Tony Phillips教授的數學讀報評論2025-11

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本月主題：

1、人類的五個拓撲學年齡階段

2、超越網絡：拓撲學與信息論

作者：Tony Phillips（石溪大學數學教授）2026-1-16

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-1-19

1、人類的五個拓撲學年齡階段

一項針對 4216 名 0 至 90 歲受試者的新研究，運用拓撲學標準確定了大腦發育的五個不同時期。這些時期以 9 歲、32 歲、66 歲和 83 歲為轉折點。發表在《自然?通訊》上的《人類生命周期中的拓撲學轉折點》 https://www.nature.com/articles/s41467-025-65974-8 一文已被英國廣播公司（BBC） https://www.bbc.com/news/articles/cgl6klez226o 、美國全國廣播公司新聞網（NBC News） https://www.nbcnews.com/science/science-news/human-brains-5-epochs-development-rcna245663 、《華盛頓郵報》 https://www.washingtonpost.com/wellness/2025/12/09/five-phases-brain-structure-changes/ 以及（最近的）《華爾街日報》 https://www.wsj.com/health/wellness/brain-stages-aging-five-study-nature-a015101e?mod=djem10point 報道。

該研究遵循可追溯至 19 世紀的研究思路，將人類大腦建模為一個節點網絡（大腦中解剖學或功能上不同的區域）。《自然?通訊》這篇文章的作者 —— 劍橋大學的亞歷克莎?穆斯利（Alexa Mousley）、理查德?貝思勒姆（Richard Bethlehem）、鄧肯?阿斯特爾（Duncan Astle）以及匹茲堡大學的葉方誠（音譯名，英文名：Fang-Cheng Yeh）—— 通過磁共振擴散張量成像掃描 https://www.sciencedirect.com/topics/medicine-and-dentistry/diffusion-mri 獲取的活動數據來推斷哪些節點之間存在連接。利用人類連接組計劃（Human Connectome Project） https://humanconnectome.org/study/hcp-young-adult/project-protocol/network-modeling 和其他先前研究的數據，他們記錄了 13 種不同的測量指標，旨在捕捉每位受試者大腦的拓撲結構。以下是部分示例：

• 全局效率（Global Efficiency）

全局效率衡量的是網絡中兩個節點之間的連通難易程度。計算方式十分簡單：對于每個節點，我們計算其效率值（E）—— 與該節點僅隔 1 條鏈路的其他每個節點計 1 分，隔 2 條鏈路的每個節點計 1/2 分，以此類推。因此，一個節點的近鄰越多，其總效率值就越高；在一個包含 n 個節點的網絡中，某個節點的最大可能效率值為 n-1。全局效率則是網絡中所有節點效率值的平均值。

在 4 節點網絡 a 中，每個節點的效率值 E=3，全局效率達到最大可能值 3。

在網絡 b 中，藍色節點的效率值 E=2.5，其他節點的效率值 E=1.666...，全局效率的平均值為 25/13。

圖源：Tony Phillips

• 聚類系數（Clustering Coefficient）

聚類系數衡量的是共享一個節點的兩條鏈路形成三角形的可能性。如果一個節點有 d 條入射邊，我們將其三角形似然數（TLN，triangle likelihood number）定義為該節點所在的三角形數量，除以其可能形成的三角形數量（即 d (d-1)/2，也就是入射邊的成對數量）。網絡的聚類系數是所有節點三角形似然數的平均值。

例如，某個藍色節點有 4 條入射邊和 2 個入射三角形，其三角形似然數（TLN）為 1/3；類似地，兩個紅色節點的三角形似然數（TLN）=0，其他節點的三角形似然數（TLN）=1/3，因此該網絡的聚類系數為 5/21。

圖源：Tony Phillips

作者使用數學處理工具UMAP（Uniform Manifold Approximation and Projection，均勻流形近似和投影 https://umap-learn.readthedocs.io/en/latest/ ）將數據整合為一條曲線，并利用主成分分析（PCA，Principal Component Analysis，詳情如下）找到數據的三維投影，該投影保留了 76.6% 的方差。

