的語言？

數(shù)學(xué)的進步，
不只是公式和定理的積累，
更是思維方式的革命。
當我們學(xué)會用變量思考變化，
用函數(shù)描述過程，
用極限逼近無限，
我們就不僅僅是掌握了微積分，
而是擁有了另一種看待世界的方式。