2026數(shù)學(xué)教育講座系列——數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力的重要性及提升路徑（by Anna Stokke）——EMS歐洲數(shù)學(xué)會

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歐洲數(shù)學(xué)會（EMS）非常高興地宣布其數(shù)學(xué)教育講座系列，匯聚頂尖專家，共同探討數(shù)學(xué)教學(xué)、課程設(shè)計和政策制定中的關(guān)鍵問題和創(chuàng)新方法。這些一小時網(wǎng)絡(luò)研討會將于2026年1月至6月的每個月第二個星期五晚上7點（中歐時間）舉行，由Tom Crawford博士主持。

本系列講座面向以下人群：

• 數(shù)學(xué)教師

• 教師教育者及教育研究者

• 高等教育及科研領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家

• 課程開發(fā)者、教育主管部門及政策制定者

YouTube直播鏈接參與講座：

https://www.youtube.com/c/EuropeanMathematicalSociety/live

講座日程1月9日安娜?斯托克（Anna Stokke）：

《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力的重要性及提升路徑》

數(shù)學(xué)具有嚴密的知識層級性，若學(xué)生未能熟練掌握數(shù)感、算術(shù)、分數(shù)等基礎(chǔ)能力，在高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必將遭遇瓶頸。教學(xué)內(nèi)容的選擇與教學(xué)方法的運用，直接決定學(xué)習(xí)成效。

《運用人類認知原理優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》

探索檢索練習(xí)、間隔學(xué)習(xí)、例題示范等高效認知科學(xué)策略，幫助學(xué)生夯實知識熟練度，構(gòu)建深度理解。

《何為學(xué)校數(shù)學(xué)？》

深入剖析學(xué)校數(shù)學(xué)課程的連貫性，探討如何為教師配備必備的數(shù)學(xué)專業(yè)知識，助力教學(xué)成功。

分享五種經(jīng)實證驗證的有效策略，為有特殊數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求的學(xué)生提供支持。

揭示代數(shù)教學(xué)中的常見陷阱，學(xué)習(xí)如何引導(dǎo)學(xué)生正確理解變量的核心內(nèi)涵。

聆聽菲爾茲獎得主的見解，探討如何規(guī)范使用人工智能工具，培養(yǎng)健康高效的學(xué)術(shù)思維習(xí)慣。

加入我們，共同塑造數(shù)學(xué)教育的未來！

本期第1講（1月9日），演講人：
安娜?斯托克（Anna Stokke）

溫尼伯大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計系教授，她獲得了阿爾伯塔大學(xué)的數(shù)學(xué)博士學(xué)位。她的研究領(lǐng)域是代數(shù)（群表示論）和代數(shù)組合學(xué)。 斯托克博士是加拿大兒童優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)教育的倡導(dǎo)者。 她接受了200多場關(guān)于數(shù)學(xué)教育的媒體采訪，并為本地和全國報紙撰寫了大量社論。 此前，她共同創(chuàng)立了一個倡導(dǎo)組織 WISE Math。 她是非營利組織阿基米德數(shù)學(xué)學(xué)校的校長兼聯(lián)合創(chuàng)始人。她主持了熱門的數(shù)學(xué)教育播客《粉筆與講臺》（

Chalk and Talk

作者：EMS（歐洲數(shù)學(xué)會）2026-1-10

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2026-1-11

《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力的重要性及提升路徑》

數(shù)學(xué)具有嚴密的知識層級性，若學(xué)生未能熟練掌握數(shù)感、算術(shù)、分數(shù)等基礎(chǔ)能力，在高階數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必將遭遇瓶頸。教學(xué)內(nèi)容的選擇與教學(xué)方法的運用，直接決定學(xué)習(xí)成效。

主持人：

現(xiàn)在英國時間是下午6點，歐洲中部時間是晚上7點，我想我們可以開始了。大家好，歡迎來到歐洲數(shù)學(xué)會教育數(shù)學(xué)系列講座的第一講。感謝大家在周五晚上抽出時間參與。在接下來的六個月里，我們將舉辦六場這樣的講座，每月一場，間隔大約四到五周。大家可以留意一下日程安排，所有講座都會在周五晚上的這個時間點進行。

我是本場講座的主持人湯姆?克勞福德（Tom Crawford）博士，是一名常駐英國的數(shù)學(xué)家。目前我在牛津大學(xué)和劍橋大學(xué)任教，同時也運營著個人網(wǎng)站和名為 “湯姆玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”（Tom Rocks Maths）的 YouTube 頻道，在網(wǎng)絡(luò)上分享數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容。

在介紹今天的主講嘉賓之前，作為系列講座的開篇，我想先簡要說明一下本系列講座的創(chuàng)辦宗旨 —— 畢竟這是歐洲數(shù)學(xué)會全新推出的一項活動。舉辦這些線上研討會的核心目的，是為數(shù)學(xué)教育工作者提供一個學(xué)習(xí)交流的資源平臺。我們將邀請該領(lǐng)域的頂尖專家，共同探討數(shù)學(xué)教學(xué)、課程設(shè)計與政策制定中的關(guān)鍵問題與創(chuàng)新方法。正如教育委員會主席安妮?杜姆斯向我闡述的那樣：“當(dāng)前專業(yè)數(shù)學(xué)教師資源短缺，我們應(yīng)當(dāng)尊重并重視選擇投身數(shù)學(xué)教育事業(yè)的從業(yè)者，同時為他們提供更有力的支持。” 我認為，這正是本系列講座絕佳的宗旨與初衷。

本系列講座將聚焦數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力與知識體系的重要性，探討我們究竟該如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是中小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；分析數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的內(nèi)容選取依據(jù)與背后邏輯；研究如何幫助在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初期遇到困難的孩子；之后還會有一場講座專門講解代數(shù)入門階段常見的認知誤區(qū)；最后，我們將探討人工智能對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生的影響。在每一場線上研討會中，都會設(shè)置專門的提問環(huán)節(jié)，我們非常歡迎大家踴躍提問。講座尾聲會預(yù)留15到20分鐘的時間，由我來收集大家的問題，并請主講嘉賓解答，今天就是請安娜為大家答疑。我們準(zhǔn)備了一個谷歌表單，稍后會以某種方式分享對應(yīng)的二維碼，大家可以通過表單提交問題。麻煩大家積極提問，這樣我們才能在最后環(huán)節(jié)進行集中解答。

好了，主持人的開場白就說到這里。接下來，我非常榮幸地向大家介紹今天的主講嘉賓 —— 安妮?斯托基教授。抱歉，是安娜?斯托基教授。安娜任職于加拿大溫尼伯大學(xué)，主要研究方向為代數(shù)學(xué)與代數(shù)組合學(xué)。同時，她對數(shù)學(xué)教育抱有極高的熱情，這也正是她今天要和大家分享的主題。安娜主持的播客節(jié)目《粉筆與講臺：數(shù)學(xué)教育漫談》（Chalk and Talk Maths Education）曾登頂美國、加拿大、澳大利亞、新西蘭等多個國家的教育類播客排行榜。此外，她還憑借卓越的教學(xué)水平、突出的社會服務(wù)貢獻以及杰出的教育領(lǐng)導(dǎo)力，斬獲了無數(shù)獎項。今天她演講的題目是《為什么數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力至關(guān)重要？以及如何提升數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力？》。安娜，現(xiàn)在把時間交給你。