主成分分析載荷（PCA Loadings）

各類拓撲測量指標對三個主成分（PC1、PC2 和 PC3）的貢獻情況如下：全局效率幾乎完全對 PC1 有貢獻，而聚類系數則對 PC2 有貢獻。

圖源：《自然?通訊》第16期，文章編號 10055

將該投影應用于 UMAP 曲線，可直觀呈現人類生命周期中大腦拓撲結構的演變過程。結果顯示，這條曲線存在四個 “轉折點”，大腦拓撲結構的演變方向在此處發生改變。

人類生命周期中大腦拓撲結構演變的非單調性

UMAP 曲線在主成分空間中的投影，追蹤了從 0 歲到 90 歲的大腦拓撲結構演變，其中包含四個重要轉折點，分別位于 9 歲、32 歲、66 歲和 83 歲。

圖源：《自然?通訊》第 16 期，文章編號 10055

作者將這些轉折點解讀為定義了五個 “生命周期時期”，分別是嬰兒期至兒童期、青春期、成年期、早期衰老期和晚期衰老期。他們解釋稱，這些基于拓撲學得出的時期與解剖學和行為發展階段密切相關。例如，在嬰兒期至兒童期，大腦網絡的全局效率會下降，這與解剖學上 “突觸的競爭性消除” 相吻合。另一個例子是，在成年期，大腦處于 “網絡穩定期”，這在行為上對應著 “智力和人格的穩定期”。

該研究將青春期定義為 9 歲至 32 歲，這一劃分較為特殊，媒體報道也著重強調了這一點（這與古羅馬時期 “青少年” 的概念一致）。文章對此問題的探討較為謹慎，并指出所有受試者均來自英國和美國。而媒體未報道的一點是性別差異：在補充信息 https://static-content.springer.com/esm/art%3A10.1038%2Fs41467-025-65974-8/MediaObjects/41467_2025_65974_MOESM1_ESM.pdf 圖 5（“按性別劃分的轉折點”）中，作者顯示男性青春期的轉折點為 11 歲和 37 歲，女性則為 9 歲和 33 歲。

2、超越網絡：拓撲學與信息論

與許多拓撲學在生命科學中的應用一樣，前文提及的研究將生命系統抽象為網絡，并利用圖論進行分析。佛蒙特大學的托馬斯?F?瓦利（Thomas F. Varley）、艾麗斯?帕塔尼亞（Alice Patania）、喬希?邦加德（Josh Bongard）以及倫敦帝國理工學院的佩德羅?梅迪亞諾（Pedro Mediano）認為，這種方法并非始終適用。在 11 月 13 日發表于《公共科學圖書館?計算生物學》（PLOS Computational Biology）的《協同作用的拓撲學》一文中 https://journals.plos.org/ploscompbiol/article?id=10.1371/journal.pcbi.1013649 ，他們指出，網絡的基本構成單元 —— 兩個節點之間的鏈路 —— 可能無法充分表征現實世界的系統。即使是簡單的異或（XOR）邏輯門（當輸入中 1 的個數為奇數時輸出 1，否則輸出 0），本質上也是非二元的。

異或邏輯門（XOR，Exclusive-OR Gate）

異或邏輯門是一種非二元關系的示例。在這種情況下，輸出結果依賴于所有三個輸入，且任意兩個輸入之間均無相關性。

圖源：Tony Phillips

異或邏輯門是作者所稱的 “高階關系” 的一個例子。他們討論了兩種替代網絡的結構，認為這些結構能更好地刻畫高階關系，即拓撲數據分析（Topological Data Analysis）和多元信息論（Multivariate Information Theory）。

拓撲數據分析（相關系統介紹見此鏈接 https://geometrica.saclay.inria.fr/team/Fred.Chazal/papers/cm-itda-17/SurveySFdSOct2017.pdf ）將數據集視為某個（通常是高維的）歐幾里得空間中的點云，因此可以明確界定哪些點彼此接近、哪些點相距較遠，進而利用拓撲學概念分析該點云的結構。常用的拓撲學工具是持久同調（Persistent Homology），本專欄近期已對其進行過描述，參閱 。

本網站之前也在通信數學的背景下討論過一維信息論 https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-info1 。大致來說，問題如下：如果你對某個現象已經了解 n 個信息 T?，…，T?，當再被告知第（n+1）個信息 T???時，你獲得了多少新知識？如果 T???與某個 T?完全相同，或者是某些 T?組合的邏輯推論，那么你并未獲得任何新知識 —— 這個新信息完全是冗余的。但如果 T???介于已知信息和完全未知信息之間，信息論則提供了一種衡量其包含 “多少” 新信息的方法。

信息的數學定義比該術語的通常理解更為狹隘。首先設定一個概率分布 p，它生成值 a?，…，a?，每個值對應的概率為 p?（因此∑?p?=1）。如果存在某個 p?=1（則其他所有 p?=0），那么 p 完全集中在 a?上。此時，在測量之前我們就已知結果，無法獲得任何信息。另一方面，當所有 p?相等（即均等于 1/n）時，我們對測量結果的不確定性最大。為了在這兩種極端情況之間進行插值，克勞德?香農（Claude Shannon）于 1948 年將信息定義為：

H(p) = -∑???? p? log?(p?)

