應(yīng)用數(shù)學(xué)：一場(chǎng)遲到了半個(gè)世紀(jì)的“正名之戰(zhàn)”

圖源：Unsplash / Jeswin Thomas

撰文｜丁玖

責(zé)編 ｜ 李珊珊

01 “科學(xué)的春天”總是以“數(shù)學(xué)的春天”鳴鑼開道

半個(gè)世紀(jì)前，現(xiàn)代中國(guó)的歷史掀開了新的一頁。1976年十月，在中國(guó)政壇興風(fēng)作浪了十年之久的“四人幫”垮臺(tái)，一年后的金秋十月，《人民日?qǐng)?bào)》宣布恢復(fù)高考。1978年的明媚春光，緊跟著27.3萬人的新時(shí)代大學(xué)生隊(duì)伍走進(jìn)了校園。伴隨著莘莘學(xué)子跨進(jìn)校門的腳步聲，具有里程碑意義的六千人全國(guó)科學(xué)大會(huì)于3月18日召開。86歲高齡的中國(guó)科學(xué)院院長(zhǎng)郭沫若以詩人的深情與浪漫發(fā)表了一篇熱情洋溢的書面講話，這篇“閉幕詞”的題目就是詩意盎然、令人神往的“科學(xué)的春天”。

這場(chǎng)“科學(xué)的春天”是以“數(shù)學(xué)的春天”鳴鑼開道的。“數(shù)學(xué)王子”高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）說過，數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后。在我以“77級(jí)”一員考進(jìn)南京大學(xué)數(shù)學(xué)系之前的五年工廠生涯中，讀到的最激動(dòng)人心的報(bào)告文學(xué)是徐遲的《哥德巴赫猜想》。在我工作過的第三家工廠——江蘇省江都縣儀表廠的技術(shù)科辦公桌前，我一口氣讀完了全文，熱血沸騰。陳景潤(rùn)的治學(xué)精神和數(shù)學(xué)的無窮魅力激勵(lì)著那一代年輕人，之后數(shù)十年間全民族的有志青年都憧憬著走向數(shù)學(xué)、科學(xué)、工程的研究道路。

半個(gè)世紀(jì)后的今日中國(guó)，因恪守“治國(guó)必須治經(jīng)濟(jì)”的戰(zhàn)略方針，遵循“用人必須用專才”的科學(xué)原則，經(jīng)濟(jì)建設(shè)飛速發(fā)展，科教投入也令世界各國(guó)矚目。同時(shí)，東方的崛起也讓受縛于地域政治思維的個(gè)別西方發(fā)達(dá)國(guó)家坐立不安，走向了試圖制約中國(guó)之路。于是一個(gè)新詞匯“卡脖子”悄然出世?！翱ú弊印保櫭剂x，在自然界，獅子老虎俘獲了獵物后的首要任務(wù)就是死咬住對(duì)方的咽喉不放，直至受害者斃命或再無反抗之力為止，而被人家卡住脖子，任何個(gè)體都不會(huì)感到舒服，甚至?xí)猩ｋU(xiǎn)。

對(duì)中國(guó)而言，被“卡脖子”的經(jīng)歷并不是第一次。六十年前，當(dāng)“蘇聯(lián)老大哥”與“華夏大老弟”因“道不同而不相為謀”時(shí)，單方面“撕毀合同，撤走專家”。然而，經(jīng)歷過十九世紀(jì)中、下葉受東西方列強(qiáng)欺負(fù)、二十世紀(jì)上半葉遭日本侵略者蹂躪十四年的中國(guó)人民是有志氣的，中國(guó)科學(xué)家不僅極其愛國(guó)，而且極富才華。甚至在全民族基礎(chǔ)工業(yè)薄弱、國(guó)民人均收入低下的年代，他們的忘我精神與不懈努力能讓原子彈、氫彈成功爆炸，能讓人造地球衛(wèi)星遨游天穹。有了上個(gè)世紀(jì)被社會(huì)主義陣營(yíng)盟主“卡脖子”的“砥礪前行”，今朝面對(duì)資本主義超級(jí)大國(guó)更大規(guī)模的“卡脖子”行徑，中國(guó)人民，尤其是已在全球科技領(lǐng)域贏得重要地位的中國(guó)各行俊杰，同樣能直面現(xiàn)實(shí)，不忘初心，抓住契機(jī)，化被動(dòng)為主動(dòng)，在國(guó)際學(xué)術(shù)界開辟出創(chuàng)新之路。

在這樣的背景下，2021年7月19日，李克強(qiáng)總理在考察國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)并主持召開座談會(huì)時(shí)，強(qiáng)調(diào)：

• “我們之所以強(qiáng)調(diào)要重視數(shù)學(xué)，因?yàn)樽匀豢茖W(xué)首先發(fā)端于數(shù)學(xué)，人類文明真正進(jìn)入科學(xué)領(lǐng)域也是從數(shù)學(xué)開始的。可以說，數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。事實(shí)上，許多‘卡脖子’的問題，最終都‘卡’在基礎(chǔ)研究上?！?/li>