謝謝主持人的熱情介紹。我現(xiàn)在身處加拿大曼尼托巴省的溫尼伯市，大家應(yīng)該能感受到，這里陽光明媚，但氣溫很低，現(xiàn)在是中午12點整。今天我想和大家聊聊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力的重要性。能受邀擔(dān)任歐洲數(shù)學(xué)會教育數(shù)學(xué)系列講座的首位主講人，我感到十分榮幸，我相信這必將是一個精彩紛呈的系列講座。特別感謝安妮?杜姆斯和努諾?克雷多的邀請。

我是以一名數(shù)學(xué)家的身份來探討這個主題的。我并非教育研究者，但過去十五年間，我一直投身于數(shù)學(xué)教育推廣工作，在這個過程中，我也主動學(xué)習(xí)了大量數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究成果。先簡單介紹一下我的個人經(jīng)歷，以及我是如何投身數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的。我的孩子上小學(xué)時，我開始關(guān)注數(shù)學(xué)教育，當(dāng)時我對學(xué)校里的數(shù)學(xué)教學(xué)方式感到既擔(dān)憂又無奈。另一方面，在大學(xué)任教的過程中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在學(xué)習(xí)高階課程時舉步維艱，究其根本，是因為他們欠缺必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力。

這兩件事促使我開始參與數(shù)學(xué)普及的公益活動，比如我曾在加拿大創(chuàng)立過一個數(shù)學(xué)教育倡導(dǎo)組織，致力于推動數(shù)學(xué)知識的公眾傳播。我還為小學(xué)四、五、六年級的學(xué)生開辦了一個非營利性的課后數(shù)學(xué)輔導(dǎo)項目。正如主持人剛才提到的，我最近還推出了《粉筆與講臺》這檔播客節(jié)目，在節(jié)目中，我會與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究者和一線教師對話，探討有實證依據(jù)支撐的有效教學(xué)方法。

今天我的演講將圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力展開，內(nèi)容包括（下列編號為譯者所加，供結(jié)構(gòu)化參考，重點結(jié)論已作下劃線加粗高亮標(biāo)記，譯者注）：

一、基礎(chǔ)能力的重要性及薄弱現(xiàn)象

為什么如此多的學(xué)生存在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的問題；我認為當(dāng)前數(shù)學(xué)教育的癥結(jié)在哪里。

二、基礎(chǔ)能力提升路徑

可以采取哪些措施來改善現(xiàn)狀；我們能從那些已經(jīng)成功扭轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)教育困境的國家身上學(xué)到什么經(jīng)驗。

首先我想說，

一、基礎(chǔ)能力的重要性及薄弱現(xiàn)象

0.1 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難是一個全球性的問題

從國際學(xué)生評估項目（PISA）和國際數(shù)學(xué)與科學(xué)趨勢研究（TIMSS）的結(jié)果來看，許多國家的學(xué)生數(shù)學(xué)成績都出現(xiàn)了下滑，尤其是東亞地區(qū)以外的國家。北美、歐洲大部分地區(qū)、澳大利亞、新西蘭等國家和地區(qū)都呈現(xiàn)出類似的下降趨勢。需要強調(diào)的是，這一趨勢并非由新冠疫情引發(fā) —— 疫情確實讓情況雪上加霜，但早在疫情之前，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績就已經(jīng)開始下滑，而且在很多國家，這種下滑態(tài)勢已經(jīng)持續(xù)了十年甚至更久。

那么，我們?yōu)槭裁匆匾曔@個問題？

大家可以先思考一下，接下來我談?wù)勎业目捶ā?/p>

首先，學(xué)生如果在學(xué)前至二年級階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到困難，那么他們?nèi)蘸筮x修代數(shù)、微積分、統(tǒng)計學(xué)等課程，或是其他需要運用數(shù)學(xué)知識的課程（比如物理、化學(xué)等）的可能性會大大降低。這一點至關(guān)重要，因為數(shù)學(xué)是眾多高薪職業(yè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)，無論是科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)（STEM）領(lǐng)域，還是經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、信息技術(shù)、工程學(xué)、健康科學(xué)，甚至是對數(shù)據(jù)處理能力要求較高的社會科學(xué)領(lǐng)域，以及技能型行業(yè)，都離不開扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

除此之外，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱還會導(dǎo)致人力資本的流失和個人潛能的埋沒。我堅信，許多學(xué)生其實完全有能力學(xué)好數(shù)學(xué)，也完全有機會在數(shù)學(xué)領(lǐng)域深耕，但薄弱的基礎(chǔ)讓他們失去了這樣的機會。此外，大量研究表明，早期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)與后續(xù)的學(xué)業(yè)成就以及未來的收入水平呈正相關(guān)關(guān)系。事實上，可能很多人會感到驚訝，研究發(fā)現(xiàn)，早期數(shù)學(xué)能力對后續(xù)學(xué)業(yè)成功的影響，甚至比早期閱讀能力的影響更為顯著。

0.2 數(shù)學(xué)知識體系具有極強的層級遞進性

這就引出了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力的重要性，也是我今天如此關(guān)注這個主題的原因 —— 因為數(shù)學(xué)知識體系具有極強的層級遞進性。

大家可以看一下我展示的這張階梯示意圖。數(shù)學(xué)就像一個龐大而緊密相連的知識網(wǎng)絡(luò)，任何一個知識點，你都能追溯到它在小學(xué)階段對應(yīng)的基礎(chǔ)內(nèi)容。如果沒有熟練掌握前期的基礎(chǔ)知識點，就根本無法理解和掌握高階的數(shù)學(xué)概念，這就像爬梯子一樣，如果梯子的某些臺階缺失了，后續(xù)的攀爬就會變得舉步維艱。缺乏必備的基礎(chǔ)知識，是無法通過邏輯推理來彌補的。而且，知識漏洞會隨著時間的推移不斷累積，越往后，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度就會越大。

舉個例子，學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)時，如果連分數(shù)運算都不會，那么代數(shù)學(xué)習(xí)對他們來說會異常困難 —— 畢竟代數(shù)是通往高階數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路。而學(xué)生之所以不會分數(shù)運算，很可能是因為他們連基本的加減法或乘法口訣都沒有掌握。因此，我們必須時刻牢記：數(shù)學(xué)具有極強的層級遞進性，并非所有學(xué)科都是如此。數(shù)學(xué)知識的累積性特點，決定了學(xué)生一旦在學(xué)習(xí)過程中掉隊，后續(xù)的追趕將會非常困難。

