高中數學40條秒殺公式，高一-高三都適用，轉給孩子！

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高中數學40條秒殺公式

1.適用條件：[直線過焦點]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。

x為分離比，必須大于1。注上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式;如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右邊為(x+1)/(x-1)，其他不變。

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2.函數的周期性問題(記憶三個)：

（1）若f(x)=-f(x+k)，則T=2k;

（2）若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;

（3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k。注意點：a.周期函數，

周期必無限b.周期函數未必存在最小周期，如：常數函數。c.周期函數加周期函數未必是周期函數，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函數。

3.關于對稱問題(無數人搞不懂的問題)總結如下：

（1）若在R上(下同)滿足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，對稱軸為x=(a+b)/2

（2）函數y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖像關于x=(b-a)/2對稱

（3）若f(a+x)+f(a-x)=2b，則f(x)圖像關于(a，b)中心對稱

4.函數奇偶性：

（1）對于屬于R上的奇函數有f(0)=0

（2）對于含參函數，奇函數沒有偶次方項，偶函數沒有奇次方項

（3）奇偶性作用不大，一般用于選擇填空

5.數列定律：

1.等差數列中：S奇=na中，例如S 13 =13a 7

2.等差數列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差

3.等比數列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立

4.等比數列爆強公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q

6.數列的終極利器，特征根方程。

首先介紹公式：對于an+1=pan+q，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，則數列通項公式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種類型的數列可以構造(兩邊同時加數)

7.函數詳解補充：

（1）復合函數奇偶性：內偶則偶，內奇同外

（2）復合函數單調性：同增異減

（3）重點知識關于三次函數：恐怕沒有多少人知道三次函數曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導后導數為0，根x即為中心橫坐標，縱坐標可以用x帶入原函數界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8.常用數列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶方法

前面減去一個1，后面加一個，再整體加一個2

9.適用于標準方程(焦點在x軸)公式

k橢=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k拋=p/yo

注：(xo，yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10.強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技

已知直線L1：a1x+b1y+c1=0 直線L2：a2x+b2y+c2=0

若它們垂直：(充要條件)a1a2+b1b2=0;

若它們平行：(充要條件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[這個條件為了防止兩直線重合)

注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺!

11.經典中的經典：相信鄰項相消大家都知道。

下面看隔項相消：對于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔!

12.△面積公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)

注：這個公式可以解決已知三角形三點坐標求面積的問題!

13.空間立體幾何中：

以下命題均錯：

1.空間中不同三點確定一個平面

2.垂直同一直線的兩直線平行

3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

4.如果一條直線與平面內無數條直線垂直，則直線垂直平面

5.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱

6.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體都是棱錐注：對初中生不適用。

14.一個小知識點

所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。

15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數)的最小值。

答案為：當n為奇數，最小值為(n2-1)/4，在x=(n+1)/2時取到;當n為偶數時，最小值為n2/4，在x=n/2或n/2+1時取到。

16.√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數，是統一定義域)

17.橢圓中焦點三角形面積公式

S=b2tan(A/2)在雙曲線中：S=b2/tan(A/2)說明：適用于焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

18.定理：空間向量三公式解決所有題目

cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]|

一：A為線線夾角

二：A為線面夾角(但是公式中cos換成sin)

三：A為面面夾角注：以上角范圍均為[0，派/2]

19.公式12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1)；123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2

20.切線方程記憶方法

寫成對稱形式，換一個x，換一個y。

舉例說明：對于y2=2px可以寫成y×y=px+px再把(xo，yo)帶入其中一個得：y×yo=pxo+px

21.定理：(a+b+c)2n的展開式[合并之后]的項數為：Cn+22

22.[轉化思想]切線長l=√(d2-r2)d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。

23.對于y2=2px，過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。

定理的證明：對于y2=2px，設過焦點的弦傾斜角為A.那么弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，所以與之垂直的弦長為2p/[(cosA)2]，所以求和再據三角知識可知。(題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直于CD)

24.關于一個重要絕對值不等式的介紹爆強

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25.關于解決證明含ln的不等式的一種思路：

舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。

解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，則bn=ln(n+1)-lnn，那么只需證an>bn即可，根據定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。注：僅供有能力的童鞋參考!!另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。

26.簡潔公式：向量a在向量b上的射影是：

〔向量a×向量b的數量積〕/[向量b的模]。

記憶方法：在哪投影除以哪個的模

27.說明一個易錯點：

若f(x+a)[a任意]為奇函數，那么得到的結論是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)為偶函數，可得f(x+a)=f(-x+a)牢記!

28.離心率公式：

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N

29.橢圓的參數方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。

比如x2/4+y2=1求z=x+y的最值。

解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

30.公式：

和差化積

sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

積化和差

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31.定理：直觀圖的面積是原圖的√2/4倍。

32.三角形垂心定理：

1.向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O為三角形外心，H為垂心)

2.若三角形的三個頂點都在函數y=1/x的圖象上，則它的垂心也在這個函數圖象上。

33.維維安尼定理

正三角形內(或邊界上)任一點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。

34.思路

如果出現兩根之積x1x2=m，兩根之和x1+x2=n，我們應當形成一種思路，那就是返回去構造一個二次函數，再利用△大于等于0，可以得到m、n范圍。

35.常用結論：

過(2p，0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。O為原點，連接AO.BO。必有角AOB=90度

36.公式：

ln(x+1)≤x(x>-1)該式能有效解決不等式的證明問題。

舉例說明：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)<1(n≥2)

證明如下：令x=1/(n2)，根據ln(x+1)≤x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢!

37.函數y=(sinx)/x是偶函數。

在(0，π)上它單調遞減，(-π，0)上單調遞增。利用上述性質可以比較大小。

38.函數y=(lnx)/x在(0，e)上單調遞增，在(e，+無窮)上單調遞減。另外y=x2(1/x)與該函數的單調性一致。

39.幾個數學易錯點：

1.f`(x)<0是函數在定義域內單調遞減的充分不必要條件

2.在研究函數奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關于原點對稱！

3.不等式的運用過程中，千萬要考慮"="號是否取到！

4.研究數列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通項公式，所以應當極度注意：數列問題一定要考慮是否需要分項！

40.A、B為橢圓x2/a2+y2/b2=1上任意兩點：

若OA垂直OB，則有1/∣OA∣2+1/∣OB∣2=1/a2+1/b2

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