而在這之前兩年的2019年同一個(gè)月，科技部辦公廳、教育部辦公廳、中國(guó)科學(xué)院辦公廳以及自然科學(xué)基金委辦公室共同印發(fā)了《關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》的通知。此次制定的方案明確，在國(guó)家層面要“持續(xù)穩(wěn)定支持基礎(chǔ)數(shù)學(xué)科學(xué)”“加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)的應(yīng)用研究”“持續(xù)推進(jìn)和深化高層次的國(guó)內(nèi)外交流與合作”。方案強(qiáng)調(diào)：在國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃中設(shè)立“數(shù)學(xué)與交叉科學(xué)”重點(diǎn)專項(xiàng)，統(tǒng)籌支持?jǐn)?shù)學(xué)及交叉科學(xué)研究，圍繞科學(xué)與工程計(jì)算、大數(shù)據(jù)與人工智能的數(shù)學(xué)理論與方法、復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化與控制、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)等重點(diǎn)方向，以及信息技術(shù)、能源與環(huán)境、海洋、生物醫(yī)藥、經(jīng)濟(jì)與金融安全等國(guó)家重大戰(zhàn)略需求中的關(guān)鍵數(shù)學(xué)問題進(jìn)行項(xiàng)目部署。這似乎是人民共和國(guó)70年歷史上第一次以國(guó)家的名義公開向全國(guó)人民發(fā)布的“向數(shù)學(xué)進(jìn)軍”的一道號(hào)令。這一系列舉措為我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)研究帶來了無可限量的遠(yuǎn)大前程。

丘成桐教授。圖源：清華大學(xué)

受此政策鼓舞，時(shí)任哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系與物理系教授的丘成桐預(yù)言：“如果走的路正確，中國(guó)在未來十年內(nèi)可以發(fā)展成最好的數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)?！倍谶@前后不久，一部分久居歐美、事業(yè)有成的華人科學(xué)家，其中自然包括功成名就的數(shù)學(xué)教授，返回故里，報(bào)效祖國(guó)，或參與組建創(chuàng)新型研究機(jī)構(gòu)，或加盟剛剛成立的新型公辦或民辦大學(xué)，全職扎根國(guó)內(nèi)，為培養(yǎng)學(xué)生、科技研發(fā)發(fā)揮著關(guān)鍵性的作用。丘成桐則從哈佛正式退休，于2022年4月全職擔(dān)任北京清華大學(xué)的教授，不遺余力地精心培育從全國(guó)各地挑選的數(shù)學(xué)高天賦青少年。

02 數(shù)學(xué)，真的是越純粹越高貴嗎？

數(shù)學(xué)被歐洲近代自然科學(xué)的創(chuàng)始人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）視為“書寫自然界大書的不二語言”，其重要性不言而喻。基于它的出發(fā)點(diǎn)，數(shù)學(xué)可以分為純粹數(shù)學(xué)（也稱基礎(chǔ)數(shù)學(xué)或理論數(shù)學(xué)）和應(yīng)用數(shù)學(xué)，后者也包括了恰好80年前問世的電子計(jì)算機(jī)所催生出的計(jì)算數(shù)學(xué)。純粹數(shù)學(xué)以開創(chuàng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域、定義數(shù)學(xué)概念、證明數(shù)學(xué)命題為己任，按照上世紀(jì)上半葉的英國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家懷特海（Alfred Whitehead，1861-1947）的說法，“或許可以稱得上是人類精神最具原創(chuàng)性的創(chuàng)造?！边@種創(chuàng)造也令它有資格被供奉在“藝術(shù)”的殿堂里，導(dǎo)致懷特海的同代同胞、“純之又純”的純粹數(shù)學(xué)家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）在他的隨筆集《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》（A Mathematician’s Apology）中，視純粹數(shù)學(xué)的最高美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)為“無用”。在哈代眼里，像微積分或者線性代數(shù)這種對(duì)工程科學(xué)最具有應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)科目，也是最缺乏美感的，因而令他覺得“索然無趣”。有了這樣的觀念，在研究型數(shù)學(xué)家的基因中也或隱或現(xiàn)地存在著一條“仰視鏈”——血統(tǒng)越純粹者則越高貴也。

在許多國(guó)家，“純粹數(shù)學(xué)高貴論”確實(shí)曾長(zhǎng)期彌漫在數(shù)學(xué)家的群體中。比如在日本，純粹數(shù)學(xué)優(yōu)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的觀念根深蒂固于學(xué)術(shù)傳統(tǒng)。由于在19世紀(jì)中葉開始“西學(xué)東漸”，這種學(xué)術(shù)文化深受法國(guó)和德國(guó)的影響，將高度抽象的理論數(shù)學(xué)，如數(shù)論、代數(shù)幾何和拓?fù)鋵W(xué)，視為學(xué)術(shù)成就的最高境界。這時(shí)，純粹數(shù)學(xué)常被視為一種“更高”的追求，因?yàn)樗?dú)立于應(yīng)用，與追求知識(shí)本身的學(xué)術(shù)價(jià)值觀相契合。同時(shí)，像京都大學(xué)數(shù)理解析研究所等機(jī)構(gòu)在純粹數(shù)學(xué)領(lǐng)域享譽(yù)全球，這種國(guó)際承認(rèn)強(qiáng)化了一種觀念，即頂尖人才致力于研究“純粹”問題。