0.3 美國加州大學(xué)圣地亞哥分校的案例

接下來我想分享一個近期引發(fā)廣泛關(guān)注的案例，這個案例來自美國加州大學(xué)圣地亞哥分校。可能有些觀眾已經(jīng)看過或讀過相關(guān)報道，我先簡單介紹一下事件的背景，再展示該校給學(xué)生出的測試題。加州大學(xué)圣地亞哥分校數(shù)學(xué)系發(fā)現(xiàn)，需要參加補習(xí)數(shù)學(xué)課程的學(xué)生數(shù)量大幅增加。這些學(xué)生入學(xué)時參加了數(shù)學(xué)分級考試，最終被分到了一門名為 “數(shù)學(xué) 2” 的補習(xí)課程。授課教師發(fā)現(xiàn)，這些大學(xué)生竟然連初中數(shù)學(xué)知識都掌握得一塌糊涂。

于是在2023年秋季學(xué)期，該校為這些補習(xí)課程的學(xué)生組織了一場簡短的診斷測試，測試內(nèi)容涵蓋算術(shù)、分數(shù)、四舍五入、簡單代數(shù)等基礎(chǔ)知識點，共有100多名學(xué)生參加了測試。接下來我會展示部分測試題目以及對應(yīng)的正確率。需要說明的是，參加測試的這些學(xué)生，大多都已經(jīng)學(xué)完了預(yù)科微積分，甚至有些學(xué)生已經(jīng)學(xué)過微積分課程。大家可以看屏幕右側(cè)的數(shù)據(jù)，這些就是學(xué)生答對各題的百分比。

看著這些數(shù)據(jù)，著實令人憂心。更值得警惕的是，加州大學(xué)圣地亞哥分校并非普通院校，而是一所極具競爭力的頂尖大學(xué)。你會發(fā)現(xiàn)，就連 “7+2=？+6” 這樣簡單的題目，也只有 75% 的學(xué)生能夠答對；而到了分數(shù)運算題，正確率更是慘不忍睹；至于基礎(chǔ)代數(shù)和指數(shù)運算這類知識點，學(xué)生們的表現(xiàn)更是一塌糊涂。

這份報告的內(nèi)容非常詳實，研究者在報告中分析了造成這種現(xiàn)象的原因。但我想探討一個更宏觀的問題：為什么這些學(xué)生明明連初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)都沒打好，卻能順利從高中畢業(yè)，甚至考入大學(xué)？我認為加州大學(xué)圣地亞哥分校的情況并非個例，這至少是北美地區(qū)普遍存在的教育問題。如果我們非要等到學(xué)生進入大學(xué)，才去彌補他們從小學(xué)、初中就遺留下來的知識漏洞，那就真的為時已晚了。

學(xué)生理應(yīng)在中小學(xué)階段就掌握這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力，避免知識漏洞的不斷累積，因為基礎(chǔ)薄弱會對他們未來的學(xué)習(xí)和發(fā)展產(chǎn)生嚴重的連鎖反應(yīng)。建議大家找來這份報告仔細讀一讀，報告中還提出了針對性的解決方案。我之所以在演講中提到這個案例，就是想讓大家正視這個嚴峻的現(xiàn)實：許多學(xué)生即便高中畢業(yè)，數(shù)學(xué)水平也遠遠達不到基礎(chǔ)要求。

接下來我們看看基礎(chǔ)薄弱會引發(fā)哪些后續(xù)問題。學(xué)生進入大學(xué)后被劃入補習(xí)數(shù)學(xué)課程，會產(chǎn)生一系列嚴重的后果。最直接的影響是，補習(xí)課程的學(xué)生掛科率和退課率要高得多。即便他們勉強完成了補習(xí)課程，在后續(xù)高階數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中，表現(xiàn)也往往不盡如人意。這一現(xiàn)象并非只在加州大學(xué)圣地亞哥分校存在，相關(guān)研究已經(jīng)對此進行了充分驗證。

補習(xí)課程試圖彌補的知識漏洞，往往已經(jīng)大到難以填補的地步。要想熟練掌握這些缺失的基礎(chǔ)技能，需要大量的練習(xí)和鞏固 —— 這就像爬梯子，缺少的臺階必須一個個補齊，否則學(xué)生永遠無法在高階課程的學(xué)習(xí)中取得成功。此外，補習(xí)課程還會耗費學(xué)生大量的時間和金錢成本：他們可能需要多花幾個學(xué)期的時間，學(xué)習(xí)這些不計學(xué)分的補習(xí)課程，導(dǎo)致學(xué)業(yè)進度嚴重滯后，同時還要承擔(dān)額外的學(xué)費和生活費。

加州大學(xué)圣地亞哥分校的這份報告中還有這樣一句話，值得我們深思：“數(shù)據(jù)顯示，幾乎沒有任何被劃入‘?dāng)?shù)學(xué) 2’補習(xí)課程的學(xué)生，最終能夠順利完成工程學(xué)學(xué)位。” 可見，正是因為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，許多學(xué)生不得不放棄自己心儀的專業(yè)。這一現(xiàn)象反映出數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域存在深層次的結(jié)構(gòu)性問題，亟待我們解決。

更不用說那些因為數(shù)學(xué)成績不佳，連大學(xué)都沒能考上的學(xué)生，他們的人生發(fā)展道路，從一開始就因為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱而變得更加狹窄。因此，我始終認為，預(yù)防勝于補救。

接下來，我想梳理一下：

1、導(dǎo)致數(shù)學(xué)教育陷入困境的四個核心問題

我們必須追根溯源，思考這些問題的根本成因。

第一個問題是課程體系

一套優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)課程體系，應(yīng)當(dāng)具備清晰的內(nèi)容框架和完善的設(shè)計邏輯。除了課程評估之外，我會對其他三個問題展開詳細論述。

第二個問題是教師培養(yǎng)

教師需要具備扎實的專業(yè)素養(yǎng)，既要精通數(shù)學(xué)知識，又要掌握科學(xué)的教學(xué)方法。

第三個問題是教學(xué)方法

教學(xué)的核心目標(biāo)是幫助學(xué)生真正掌握知識，教學(xué)方法的選擇至關(guān)重要。

第四個問題是考核評估

通過科學(xué)的評估方式，檢驗學(xué)生是否真正掌握了應(yīng)具備的數(shù)學(xué)技能。

1.1 課程體系

我們先從課程體系說起。一套優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)課程體系，應(yīng)該是一份循序漸進、目標(biāo)明確的知識培養(yǎng)藍圖。它需要清晰界定學(xué)生在不同階段應(yīng)該掌握的具體內(nèi)容，避免模糊不清的教學(xué)目標(biāo)或空泛的能力要求 —— 否則教師會無從下手，家長也不清楚孩子應(yīng)該學(xué)什么。

