三個(gè)數(shù)字集合，容斥原理的數(shù)學(xué)公式，分析應(yīng)用

關(guān)鍵詞： #數(shù)學(xué) #數(shù)字 #原理 #分析

第1121篇，個(gè)人原創(chuàng)，深度分析文章。

三個(gè)集合的容斥原理解題公式，在解答一些條件明確和標(biāo)準(zhǔn), 又簡(jiǎn)單的題目之時(shí)，直接將已知條件或者作簡(jiǎn)單推斷后，代入容斥原理解題公式即可。

一、容斥原理相關(guān)概念定義和名詞解釋

在數(shù)學(xué)概念上的集合，是指某些具體數(shù)字或者對(duì)象，具有某個(gè)相同屬性，按照這個(gè)相同屬性，將這些數(shù)學(xué)或者對(duì)象，歸納為一個(gè)類別。將這個(gè)類別，統(tǒng)稱為集合。

數(shù)學(xué)上的容斥原理，是指，首先把多個(gè)集合中所有對(duì)象的數(shù)目，按照集合歸類，分別計(jì)算出來(lái)，然后，再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目，排斥減除出去，把遺漏的數(shù)目再加上，使得計(jì)算的結(jié)果，是既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)計(jì)算的對(duì)象數(shù)目。

這種計(jì)數(shù)的過(guò)程和方法，我們稱之為容斥原理。

二、三個(gè)集合，應(yīng)用容斥原理公式的先決條件

如果有三個(gè)數(shù)字集合的容斥問(wèn)題，在運(yùn)用相關(guān)公式時(shí)，需要知道的已知條件如下：

三個(gè)單獨(dú)集合，包含對(duì)象的總數(shù)目。

滿足a條件對(duì)象的數(shù)目。

滿足b條件對(duì)象的數(shù)目。

滿足c條件對(duì)象的數(shù)目。

同時(shí)滿足ab條件對(duì)象的數(shù)目。

同時(shí)滿足ac條件對(duì)象的數(shù)目。

同時(shí)滿足bc條件對(duì)象的數(shù)目。

同時(shí)滿足abc條件對(duì)象的數(shù)目。

如此，我們得到有三個(gè)集合時(shí)，容斥原理數(shù)學(xué)解題公式：

則三個(gè)集合包含對(duì)象的總數(shù)目=滿足a條件對(duì)象的數(shù)目+滿足b條件對(duì)象的數(shù)目+滿足c條件對(duì)象的數(shù)目-同時(shí)滿足ab條件對(duì)象的數(shù)目-同時(shí)滿足ac條件對(duì)象的數(shù)目-同時(shí)滿足bc條件對(duì)象的數(shù)目+同時(shí)滿足abc條件對(duì)象的數(shù)目。

公式解析：一共有三個(gè)集合，互相有兩個(gè)集合重合的部分，共加了三次，分別是ab重合部分、ac重合部分、bc重合部分。于是要，再依次減去ab重合部分、ac重合部分、bc重合部分。

此時(shí)，多減了abc三個(gè)集合共同重合的部分，于是最后，再加上abc三個(gè)集合共同重合的部分，得到最終的三個(gè)集合包含對(duì)象的所有數(shù)目。

注意事項(xiàng)：這里滿足a條件對(duì)象的數(shù)目的意義，是指滿足a條件即可。意思是滿足a條件對(duì)象的數(shù)目，包含只滿足a條件對(duì)象的數(shù)目和滿足a條件同時(shí)，又滿足其他條件的對(duì)象，這兩類對(duì)象的總數(shù)目。

三、三個(gè)集合容斥原理數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用

題目，有abc三個(gè)紙片，面積分別為60、170、150，三個(gè)紙片，都有部分重疊在一起，放在桌面上。三個(gè)紙片總共蓋住的面積為280. 已知ab、ac、bc，每?jī)蓚€(gè)紙片，互相重合部分面積分別為22、60、35. 求abc三張紙片，共同重合的面積是多少。

解析：假設(shè)abc三張紙片共同重合的面積是d。

假設(shè)每一個(gè)紙片的面積，為集合中對(duì)象的個(gè)數(shù)。則三個(gè)集合所有對(duì)象的個(gè)數(shù)，即為三個(gè)紙片總共蓋住的面積，為280.

Ab紙片重合的面積，即為同時(shí)滿足ab兩個(gè)條件的對(duì)象數(shù)目。

同理可得：

Ac紙片重合的面積，即為同時(shí)滿足ac兩個(gè)條件的對(duì)象數(shù)目。

cb紙片重合的面積，即為同時(shí)滿足cb兩個(gè)條件的對(duì)象數(shù)目。

代入三個(gè)集合容斥原理公式得：

280=60+170+150-22-60-35+d, 解得d=7

四、缺少同時(shí)滿足三個(gè)條件對(duì)象數(shù)目的解答方法

題目：班級(jí)學(xué)生模擬考試，有abc三場(chǎng)考試，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩場(chǎng)考試。總共42人報(bào)名，abc三場(chǎng)考試報(bào)名人數(shù)分別為22、16、25，其中同時(shí)報(bào)考ab考試的人數(shù)為8人 ，同時(shí)報(bào)考ac考試的人數(shù)為6人。

問(wèn)同時(shí)報(bào)考bc考試的人數(shù)，為幾人？

解答：假設(shè)同時(shí)報(bào)考bc的人數(shù)為d，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩場(chǎng)，說(shuō)明能夠參加三場(chǎng)考試的學(xué)生數(shù)量為0.

代入三集合容斥原理公式得：

42=22+16+25-8-6-d+0，解得d=7。

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