然而，現(xiàn)代社會(huì)科技興國(guó)的需求正在重新平衡這種等級(jí)關(guān)系，如同在日本歷經(jīng)彌久的男尊女卑傳統(tǒng)今日也在慢慢瓦解一樣。近幾十年來，日本政府和工業(yè)界大力推動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，因?yàn)樾枰抡?、?yōu)化和數(shù)據(jù)科學(xué)方面的專家。與純粹數(shù)學(xué)主要靠紙和筆（當(dāng)然另加發(fā)達(dá)的大腦和鍥而不舍的精神）而無需大量資金相比，那些能夠解決工業(yè)問題的重大研究項(xiàng)目通常能獲得更高的資助。這意味著應(yīng)用數(shù)學(xué)正在迅速獲得社會(huì)的認(rèn)可和聲望，即使在學(xué)術(shù)界也是如此。

如今的日本，應(yīng)用數(shù)學(xué)正迅速獲得與純粹數(shù)學(xué)同等重要的地位，甚至在職業(yè)機(jī)會(huì)和研究經(jīng)費(fèi)方面，應(yīng)用數(shù)學(xué)往往更勝一籌。這個(gè)國(guó)家正努力彌合純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間的差距，有識(shí)之士認(rèn)為，深厚的純數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于促進(jìn)高水平創(chuàng)新至關(guān)重要，而應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)于現(xiàn)代產(chǎn)業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力也必不可少。

在中國(guó)，類似的“學(xué)術(shù)等級(jí)”現(xiàn)象也曾多年固守陣地。我記得很清楚的一件往事，發(fā)生在我于密歇根州立大學(xué)數(shù)學(xué)系攻讀博士學(xué)位時(shí)的80年代末期。我的博士論文指導(dǎo)老師李天巖（1945-2020）教授訪問大陸后返美，有天與我聊天時(shí)提到，他在與那里的教授交流時(shí)問及：聽說國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系的，第一流的做純數(shù)學(xué)，第二流的做應(yīng)用數(shù)學(xué)，第三流的做計(jì)算數(shù)學(xué)，不知是否屬實(shí)？那位在數(shù)學(xué)界名聲很響的學(xué)者回答道：基本如此。這令自尊心極強(qiáng)的李教授感到“憤憤不平”，因?yàn)樗敲绹?guó)大學(xué)的“應(yīng)用數(shù)學(xué)教授”，盡管出身于純粹數(shù)學(xué)。之前李教授曾在京都大學(xué)數(shù)理解析研究所當(dāng)過一年的“國(guó)際講座教授”，跟我吐露過“薪水是日本正教授的一倍半”。針對(duì)“純粹”高于“應(yīng)用”之“怪現(xiàn)象”，他以他的日本學(xué)界朋友、一個(gè)國(guó)際有名的最優(yōu)化專家為例，對(duì)我直言，“日本長(zhǎng)期大致也是如此。”但他接著又強(qiáng)調(diào)說，“這在當(dāng)今美國(guó)卻是不可思議的?！?/p>

李天巖教授。圖源：維基百科

然而，即便在美國(guó)，部分純粹數(shù)學(xué)家瞧不起部分應(yīng)用數(shù)學(xué)家的例子也是層出不窮的，不過原因也是多種多樣的，其中的一個(gè)或許為：被瞧不起是由質(zhì)量所致。李天巖教授告訴過我另外一個(gè)故事：某校數(shù)學(xué)系一位掛著“大學(xué)杰出教授”招牌的純粹數(shù)學(xué)家公開向一位本系和工程系的雙聘教授詰難：你做的不是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而只是將數(shù)學(xué)應(yīng)用到工程，雖然他的純數(shù)學(xué)博士學(xué)位來自數(shù)學(xué)排名低于本校的一所三流大學(xué)而對(duì)方的應(yīng)用數(shù)學(xué)博士學(xué)位可是被大名鼎鼎的麻省理工學(xué)院授予的。但是這一位“大學(xué)杰出教授”如果是另一位“大學(xué)杰出教授”李天巖的同事，卻不大可能輕易地向后面這位應(yīng)用數(shù)學(xué)家“叫板”，因?yàn)槔钐鞄r與約克（James Yorke，1941-）的合作論文《周期三則意味著混沌》首次定義了數(shù)學(xué)名詞“混沌”，他們的“李-約克混沌定理”被普林斯頓高等研究院理論物理教授戴森（Freeman Dyson，1923-2020）在其美文《鳥與蛙》里稱為“數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的不朽珍品”（見知識(shí)分子往期推送：你是飛鳥？還是青蛙？｜偉大數(shù)學(xué)物理學(xué)家的演講）。