1.1.1 循序漸進的知識培養(yǎng)藍圖

由于數(shù)學(xué)知識具有層級遞進性，內(nèi)容的編排順序至關(guān)重要。此外，課程體系還應(yīng)當(dāng)優(yōu)先保障對后續(xù)學(xué)習(xí)至關(guān)重要的核心內(nèi)容的教學(xué)。并非所有知識點的重要性都是均等的，有些數(shù)學(xué)內(nèi)容需要投入更多的時間和練習(xí)才能熟練掌握，因為它們是后續(xù)大部分知識點的基礎(chǔ)，比如分數(shù)運算。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)當(dāng)通過夯實數(shù)字運算、分數(shù)等基礎(chǔ)技能，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)做好鋪墊。如果低年級的基礎(chǔ)沒有打牢，學(xué)生在接觸代數(shù)時就會遭遇瓶頸。因此，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)大量學(xué)生連基礎(chǔ)技能和代數(shù)知識都掌握不好時，首先應(yīng)該反思的就是課程體系是否存在問題。

1.1.2 模糊的課程目標(biāo)和清晰的課程目標(biāo)之間的差異

下面我舉兩個例子，對比一下模糊的課程目標(biāo)和清晰的課程目標(biāo)之間的差異。這兩個例子分別來自蘇格蘭的 “卓越課程”（Curriculum for Excellence）和英格蘭的國家課程標(biāo)準(zhǔn)。大家可以先看一下這兩個案例。

第一個案例是蘇格蘭的課程目標(biāo)：“我能夠與他人交流想法，探索估算計算結(jié)果或解決問題的方法。” 這個目標(biāo)表述非常模糊，教師很難明確把握具體的教學(xué)方向，也不清楚應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生哪些具體能力。

第二個案例是英格蘭的課程目標(biāo)：“學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)會將任意數(shù)字四舍五入到最近的十、百或千位數(shù)。” 這個目標(biāo)就非常明確，清晰界定了學(xué)生需要掌握的具體數(shù)學(xué)技能，教師知道該教什么，也能通過考核檢驗學(xué)生是否真正學(xué)會了。

1.1.3 不宜推遲基礎(chǔ)知識點的教學(xué)

此外，我還發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象 —— 至少在加拿大，這種情況非常普遍 —— 一些地區(qū)的課程體系存在缺陷，它們會推遲核心知識點的教學(xué)時間，或是弱化核心知識點的教學(xué)要求，甚至直接刪除某些重要內(nèi)容。

例如，令人震驚的是，加拿大許多省份的學(xué)生要到七年級或八年級才開始學(xué)習(xí)分數(shù)運算，這就導(dǎo)致他們沒有足夠的時間去練習(xí)和鞏固這項關(guān)鍵技能。

在數(shù)學(xué)這種層級遞進的學(xué)科中，推遲基礎(chǔ)知識點的教學(xué)，意味著學(xué)生練習(xí)該技能的時間會大幅減少，進而導(dǎo)致他們在學(xué)習(xí)依賴這些基礎(chǔ)的高階知識點時，變得手足無措。

1.2 教師培養(yǎng)

接下來我們談?wù)?strong>教師培養(yǎng)的問題。大家可以先看一下屏幕上的內(nèi)容，稍后我會展開論述。首先我想強調(diào)的是，這絕不是在否定教師的努力和敬業(yè)精神。教師這份工作非常辛苦，也肩負著重大的社會責(zé)任，絕大多數(shù)教師都盡職盡責(zé)。我想探討的是一個結(jié)構(gòu)性問題，即我們的教師培養(yǎng)體系，是否為教師提供了足夠的支持，讓他們能夠勝任數(shù)學(xué)教學(xué)工作。畢竟，每一位教育工作者都應(yīng)該得到充分的資源和培訓(xùn)，以便更好地開展教學(xué)。

尤其是在小學(xué)至八年級階段 —— 我不確定歐洲各國的情況是否如此，但以加拿大的情況為例 —— 這個階段的教師大多是全科教師，需要教授所有學(xué)科。他們可能本身就沒有扎實的數(shù)學(xué)功底，甚至對數(shù)學(xué)教學(xué)存在畏難情緒。

如果再遇上一套模糊不清的課程體系，教師既不清楚應(yīng)該優(yōu)先教授哪些知識點，也不了解微積分等高階課程對基礎(chǔ)知識點的要求，那么在教學(xué)過程中，他們不僅難以判斷學(xué)生的認知誤區(qū)，更無法合理規(guī)劃教學(xué)重點。

畢竟，教師無法教授自己都不懂的知識；如果連教學(xué)重點都無法明確，那么教學(xué)質(zhì)量自然會大打折扣。

另一個問題在于，教師培養(yǎng)項目往往沒有優(yōu)先傳授那些經(jīng)過實踐驗證、能有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)效果的教學(xué)理論。稍后我會詳細展開這個話題。

我常常將這種情況稱為 “完美風(fēng)暴”：教師本身數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，面對的又是一套漏洞百出、目標(biāo)模糊的課程體系，同時還被要求采用效果不佳的教學(xué)方法 —— 多重不利因素疊加，最終導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果一落千丈。

1.3 教學(xué)方法

剛才我提到了教學(xué)理論，接下來我想深入探討一下教學(xué)方法的問題。

具體來說，就是當(dāng)前的教學(xué)方法與學(xué)生的認知規(guī)律之間的脫節(jié)，以及這種脫節(jié)的成因和具體表現(xiàn)。

當(dāng)前，許多數(shù)學(xué)教學(xué)理念都受到建構(gòu)主義（Constructivist Approaches）的影響。可能有些觀眾不太了解建構(gòu)主義，簡單來說，這種理論的核心觀點是：學(xué)生應(yīng)當(dāng)自主建構(gòu)知識體系，比如自主探索和總結(jié)運算方法。建構(gòu)主義催生了探究式學(xué)習(xí)（Inquiry-based Approaches）、發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)（Discovery-based Approaches）等教學(xué)模式，大家可能也聽過 “21 世紀(jì)學(xué)習(xí)法” 這類說法。

接下來我會通過幾張幻燈片，展示這種教學(xué)理念在實際課堂中的應(yīng)用。

影響數(shù)學(xué)教學(xué)方法的因素還有很多，比如教育者普遍希望培養(yǎng)學(xué)生的概念理解能力、問題解決能力，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)。我和所有教育者一樣，也希望實現(xiàn)這些目標(biāo) —— 作為一名數(shù)學(xué)家，我甚至比任何人都更看重這些目標(biāo)。我當(dāng)然希望學(xué)生能夠真正理解數(shù)學(xué)，能夠運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，能夠熱愛數(shù)學(xué)這門學(xué)科。

1.4 教學(xué)評估

1.4.1 概念理解

但問題在于，很多人存在一個誤區(qū)：他們認為要實現(xiàn)這些目標(biāo)，就必須減少教師的講授和學(xué)生的練習(xí)。此外，關(guān)于 “概念理解”，我發(fā)現(xiàn)存在很多認知偏差，說實話，我現(xiàn)在甚至不確定這個詞的準(zhǔn)確定義到底是什么。

接下來我會解釋，為什么這些初衷良好的教學(xué)方法，最終反而可能削弱學(xué)生的理解能力、問題解決能力和學(xué)習(xí)積極性。

下面我將具體分析這類教學(xué)方法在實際應(yīng)用中的表現(xiàn)。需要說明的是，這些只是我長期觀察到的一些現(xiàn)象，并非所有課堂都是如此。