其中，按照慣例，0log?(0)=0。信息的單位為比特（bits）。當所有 p?相等時：

H (p) = -（(1/n) log?(1/n) + … + (1/n) log?(1/n)）= log?(n) 比特

假設在相同的 n 個可能值上有兩個概率分布，p 的概率為 p?，…，p?，q 的概率為 q?，…，q?。則：

H(q∣p) = -∑???? q? log?(q?/p?)

這一量化指標表示，在已知 p 的情況下，從 q 中能獲得多少額外信息，被稱為相對信息（Relative Information）。

需要注意的是，如果兩個分布相同（即 q?=p?），則相對信息為 0，此時冗余度最大，q 無法提供任何額外信息。對于包含兩個以上分布 p?，p?，p?，… 的系統，作者使用相關指標 O (p?，…，p?) 來量化系統中的冗余度：O 值越大且為正，表明系統冗余度越高；O 值越大且為負，表明系統的信息含量越豐富。這種豐富性正是文章標題中所提及的 “協同作用”（Synergy）。

作者指出，信息與拓撲復雜性之間可能存在一種有趣的關聯，并通過三維（X?，X?，X?）空間中的點云來代表幾何圖形，以此進行說明。這使得他們能夠將幾何圖像重新定義為從三個不同概率分布中采樣得到的數據集：點的 X?坐標來自分布 p?，X?坐標來自分布 p?，X?坐標來自分布 p?。之后，他們可以應用信息論并分析 O (p?，p?，p?)。

作者通過示例展示了拓撲學與信息論之間的相關性。首先，從一個球體表面隨機采樣 10000 個點，其 O 值顯示出顯著的協同作用；而從實心球中采樣點時，O 值幾乎為 0。作者認為，球體的拓撲結構是產生高階信息的原因。

相同半徑的球面（左）和實心球（右）的分析結果

作者將球面的高協同作用歸因于其非平凡拓撲結構（即 “空穴”）。此處及下文的 “nat” 表示 O 值是使用更便捷的自然對數計算得出的。

圖源：改編自《協同作用的拓撲學》圖 4，來自開放獲取期刊《公共科學圖書館?計算生物學》。

作者還在二維環面表面及其所包圍的三維實心環面上重復了該實驗。環面表面顯示出顯著的協同作用，而實心環面的協同作用 “與實心球無顯著差異”。這一觀察結果令人失望，因為它表明該信息論測量方法未能刻畫實心環面的非平凡拓撲結構（實心環面同倫等價于一個圓，而實心球同倫等價于一個點）。

相同尺寸的環面表面（左）和實心環面（右）的分析結果

與之前一致，帶有空穴的表面具有更高的協同作用。但這種信息論應用似乎無法刻畫實心環面的一維拓撲結構。

圖源：改編自《協同作用的拓撲學》圖 4，來自開放獲取期刊《公共科學圖書館?計算生物學》。

作者還對功能性磁共振成像（fMRI）大腦研究中收集的數據進行了 O 值分析。他們發現，“空穴數量” 與協同作用測量結果之間存在相關性，這表明 “在本質上，拓撲數據分析和協同信息論關注的是同一種潛在結構”。這一直觀上頗具吸引力，但正如作者所言，其背后的數學原理 “尚未被發現”。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take/

https://www.nature.com/articles/s41467-025-65974-8

https://www.bbc.com/news/articles/cgl6klez226o

https://www.nbcnews.com/science/science-news/human-brains-5-epochs-development-rcna245663

https://www.washingtonpost.com/wellness/2025/12/09/five-phases-brain-structure-changes/

https://www.wsj.com/health/wellness/brain-stages-aging-five-study-nature-a015101e?mod=djem10point

https://www.sciencedirect.com/topics/medicine-and-dentistry/diffusion-mri

https://humanconnectome.org/study/hcp-young-adult/project-protocol/network-modeling

https://umap-learn.readthedocs.io/en/latest/

https://static-content.springer.com/esm/art%3A10.1038%2Fs41467-025-65974-8/MediaObjects/41467_2025_65974_MOESM1_ESM.pdf

https://journals.plos.org/ploscompbiol/article?id=10.1371/journal.pcbi.1013649

https://geometrica.saclay.inria.fr/team/Fred.Chazal/papers/cm-itda-17/SurveySFdSOct2017.pdf

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-info1

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