“觀念導(dǎo)致落后”，也許真的是由于“第二流”的人才只好“屈尊”去搞什么“應(yīng)用數(shù)學(xué)”，據(jù)說到了70年代末期，中國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究，雖有亮點(diǎn)，整體卻顯得有點(diǎn)乏善可陳。這其中的部分原因，是因?yàn)椴簧偃俗龅氖侨A人應(yīng)用數(shù)學(xué)家林家翹（1916-2013）曾經(jīng)抱怨過的“實(shí)用數(shù)學(xué)”，缺乏對(duì)大自然的深層理解；或者主要熱衷于當(dāng)空頭理論家，“紙上談兵”，卻不屑于與工程師聯(lián)姻。真正的應(yīng)用數(shù)學(xué)，正如頭頂麻省理工學(xué)院最高榮譽(yù)“學(xué)院教授”桂冠的林家翹所云，“通過運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來尋求對(duì)于科學(xué)事實(shí)和現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象的知識(shí)和解釋。”

1981年，當(dāng)我所讀南大計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)班上半數(shù)同學(xué)大學(xué)畢業(yè)前準(zhǔn)備報(bào)考研究生時(shí)，一位學(xué)業(yè)精湛者，報(bào)考了北京大學(xué)數(shù)學(xué)系著名教授、普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)博士程民德（1917-1998）的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究生。早年在多元調(diào)和分析做出開創(chuàng)性工作的程教授，年近半百時(shí)轉(zhuǎn)向應(yīng)用數(shù)學(xué)，倡導(dǎo)開展模式識(shí)別、圖像處理的研究。他深知當(dāng)時(shí)的中國(guó)缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)年輕人才，便高瞻遠(yuǎn)矚地著手培養(yǎng)。我的同學(xué)被錄取后隨即被公派法國(guó)留學(xué)，刻苦研習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)，并獲得國(guó)家博士學(xué)位，1990年被博士母校聘為正教授。

03 美國(guó)贏得二戰(zhàn)的關(guān)鍵，一個(gè)高度跨學(xué)科的應(yīng)用數(shù)學(xué)

如果我們回顧英美兩國(guó)對(duì)待應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本理念，或許對(duì)展望中國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)的前景不無裨益。在過去的三百年，英國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展建立在牛頓發(fā)明的微積分和發(fā)現(xiàn)的經(jīng)典力學(xué)定律基礎(chǔ)之上。到了19世紀(jì)的工業(yè)化和應(yīng)用科學(xué)時(shí)代，解決實(shí)際工程和物理問題的需求大大推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的進(jìn)步，西爾維斯特（James Joseph Sylvester，1814-1897）與凱萊（Arthur Cayley，1821-1895）等發(fā)展了代數(shù)學(xué)尤其是矩陣?yán)碚?，大大添加了純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)涵。進(jìn)入20世紀(jì)后，兩次世界大戰(zhàn)擴(kuò)大了應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍，其中包括統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)和數(shù)值方法。作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一塊重要地盤，英國(guó)的流體力學(xué)研究長(zhǎng)期居于國(guó)際領(lǐng)先地位，以泰勒（Geoffrey Ingram Taylor，1886-1975）為一杰出代表。

至于美國(guó)，六年半前，計(jì)算數(shù)學(xué)家湯濤說過，“中國(guó)現(xiàn)在是經(jīng)濟(jì)大國(guó)，在強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)研究的同時(shí)，還要借鑒美國(guó)的經(jīng)驗(yàn)，充分發(fā)揮應(yīng)用數(shù)學(xué)的引領(lǐng)作用?！?比起近代科學(xué)的引領(lǐng)者歐洲，應(yīng)用數(shù)學(xué)在美國(guó)的發(fā)展起步較晚，然而從上世紀(jì)中葉起卻迅猛發(fā)展。這個(gè)年輕的北美大國(guó)，從世紀(jì)之初以純粹數(shù)學(xué)為重點(diǎn)，到了50年代已經(jīng)在整個(gè)數(shù)學(xué)版圖上成為全球領(lǐng)先者。個(gè)中原委是戰(zhàn)爭(zhēng)的需要、歐洲學(xué)者的移民、研究生的教育以及工業(yè)研究的興起。

更具體地講，直到百年之前，美國(guó)數(shù)學(xué)仍然嚴(yán)重偏重于純粹數(shù)學(xué)，即抽象代數(shù)、分析、幾何和拓?fù)洹?yīng)用數(shù)學(xué)，尤其是關(guān)于流體力學(xué)或連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等與技術(shù)科學(xué)關(guān)系密切的學(xué)問，被認(rèn)為是“工程師的工作”或“應(yīng)用物理”。與歐洲將應(yīng)用數(shù)學(xué)（如催生出量子力學(xué)的哥廷根希爾伯特學(xué)派）深度融入數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)相比，那時(shí)的美國(guó)在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的正規(guī)教育非常匱乏。