大家可以先看一下這張幻燈片上的內(nèi)容。這類教學(xué)方法通常有以下特點：過分強調(diào)項目式學(xué)習(xí)、小組合作學(xué)習(xí)，或是依賴具象教具 —— 比如十進制積木、披薩模型等實物道具。這些教具在引入新概念時確實能起到輔助作用，但很多時候，教師會過度依賴這些工具，甚至將其作為常規(guī)的計算工具使用。

同時，這類教學(xué)更傾向于向?qū)W生展示多種解題策略，而非明確教授高效的標(biāo)準(zhǔn)算法。其核心理念是讓學(xué)生自主探索解題方法，或是從多種策略中自主選擇。結(jié)構(gòu)化的練習(xí)則往往被弱化，甚至被貼上 “死記硬背” 的標(biāo)簽，認為大量練習(xí)會阻礙學(xué)生的理解。

教學(xué)過程也常常采用 “自上而下” 的模式：從解決復(fù)雜問題入手，期望學(xué)生通過自主探索，自然而然地掌握相關(guān)的知識、技能和算法。此外，技術(shù)手段的使用也很普遍，試圖借助科技工具替代學(xué)生對基礎(chǔ)技能的熟練掌握。

教師的角色定位也發(fā)生了轉(zhuǎn)變，從傳統(tǒng)的 “講臺上傳道授業(yè)的智者”，變成了 “課堂旁引導(dǎo)探索的伙伴”。

平心而論，這些教學(xué)理念聽起來似乎不錯，但如果將其作為默認的、唯一的教學(xué)模式，尤其是在面對新手學(xué)習(xí)者或?qū)W習(xí)困難的學(xué)生時，就會產(chǎn)生嚴重的問題。

a) 加拿大的數(shù)學(xué)教材案例

我舉個具體的例子。這個例子來自加拿大一本非常流行的數(shù)學(xué)教材，當(dāng)然這種情況并非加拿大獨有，我在美國的教材中也見過類似的內(nèi)容。這個例子可以很好地說明，所謂的 “多種解題策略” 理念，是如何將簡單的基礎(chǔ)算術(shù)變得異常復(fù)雜的。

這個例子的教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)生計算兩位數(shù)乘法，以 21×13 為例，教材中介紹了三種解題方法。

第一種方法，是萊米用十進制積木演示的算法。他畫了一個 21×13 的矩形陣列，然后將其拆解為 2 個百、7 個十和 3 個一，最后相加得到結(jié)果 273。

這種方法看起來很直觀，似乎能幫助學(xué)生理解乘法的原理，但大家要注意，我們的教學(xué)對象是剛接觸乘法的新手學(xué)生。在進行實際計算之前，學(xué)生需要完成大量的認知工作，這會給他們帶來沉重的認知負擔(dān)。

但問題不止于此，教學(xué)過程并沒有就此結(jié)束。

第二種方法，是凱莎用方格紙演示的算法。萊米畫的是 21 行 13 列的矩形，而凱莎畫的是 13 行 21 列的矩形。她通過數(shù)方格的方式，得出結(jié)果為 60 加 3，最終也得到 273。

第三種方法，是塞繆爾不借助十進制積木和方格紙，直接運用分配律進行計算 —— 但教材并沒有明確指出這就是分配律。

學(xué)生被要求掌握所有這些方法，十進制積木等教具甚至被當(dāng)作常規(guī)計算工具使用。即便學(xué)生最終學(xué)習(xí)了標(biāo)準(zhǔn)的豎式乘法算法，也只是被當(dāng)作眾多算法中的一種，其高效性并沒有得到凸顯。

這種教學(xué)方式不僅耗時，還會給新手學(xué)生造成極大的認知負荷。

我之前提到了 “概念理解”，并給這個詞加上了引號，我認為問題的根源之一，就在于人們對 “概念理解” 的誤解，其二則是大家沒有意識到，這種教學(xué)方式會導(dǎo)致學(xué)生認知過載，最終什么也學(xué)不會。

接下來我想深入探討一下 “理解” 這個概念，我將其稱為

b) 對“理解”的誤解

首先，存在一種錯誤的二元對立觀點，即將概念理解與算法掌握對立起來。Hung Woo教授也會參與本系列講座，他曾寫過一篇非常精彩的文章，專門批判這種將概念理解與算法掌握對立的錯誤觀點。

很多人認為，教授算法就必然會犧牲概念理解。我自己也經(jīng)常因此受到指責(zé)：因為我主張學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握基礎(chǔ)技能，熟練運用算法，就有人批評我不重視概念理解。這種指責(zé)在我看來十分荒謬 —— 作為一名數(shù)學(xué)家，概念理解對我而言至關(guān)重要，這是我的核心工作。

但問題的關(guān)鍵不僅在于這種二元對立的錯誤觀點，更在于“概念理解” 這個術(shù)語本身就缺乏清晰的定義。沒有人能準(zhǔn)確說清它到底指什么，既然無法準(zhǔn)確定義，自然也就無法衡量學(xué)生是否達到了 “概念理解” 的目標(biāo)。最終，這個術(shù)語被等同于具象化的教學(xué)活動 —— 比如使用教具、畫圖、嘗試多種解題策略、自主探索學(xué)習(xí)等。

例如，有些人認為，學(xué)生必須能用三種不同的方法解題，或是能借助具象教具演示解題過程，才算達到了 “概念理解” 的水平。如果學(xué)生做不到這些，就被認為是缺乏概念理解。

此外，還有一種常見的誤區(qū)：認為學(xué)生必須先理解概念，再學(xué)習(xí)技能，而且要花費大量時間去 “理解概念”—— 這讓 “概念理解” 變成了一個復(fù)雜冗長的過程。

但我想強調(diào)的是，“先理解后技能” 的假設(shè)并不成立。

事實上，理解完全可以在掌握技能之后產(chǎn)生。就我個人的經(jīng)驗而言，當(dāng)學(xué)生通過大量練習(xí)熟練掌握算法之后，自然會逐漸發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，理解算法背后的原理。也就是說，理解可以滯后于技能的掌握。

在我看來，數(shù)學(xué)中的 “理解”，指的是學(xué)生能否準(zhǔn)確把握定義的內(nèi)涵，能否熟練運用定理，能否解釋算法的原理。而向?qū)W生解釋這些內(nèi)容，是教師的職責(zé)所在。數(shù)學(xué)中的每一個知識點都有其邏輯依據(jù)，絕非憑空而來，我們也不是在盲目地套用公式 —— 這一切都需要教師向?qū)W生講清楚。我認為，學(xué)生不必反復(fù)去復(fù)述這些原理，因為這對他們來說難度太大，而且正如我所說，理解可以在后續(xù)的練習(xí)中逐步形成。

c) 挪威的例子

我再舉一個例子，這個例子來自挪威2022年12月發(fā)表的一篇文章。我也接受了這篇文章的采訪，這是一次很有趣的經(jīng)歷。我姓斯托基，這是一個挪威姓氏，源自我的岳父 —— 他從挪威移民到了加拿大。不過現(xiàn)在我們的發(fā)音已經(jīng)和挪威本土的發(fā)音不太一樣了。