然而，從30年代起，德國(guó)希特勒給大西洋對(duì)岸的美利堅(jiān)“送去了”無價(jià)之寶——大批被迫逃離納粹魔掌的猶太科學(xué)家。他們中間的杰出應(yīng)用數(shù)學(xué)家?guī)砹斯こ毯臀锢眍I(lǐng)域嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)建模傳統(tǒng)。這些人中有希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）的弟子柯朗（Richard Courant，1888-1972）、馮·卡門（Theodore von Kármán，1881-1963）、馮·諾伊曼（John von Neumann，1903-1957；電子計(jì)算機(jī)之父）和烏拉姆（Stanis?aw Marcin Ulam，1909-1984；氫彈之父）?？吕蕜?chuàng)辦的之后以其命名的紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所在全世界聲名遠(yuǎn)播，去年去世的拉克斯（Peter Lax，1926-2025）15歲和家人從匈牙利逃出赴美，1949年被該研究所授予博士學(xué)位，之后終生任教于此，成為過去半個(gè)世紀(jì)中美國(guó)最偉大的純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)家之一。

美國(guó)投身二戰(zhàn)后，深知應(yīng)用數(shù)學(xué)對(duì)贏得戰(zhàn)爭(zhēng)的關(guān)鍵作用，于1941年在布朗大學(xué)設(shè)立了“力學(xué)高級(jí)教學(xué)與研究項(xiàng)目”，該項(xiàng)目在1946年成為美國(guó)第一個(gè)正式的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究生院。政府的科學(xué)研究與發(fā)展辦公室設(shè)立了應(yīng)用數(shù)學(xué)小組，旨在動(dòng)員數(shù)學(xué)家參與戰(zhàn)爭(zhēng)研究，從而搭建起學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)與軍事工業(yè)工程之間的橋梁。運(yùn)籌學(xué)也應(yīng)運(yùn)而生，致力于將概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于戰(zhàn)爭(zhēng)策略。

到了戰(zhàn)后，這股發(fā)展勢(shì)頭并未減弱。美蘇超級(jí)大國(guó)之間的冷戰(zhàn)、計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)以及工業(yè)研究（如貝爾實(shí)驗(yàn)室、國(guó)際商用機(jī)器公司）的需求，催生了對(duì)數(shù)學(xué)建模的巨大需求。在布朗大學(xué)引領(lǐng)下，紐約大學(xué)柯朗數(shù)學(xué)科學(xué)研究所和加州理工學(xué)院等紛紛設(shè)立了常設(shè)系科，專注于應(yīng)用分析、數(shù)值分析和概率論。美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)于1952年成立，旨在促進(jìn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界應(yīng)用的融合。

之后的30年是計(jì)算機(jī)革命的時(shí)代。電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展改變了應(yīng)用數(shù)學(xué)，使其從單純依賴解析解轉(zhuǎn)向使用數(shù)值逼近和模擬。應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)緊密結(jié)合，開發(fā)出用于求解線性規(guī)劃、微分方程和優(yōu)化問題的算法。到了80年代，以拉克斯為首的專家組向美國(guó)政府遞交了里程碑式的建議書《科學(xué)與工程大規(guī)模計(jì)算小組報(bào)告》，將科學(xué)計(jì)算納入應(yīng)用數(shù)學(xué)的范疇。如今，美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)具有高度跨學(xué)科性，涵蓋了從物理建模到數(shù)據(jù)科學(xué)、人工智能和數(shù)學(xué)生物學(xué)等領(lǐng)域。

04 中國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)

今日美國(guó)依然是應(yīng)用數(shù)學(xué)的世界霸主，然而，如同在許多科技領(lǐng)域，中國(guó)在應(yīng)用數(shù)學(xué)的進(jìn)步速度乃至加速度已經(jīng)雙雙高于美國(guó)。首先在機(jī)構(gòu)設(shè)置上，中國(guó)已經(jīng)建立國(guó)家應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，首批成立的13個(gè)區(qū)域中心分布全國(guó)各地，由所在地區(qū)主要大學(xué)管理。比如，江蘇國(guó)家應(yīng)用數(shù)學(xué)中心由南京大學(xué)和東南大學(xué)掛帥。其次，中國(guó)新興的高科技公司已經(jīng)充分認(rèn)識(shí)到應(yīng)用數(shù)學(xué)家的價(jià)值。它們中的模范是眾所周知的手機(jī)巨人華為，任正非也公開表示：“我們真正的突破是數(shù)學(xué)，手機(jī)、系統(tǒng)設(shè)備是以數(shù)學(xué)為中心?！绷⑵吣昵?，他自豪地告訴記者，華為“在全球有26個(gè)研究所”“有超過700名數(shù)學(xué)家”。在這些應(yīng)用數(shù)學(xué)家中，一位來自土耳其的大學(xué)教授阿勒坎（Erdal Arikan，1958-）用他開創(chuàng)的極化碼技術(shù)，為華為的5G編碼立下汗馬功勞。這個(gè)著名案例被湯濤教授寫成了文章《華為5G與數(shù)學(xué)》，發(fā)表在《數(shù)學(xué)文化》雜志第10卷第3期上。