大家可以先看一下這篇文章的片段。文章中提到，研究者走訪了特隆赫姆市的一所小學(xué)二年級課堂，課堂上的問題是：“15+3 和 3+15 的結(jié)果是否相同？” 學(xué)生們圍繞這個問題，獨立或分組使用實物道具進行了一個半小時的探索。

授課教師表示，現(xiàn)在的教學(xué)方式和她上學(xué)時相比，已經(jīng)發(fā)生了翻天覆地的變化：“我們小時候?qū)W的是算法和規(guī)則，而現(xiàn)在，我們讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。”

但讓我感到擔(dān)憂的是文章的最后一句話：“2019 年的一項調(diào)查顯示，在四年級數(shù)學(xué)教師中，只有不到三成的教師表示，他們在大部分課堂上會向?qū)W生講解新的數(shù)學(xué)知識，或是教授具體的計算方法。”

這種現(xiàn)象正是建構(gòu)主義教學(xué)理念影響下的產(chǎn)物。而且，用一個半小時的時間來探索加法交換律，耗時實在太長了 —— 我能想到很多更高效的教學(xué)方法。

這就引出了一個概念 ——

d) 機會成本

大家可以先思考一下我寫在幻燈片上的內(nèi)容。

首先，回到剛才挪威課堂的例子：學(xué)生用一個半小時探索加法交換律，這段時間本可以用來做什么？如果課堂上充斥著這類簡單知識點的過度探索活動，學(xué)生就沒有足夠的時間進行練習(xí)。

大量的畫圖、解釋、嘗試多種策略、運用復(fù)雜教具的時間，都是以犧牲核心技能的練習(xí)時間為代價的。而要學(xué)好數(shù)學(xué)，練習(xí)是必不可少的，學(xué)生需要通過大量練習(xí)才能熟練掌握知識。

其次，這些過于復(fù)雜的解題方法和多種策略，會導(dǎo)致學(xué)生認知過載。學(xué)生還沒有掌握基礎(chǔ)技能，就要同時應(yīng)對圖表、分解步驟、語言解釋等多重任務(wù)，認知負擔(dān)可想而知。

如果缺乏清晰的直接教學(xué)或顯性教學(xué)，很多學(xué)生根本無法真正學(xué)會數(shù)學(xué)知識。當(dāng)然，確實有部分學(xué)生 —— 比如成績優(yōu)異的學(xué)生 —— 能夠通過自主探索學(xué)會知識，但對大多數(shù)學(xué)生而言，他們需要教師明確的指導(dǎo)，需要教師示范解題方法，需要充足的支持和練習(xí)。

在我看來，這種教學(xué)方式最終造成了大量教學(xué)時間的浪費，錯失了寶貴的學(xué)習(xí)機會。

我必須再次強調(diào)，這并非教師的過錯。我的孩子上學(xué)時，我就發(fā)現(xiàn)過類似的問題：有時候孩子在學(xué)校一整天，幾乎沒學(xué)到什么數(shù)學(xué)知識。我和丈夫都是數(shù)學(xué)家，所以我們會在家輔導(dǎo)孩子。但我不敢想象，如果沒有我們的輔導(dǎo)，孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會變成什么樣子。

正如我之前所說，基礎(chǔ)的知識漏洞不會一直停留在初始狀態(tài)，它們會逐年累積，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得越來越困難、越來越緩慢、越來越令人沮喪。

1.4.2 問題解決能力

前面我們討論了概念理解的問題，接下來談?wù)?strong>問題解決能力。

我們都希望學(xué)生具備解決問題的能力，而不僅僅是熟練掌握算法 —— 畢竟，學(xué)習(xí)算法的最終目的，是為了用它來解決實際問題。

很多人認為，培養(yǎng)問題解決能力的最佳方式，就是讓學(xué)生直接面對復(fù)雜問題。這個觀點本身沒錯，但有一個重要前提：學(xué)生必須具備解決問題所需的工具 —— 也就是扎實的基礎(chǔ)知識。

問題解決能力和批判性思維，并非脫離具體內(nèi)容的通用技能。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題解決能力，是高度依賴具體知識內(nèi)容的。

扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，首先能降低學(xué)生的認知負荷。

舉個例子，如果學(xué)生在解決一個問題時，需要計算 6×8，而他們并不知道 6×8=48，還要花時間去摸索計算方法，那么他們的注意力就會被分散，無法專注于解決核心問題，最終會落后于其他同學(xué)。

其次，基礎(chǔ)知識能為學(xué)生提供思考的素材，讓他們真正成為高效的問題解決者。

問題解決能力不是我們一開始就能擁有的，而是在學(xué)生掌握了足夠的知識和技能之后，才會逐漸形成的。知識就像是我們思考的引擎，沒有知識作為基礎(chǔ)，一切思考都無從談起。

教學(xué)層級理論（Instructional Hierarchy）

這并非我的個人觀點，而是我從教育心理學(xué)領(lǐng)域的朋友那里學(xué)到的理論 —— 也就是教學(xué)層級理論（Instructional Hierarchy）。大家可以先看一下這個理論的內(nèi)容，我會簡單解釋一下。

這個理論認為，無論任何人，學(xué)習(xí)任何新知識或技能，都要經(jīng)歷四個階段。這一規(guī)律適用于所有人，無論是大學(xué)生還是小學(xué)生，無論是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是學(xué)習(xí)游泳，都概莫能外。

我常用冰球運動來舉例 —— 因為我是加拿大人，這個例子在這里很容易被理解。

第一個階段——習(xí)得階段（Acquisition Stage）

在這個階段，學(xué)生剛開始接觸新知識或技能，會頻繁犯錯。比如學(xué)習(xí)滑冰時，學(xué)生穿上冰鞋后會不斷摔倒，需要成年人手把手教他們?nèi)绾伪３制胶狻W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是如此，學(xué)生需要教師的指導(dǎo)，需要清晰的顯性教學(xué)，需要大量的支持和及時的反饋。

經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，學(xué)生進入

第二個階段 ——準(zhǔn)確階段（Accuracy Stage）

此時，學(xué)生已經(jīng)能夠準(zhǔn)確完成任務(wù)，比如滑冰時不會再頻繁摔倒，做數(shù)學(xué)題時也能得出正確答案。但這個階段的問題是，學(xué)生的速度很慢，而且只能在特定的場景下完成任務(wù)。這時候就需要通過大量練習(xí)，幫助學(xué)生進入第三個階段。

第三個階段——流暢階段（Fluency Stage）

在這個階段，學(xué)生雖然能準(zhǔn)確完成任務(wù)，但速度較慢。練習(xí)的目標(biāo)就是讓學(xué)生的操作變得更快、更熟練，最終達到自動化的程度，就像本能反應(yīng)一樣。這就像滑冰時，學(xué)生雖然能站穩(wěn)，但動作還很笨拙，這時候還不能讓他們參加冰球比賽 —— 否則比賽肯定會一團糟。