華為與大陸中國(guó)的一些高校建立了研究中心，比如華為—西安交大數(shù)學(xué)與信息技術(shù)聯(lián)合研究中心。然而，我因在海外教書，對(duì)國(guó)內(nèi)高校積極參與信息科學(xué)高新技術(shù)發(fā)展的熱潮缺乏直接的了解。去年夏天，我終于從任教了35年的大學(xué)正式退休，便有了更多時(shí)間可以待在祖國(guó)，參與數(shù)學(xué)知識(shí)的普及和數(shù)學(xué)文化的傳播。最近，我有機(jī)會(huì)了解到香港一所名校在應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的突出成就。

美國(guó)的北方與南方各有一所名聞遐邇的理工學(xué)院，北方的那所國(guó)人皆知，這就是麻省理工學(xué)院，與哈佛大學(xué)比鄰而居。而南方的那所在大陸中國(guó)則不一定人人皆知了，它叫佐治亞理工學(xué)院，有一眾應(yīng)用學(xué)科在國(guó)際上聲名顯赫，作為應(yīng)用數(shù)學(xué)一重要分支的運(yùn)籌學(xué)專業(yè)，則在美國(guó)排名第一。我不知道在中國(guó)大陸的“理工學(xué)院”或“理工大學(xué)”中，哪所是最“實(shí)力超群”的，但是在中國(guó)的最南端，確實(shí)有一所名副其實(shí)的“佐治亞理工的對(duì)等物”——香港理工大學(xué)（The Hong Kong Polytechnic University，簡(jiǎn)寫是PolyU）。在馬年春節(jié)前兩周，我訪問了它的應(yīng)用數(shù)學(xué)系，聆聽了幾場(chǎng)“應(yīng)用數(shù)學(xué)杰出講座”，和一些學(xué)者的交流讓我對(duì)這個(gè)系有了更加詳細(xì)的了解。

香港理工大學(xué)。圖源：維基百科

恰好15年前，我曾經(jīng)在香港理工應(yīng)用數(shù)學(xué)系做過一次關(guān)于動(dòng)力系統(tǒng)的演講。那時(shí)的系主任是我的揚(yáng)州老鄉(xiāng)、朱自清的揚(yáng)州中學(xué)校友、最優(yōu)化名家祁力群（1945-），他于1984年獲得美國(guó)威斯康辛大學(xué)的博士學(xué)位，對(duì)非光滑優(yōu)化尤其是非光滑牛頓法有重要貢獻(xiàn)，并開創(chuàng)了張量分析這一“高階線性代數(shù)”的研究領(lǐng)域。實(shí)際上，幾十年來，香港理工應(yīng)用數(shù)學(xué)系的最強(qiáng)項(xiàng)就是優(yōu)化理論與算法。祁教授榮休后的繼任系主任陳小君也是國(guó)際優(yōu)化界的知名學(xué)者，為美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)雙會(huì)士，將于今年8月在美國(guó)費(fèi)城舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做45分鐘邀請(qǐng)報(bào)告。陳教授在非光滑非凸優(yōu)化、隨機(jī)變分不等式的研究成果，為數(shù)據(jù)科學(xué)與人工智能提供了核心數(shù)學(xué)框架。

同樣是講座教授、也同樣是美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)士的孫德鋒是香港理工應(yīng)用數(shù)學(xué)系的現(xiàn)任系主任。他于1989年畢業(yè)于南京大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)，1992年在母系獲得最優(yōu)化方向的碩士學(xué)位。南京大學(xué)數(shù)學(xué)系何旭初先生（1921-1990）生前領(lǐng)導(dǎo)了中國(guó)高校中最強(qiáng)的最優(yōu)化理論與方法的教師隊(duì)伍，培養(yǎng)出的優(yōu)化英才包括我的大學(xué)同班同學(xué)何炳生和85級(jí)本科生孫德鋒，他們都是中國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)的會(huì)士。可惜的是，作為何先生的碩士弟子，我后來赴美讀書被博士導(dǎo)師李天巖先生的“烏拉姆猜想”吸引，當(dāng)了最優(yōu)化的“逃兵”，從博士論文起進(jìn)入了計(jì)算遍歷理論，真是愧對(duì)師門。好在我退休后，在對(duì)“最優(yōu)傳輸”的了解過程中恢復(fù)了和優(yōu)化基礎(chǔ)凸分析的友情。

孫德鋒教授。圖源：香港理工大學(xué)

1995年，孫德鋒于中國(guó)科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所獲得博士學(xué)位，導(dǎo)師為中國(guó)運(yùn)籌學(xué)奠基人之一、現(xiàn)已九旬的韓繼業(yè)先生。孫教授深耕最優(yōu)化領(lǐng)域30年，于2006年解決非線性半定規(guī)劃強(qiáng)正則性的長(zhǎng)期公開難題，2018年以其研發(fā)的大規(guī)模半定規(guī)劃求解器 SDPNAL+榮獲國(guó)際數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域頂級(jí)獎(jiǎng)項(xiàng) Beale-Orchard-Hays獎(jiǎng)；這個(gè)獎(jiǎng)每三年評(píng)選一次，代表全球計(jì)算數(shù)學(xué)規(guī)劃的最高成就。今天，以孫教授、陳教授為核心的香港理工學(xué)術(shù)團(tuán)隊(duì)，構(gòu)建了國(guó)內(nèi)最具影響力的最優(yōu)化研究群體之一，在國(guó)際學(xué)術(shù)界占有相當(dāng)?shù)姆至俊?/p>

在短暫的停留中，我被布告欄貼出的一系列“杰出學(xué)者講座”通知吸引，也順便聽了三四次演講，演講者均是北美、歐洲和大陸的名家，尤其讓我感興趣的是兩位國(guó)內(nèi)名氣很大的純粹數(shù)學(xué)家演講的內(nèi)容都屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)，與當(dāng)代物理密切相關(guān)，其一關(guān)于薛定諤方程無窮維算子的譜理論，另一個(gè)則涉及沃爾夫物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者戴森做出過重要貢獻(xiàn)的隨機(jī)矩陣（random matrices，不是stochastic matrices）。

過去的這一年，在應(yīng)用數(shù)學(xué)系的訪問者花名冊(cè)上，華盛頓大學(xué)數(shù)學(xué)系和應(yīng)用數(shù)學(xué)系的榮休教授洛克菲勒（Ralph Terrell Rockafellar，1935-）的大名出現(xiàn)了兩次。他是凸優(yōu)化真正的奠基者，1970年出版的里程碑式著作《凸分析》是我在念碩士打基礎(chǔ)時(shí)的“必讀圣經(jīng)”，43歲時(shí)就在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）上做過45分鐘邀請(qǐng)報(bào)告，1994年又做了一次45分鐘ICM演講。由于對(duì)凸分析基礎(chǔ)理論的開創(chuàng)性工作，他于1982年榮獲了美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)和數(shù)學(xué)規(guī)劃協(xié)會(huì)（2010年后改名為數(shù)學(xué)優(yōu)化協(xié)會(huì)）聯(lián)合頒發(fā)的第一屆但澤獎(jiǎng)（George B. Dantzig Prize；但澤（1914-2005）發(fā)展了線性規(guī)劃的單純形法）；另一獲獎(jiǎng)?wù)呤莿虼髮W(xué)的鮑威爾（Michael J. D. Powell，1936-2015），他因在數(shù)值優(yōu)化領(lǐng)域的開創(chuàng)性工作而被表彰。去年年底，鮑威爾的博士弟子袁亞湘以杰出訪問講席教授的身份對(duì)香港理工應(yīng)用數(shù)學(xué)系進(jìn)行了短期的學(xué)術(shù)訪問。

近年訪問過香港理工應(yīng)用數(shù)學(xué)系的國(guó)際優(yōu)化界人士還包括佐治亞理工學(xué)院的Katya Scheinberg，大規(guī)模優(yōu)化與機(jī)器學(xué)習(xí)融合領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物；比利時(shí)魯汶大學(xué)的Yurii Nesterov，凸優(yōu)化領(lǐng)域的一位領(lǐng)袖，和洛克菲勒一樣獲得過但澤獎(jiǎng)和馮·諾伊曼理論獎(jiǎng)。他們都具有俄羅斯血統(tǒng)。而具有中國(guó)血統(tǒng)的美國(guó)訪問者包括南加州大學(xué)的彭仲熙和斯坦福大學(xué)的葉蔭宇，他們也都是馮·諾伊曼理論獎(jiǎng)得主。每年上百人的全球優(yōu)化界訪問者，活躍在全局優(yōu)化、組合優(yōu)化、非凸優(yōu)化、運(yùn)籌優(yōu)化、大規(guī)模優(yōu)化及其在人工智能、金融、通信等領(lǐng)域應(yīng)用的研究上；其中大陸雙一流高校和科學(xué)院系統(tǒng)生氣勃勃的中青年學(xué)者占主要部分。

與學(xué)術(shù)界和工業(yè)界合作研究是應(yīng)用數(shù)學(xué)系的另一個(gè)特色。2019年，“中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院—香港理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室”成立，它的宗旨是：大力發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的算法基礎(chǔ)研究，包括最優(yōu)化計(jì)算方法、張量計(jì)算、多物理場(chǎng)計(jì)算等；推動(dòng)統(tǒng)計(jì)學(xué)和金融數(shù)學(xué)的理論和應(yīng)用研究；進(jìn)一步發(fā)展大數(shù)據(jù)、人工智能等領(lǐng)域的研究。這兩個(gè)中國(guó)最優(yōu)化重鎮(zhèn)，學(xué)術(shù)交流頻繁，幾周前，京城最優(yōu)化界的一位后起之秀飛來聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，報(bào)告了他的團(tuán)隊(duì)與陳小君團(tuán)隊(duì)的最新合作研究成果。