當(dāng)學(xué)生達到流暢階段，既能準(zhǔn)確又能快速地完成任務(wù)之后，就會進入

第四個階段 ——適應(yīng)階段（Adaptation Stage）

學(xué)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)該都有這樣的經(jīng)歷：當(dāng)學(xué)生遇到一個全新的問題，超出了他們以往的學(xué)習(xí)范圍時，往往會不知所措。而適應(yīng)階段的目標(biāo)，就是讓學(xué)生學(xué)會在新的情境中運用所學(xué)知識，比如接觸不同類型的題目。

只有到了這個階段，學(xué)生才真正具備了創(chuàng)新解決問題的能力。也正是在這個階段，引入探究式學(xué)習(xí)等教學(xué)方法，才是合適的。

1.4.3 創(chuàng)造力

最后，我想談?wù)?strong>創(chuàng)造力。我的播客最近剛更新了一期節(jié)目，嘉賓是一位認知神經(jīng)科學(xué)家，我們聊到了創(chuàng)造力的話題。他問我：“你認為什么是創(chuàng)造力？”

他給出的答案是：創(chuàng)造力，就是將不同的知識碎片整合起來，創(chuàng)造出新的事物。數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)造力也是如此。打個比方，我不會下棋，如果現(xiàn)在讓我去下棋，我肯定下不好 —— 哪怕有人告訴我規(guī)則也不行。但經(jīng)驗豐富的棋手，能一眼看出棋局的規(guī)律和下一步的走法。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造力也是同理：當(dāng)你掌握了大量的數(shù)學(xué)知識，見過各種各樣的題型，做過足夠多的練習(xí)之后，你的腦海中就會形成一種直覺，能夠預(yù)判解題的思路，能夠?qū)⒉煌闹R模塊整合起來 —— 這就是數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。

因此，我們不能跳過基礎(chǔ)技能的學(xué)習(xí)，因為基礎(chǔ)技能是數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的前提。

1.4.4 學(xué)習(xí)積極性

我還想談?wù)?strong>學(xué)習(xí)積極性的問題。之前我提到，很多教育者希望激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。我和大家的想法一樣，但關(guān)鍵在于，激發(fā)興趣的方式并非是淡化數(shù)學(xué)知識，也不是開展那些幾乎不含數(shù)學(xué)內(nèi)容的項目式學(xué)習(xí)。

提升數(shù)學(xué)能力，才是激發(fā)學(xué)習(xí)積極性的根本途徑

當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得進步，感受到成就感時，他們自然會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣；而興趣又會促使他們投入更多時間學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進一步提升能力 —— 這是一個良性循環(huán)。

研究者的結(jié)論也印證了這一點：并非是興趣帶來了數(shù)學(xué)能力的提升，而是數(shù)學(xué)能力的提升，反過來激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，要讓學(xué)生更主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是幫助他們打好基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)能力。

關(guān)于教學(xué)方法，我最后再補充一點 ——

2、顯性教學(xué)（Explicit Instruction）

有時也被稱為直接教學(xué)（Direct Instruction）

顯性教學(xué)的作用至關(guān)重要。莎拉?鮑威爾教授也會參與本系列講座，她在顯性教學(xué)的研究領(lǐng)域有著深厚的造詣。

我想引用經(jīng)合組織（OECD）的安德里亞斯?施萊歇爾的一句話：“PISA 的一項最具爭議的研究結(jié)果顯示，教師主導(dǎo)的教學(xué)模式，比學(xué)生主導(dǎo)的學(xué)習(xí)模式，更能有效預(yù)測學(xué)生的學(xué)業(yè)成績。”

之前我們提到的那篇挪威文章也指出，只有不到三成的教師會在課堂上進行顯性教學(xué)。而 PISA 的研究數(shù)據(jù)一直顯示，無論是在東方還是西方，教師主導(dǎo)的教學(xué)模式都與學(xué)生的優(yōu)異成績密切相關(guān)。

當(dāng)然，這只是相關(guān)性數(shù)據(jù)，但實驗研究也得出了相同的結(jié)論：對新手學(xué)習(xí)者和學(xué)習(xí)困難的學(xué)生而言，通過示范、例題講解、練習(xí)和反饋等方式進行的顯性教學(xué)，效果通常優(yōu)于探究式學(xué)習(xí)。

需要明確的是，探究式學(xué)習(xí)并非毫無用處，它更適合在 “適應(yīng)階段” 使用。

2.1顯性教學(xué)的五個核心要素

為了讓大家更清楚顯性教學(xué)的內(nèi)涵，我總結(jié)了五個核心要素：

第一，教師示范。

教師用清晰簡潔的方式，向?qū)W生演示概念和解題方法。

第二，分解步驟。

將復(fù)雜的概念拆解成易于掌握的小步驟。比如之前提到的 21×13 的多種算法，就不是將內(nèi)容拆解成簡單步驟，反而增加了認知負擔(dān)。分解步驟的目的，就是為了降低學(xué)生的認知負荷，讓他們更容易理解和掌握。

第三，逐步撤去支持。

隨著學(xué)生能力的提升，教師逐漸減少指導(dǎo)，讓學(xué)生慢慢學(xué)會獨立完成任務(wù)。

第四，提供練習(xí)與反饋。

為學(xué)生創(chuàng)造練習(xí)機會，并及時給予針對性的反饋。

第五，設(shè)計有目的的練習(xí)。

通過精心設(shè)計的練習(xí)，幫助學(xué)生實現(xiàn)知識的融會貫通，最終達到精通的程度。

以上就是我對教學(xué)方法的一些看法。

2.2 數(shù)學(xué)教育改革案例

接下來，我想介紹兩個國家的數(shù)學(xué)教育改革案例，我認為這兩個案例非常有借鑒意義。

a) 英國

這張幻燈片展示的是英國學(xué)生在 TIMSS 測試中的成績。我個人認為，TIMSS 測試比 PISA 測試更能反映學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，因為它更側(cè)重于考查學(xué)生的課程內(nèi)容掌握情況，能更好地預(yù)測學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛力。

從數(shù)據(jù)中可以看到，英國學(xué)生的 TIMSS 成績呈上升趨勢。當(dāng)然，新冠疫情期間成績有小幅下滑 —— 這是意料之中的現(xiàn)象，圖中展示的應(yīng)該是九年級或五年級的成績。在其他很多國家成績下滑的大背景下，英國的表現(xiàn)十分亮眼，幾乎可以和一些東亞國家比肩，這一點非常值得關(guān)注。

另一個有趣的現(xiàn)象是英國和蘇格蘭的成績對比。圖中紅色代表蘇格蘭，藍色代表英國。可以看到，疫情期間兩地的成績都有所下滑，但在疫情之前，蘇格蘭的成績呈下降趨勢，而英國的成績則持續(xù)上升。從 PISA 排名來看，2009 年英國排名第 27 位，蘇格蘭排名第 21 位；到了 2022 年，英國躍升至第 11 位，而蘇格蘭則下滑至第 30 位。