近些年來，應(yīng)用數(shù)學(xué)系在矩陣優(yōu)化、高維統(tǒng)計(jì)優(yōu)化、非光滑分析等核心方向以及人工智能優(yōu)化、復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化等新興領(lǐng)域，理論成果迭出，實(shí)際應(yīng)用寬廣。例如，在無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域，張?jiān)诶F(tuán)隊(duì)提出的子空間無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化框架，將可解問題維數(shù)從幾百提高到上萬，相關(guān)算法榮獲了 Computational Optimization and Applications 2019年最佳論文獎(jiǎng)，填補(bǔ)了國(guó)內(nèi)大規(guī)模無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化研究的一個(gè)空白。孫德鋒團(tuán)隊(duì)研發(fā)的GPU適配型高效算法為國(guó)內(nèi)人工智能大模型訓(xùn)練提供核心數(shù)學(xué)支撐；2025年最新提出的拉格朗日拓?fù)涓兄锢硇畔⑸窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)（LT-PINN），為邊界聚焦型工程優(yōu)化提供了統(tǒng)一高效的新框架。

當(dāng)然，工業(yè)界是應(yīng)用數(shù)學(xué)真正的用兵場(chǎng)，尤其是在當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代極具應(yīng)用潛力的最優(yōu)化理論。這也是學(xué)術(shù)界獲得實(shí)業(yè)界真正尊敬的必由之路，否則，僅靠“數(shù)文章”“數(shù)引用”而沒有真刀真槍地在理論的實(shí)踐中一展風(fēng)采，是不容易樹立“應(yīng)用數(shù)學(xué)”的威望的。1963年，馮·卡門能榮獲肯尼迪總統(tǒng)頒發(fā)的首屆國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)并且是唯一的獲獎(jiǎng)人（控制論之父維納僅是第二屆五位獲獎(jiǎng)?wù)咧唬?，就在于他是深入到骨髓的?yīng)用數(shù)學(xué)家，運(yùn)用他所創(chuàng)造的空氣動(dòng)力學(xué)理論與方法，出色領(lǐng)導(dǎo)了美國(guó)的國(guó)防科技，尤其在圍繞著應(yīng)用力學(xué)的那些領(lǐng)域。

半年前，自2007年建立長(zhǎng)期合作以來，香港理工應(yīng)用數(shù)學(xué)系與華為技術(shù)有限公司正式成立了“香港理工大學(xué)—華為數(shù)學(xué)優(yōu)化創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室”，這是華為在香港設(shè)立的首個(gè)研發(fā)基于“異構(gòu)算力”先進(jìn)優(yōu)化求解器的聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室。它專注于推動(dòng)數(shù)學(xué)優(yōu)化理論研究、前沿優(yōu)化算法開發(fā)，以及異構(gòu)算力加速求解器在人工智能與數(shù)據(jù)科學(xué)中的應(yīng)用。作為華為在最優(yōu)化領(lǐng)域合作最緊密的高校團(tuán)隊(duì)之一，早在2019年，應(yīng)用數(shù)學(xué)系的優(yōu)化專家成功解決華為生產(chǎn)計(jì)劃中的大規(guī)模優(yōu)化難題，相關(guān)技術(shù)被應(yīng)用于供應(yīng)鏈物流優(yōu)化，此項(xiàng)成果于2021年獲華為香港研究中心及諾亞方舟實(shí)驗(yàn)室雙重 “杰出合作者獎(jiǎng)”。

前文所述的無導(dǎo)數(shù)優(yōu)化軟件開發(fā)成果，落地成效引人注目：COBYQA、PRIMA、PDFO等軟件累計(jì)下載超25萬次，COBYQA作為“Highlight of This Release”納入SciPy1.14.0（每日數(shù)百萬次下載），PRIMA和PDFO成為空客等研發(fā)的工業(yè)設(shè)計(jì)軟件GEMSEO的優(yōu)化引擎，應(yīng)用于英特爾5G基站芯片設(shè)計(jì)、復(fù)旦大學(xué)高維模擬電路優(yōu)化、法國(guó)IRT研究所飛機(jī)零部件設(shè)計(jì)等關(guān)鍵場(chǎng)景，其中NEWUOAs 算法為英特爾Atom P5900芯片設(shè)計(jì)提供百倍加速，被評(píng)價(jià)為“極大簡(jiǎn)化驗(yàn)證流程”。

經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要并帶動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的持續(xù)進(jìn)步，同時(shí)也能保證支持基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究，達(dá)到相輔相成的效果。這既是上世紀(jì)直至現(xiàn)在的美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)推動(dòng)科技騰飛的寶貴經(jīng)驗(yàn)，也是本世紀(jì)的中國(guó)詮釋“數(shù)學(xué)乃強(qiáng)國(guó)之器”的現(xiàn)身說法。一滴水可以折射出太陽的光輝。香港理工大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家集體，描畫出全中國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)大發(fā)展的一個(gè)縮影，值得我們?cè)隈R年的起跑線上歡呼：應(yīng)用數(shù)學(xué)的春風(fēng)已在神州大地刮起。讓我們揚(yáng)鞭策馬，飛馳向前！

寫于農(nóng)歷馬年正月初五