為什么會出現(xiàn)這樣的差異？這就像一場天然的教育實驗。雖然我既不住在英國也不住在蘇格蘭，但我找到了一手資料 —— 我邀請了英國前學(xué)校事務(wù)大臣尼克?吉布參加我的播客節(jié)目，我問他：“英國到底做對了什么？”

英國和蘇格蘭在教育領(lǐng)域采取了截然不同的發(fā)展路徑，這也造就了截然不同的結(jié)果。尼克?吉布在他的著作《改革課堂》（Reforming Lessons）中詳細闡述了相關(guān)改革措施，我也拜讀了這本書。接下來我會分享他在播客中提到的，英國在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域推行的幾項關(guān)鍵改革。

第一，重視小學(xué)數(shù)學(xué)教育

這和我之前強調(diào)的觀點一致，小學(xué)數(shù)學(xué)是整個數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的層級遞進性決定了打好小學(xué)基礎(chǔ)的重要性。

第二，借鑒新加坡的課程體系

尼克?吉布曾親自到訪新加坡、上海和中國香港，考察當(dāng)?shù)氐臄?shù)學(xué)教學(xué)模式，并在英國推行了一套以知識為核心的清晰課程體系。相比之下，蘇格蘭采用的是基于能力的課程體系，這種體系和加拿大不列顛哥倫比亞省的課程類似，都存在目標(biāo)模糊的問題。

第三，開展教師交流項目

英國派遣教師前往上海學(xué)習(xí)，同時也邀請上海的教師來英國觀摩授課，近距離學(xué)習(xí)上海的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗。

第四，設(shè)立教育捐贈基金會（Education Endowment Foundation）

該基金會的主要職責(zé)是對各類教育研究進行評估篩選。當(dāng)前教育領(lǐng)域的一個普遍問題是，任何教學(xué)方法都被冠以 “基于研究” 的標(biāo)簽，但 “基于研究” 的定義卻缺乏統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，“基于研究” 通常意味著經(jīng)過了隨機對照試驗和重復(fù)驗證，可信度很高；但在教育領(lǐng)域，“基于研究” 有時甚至只是指一篇觀點文章。這就導(dǎo)致教師很難判斷，哪些教學(xué)方法才是真正有實證依據(jù)的。

還有一個典型的例子：有些教學(xué)方法聲稱 “基于研究”，但當(dāng)你去查閱相關(guān)研究時會發(fā)現(xiàn)，研究者根本沒有衡量該方法對數(shù)學(xué)成績的影響 —— 按理說，評估一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法是否有效，提升數(shù)學(xué)成績應(yīng)該是核心指標(biāo)，但他們卻只衡量了 “學(xué)習(xí)積極性” 這類難以量化的指標(biāo)。

尼克?吉布還提到了很多其他改革措施，這里我只列舉了幾個印象最深刻的。如果大家感興趣，可以去聽那期播客節(jié)目。

b)葡萄牙

我希望我的好朋友努諾?克雷多正在收看這場講座 —— 我是他的忠實粉絲，也邀請過他參加我的播客節(jié)目。努諾曾擔(dān)任葡萄牙的教育部長，他本人也是一名數(shù)學(xué)家 —— 我覺得這太棒了，或許讓數(shù)學(xué)家來擔(dān)任教育部長，就能解決很多數(shù)學(xué)教育的問題。

這張圖表的數(shù)據(jù)來自經(jīng)合組織，圖中藍色代表法國，綠色代表葡萄牙 —— 不知道為什么，經(jīng)合組織總是把法國作為參照國。從圖表中可以看到，葡萄牙學(xué)生的成績在一段時間內(nèi)有了顯著提升，之后又出現(xiàn)了較大幅度的下滑。

在播客節(jié)目中，努諾向我分享了葡萄牙的教育改革經(jīng)驗。和英國一樣，葡萄牙也推行了以知識為核心的課程體系，制定了清晰的教學(xué)目標(biāo)。努諾說，在改革之前，葡萄牙的教育過于強調(diào)項目式學(xué)習(xí)和公民教育等內(nèi)容。他還強調(diào)：“一切改革都始于一套優(yōu)質(zhì)的課程體系。優(yōu)質(zhì)的課程體系會明確教學(xué)目標(biāo)，告訴我們要去向何方；然后通過考核評估，檢驗這些目標(biāo)是否達成。”

此外，葡萄牙還為學(xué)習(xí)困難的學(xué)生提供了額外的輔導(dǎo)支持，致力于提升優(yōu)等生的成績，同時減少學(xué)困生的數(shù)量。這些改革措施和英國有很多相似之處。

在與尼克?吉布和努諾?克雷多的交流中，我還發(fā)現(xiàn)了一個共同點：他們都主動學(xué)習(xí)了基于實證的教育理論，尤其是認知心理學(xué)領(lǐng)域關(guān)于認知負荷的研究成果。

推薦大家兩本書：一本是埃德?赫希（Ed Hersh）的《我們需要的學(xué)校》（

The Schools We Need

Why Don't Students Like School

接下來我對今天的演講內(nèi)容做一個總結(jié)：

總結(jié)

第一，數(shù)學(xué)知識具有極強的層級遞進性，學(xué)生一旦缺失關(guān)鍵的基礎(chǔ)知識和技能，漏洞會隨著時間的推移不斷累積，后續(xù)學(xué)習(xí)會越發(fā)困難。

第二，扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)至關(guān)重要。基礎(chǔ)是解決問題的前提，是學(xué)習(xí)高階數(shù)學(xué)的基石；熟練掌握基礎(chǔ)技能能夠降低認知負荷，讓學(xué)生有更多精力投入高階思維活動。

第三，我們已經(jīng)知道了一些能夠有效提升數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的方法，包括：構(gòu)建清晰嚴謹?shù)恼n程體系、設(shè)計與課程目標(biāo)一致的考核評估方式、采用顯性教學(xué)法（尤其是針對新手學(xué)習(xí)者）。

第四，國際案例已經(jīng)證明，當(dāng)一個國家的教育系統(tǒng)有意識地推行這些改革措施時，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績能夠?qū)崿F(xiàn)大規(guī)模的提升。

我的演講到此結(jié)束，謝謝大家。現(xiàn)在我很樂意回答大家的問題。

主持人：謝謝安娜。好的，該從哪里開始提問呢？剛才的演講真是太精彩了，非常感謝你。我相信直播前的每一位觀眾，都和我一樣聽得津津有味。我特別喜歡你舉的英國和蘇格蘭的例子 —— 畢竟我是在英國工作的人，這個例子讓我很有共鳴。

好的，我們已經(jīng)收到了一些觀眾的提問，我稍后會逐一請安娜解答。首先再跟大家重申一下提問方式：我們已經(jīng)把谷歌表單的鏈接放在了視頻描述框里，就在大家觀看直播的 YouTube 頁面下方。由于今天 YouTube 的系統(tǒng)有些不穩(wěn)定，大家可能需要復(fù)制鏈接后在瀏覽器中打開。如果大家還有其他問題，歡迎繼續(xù)通過表單提交，我會在接下來的15分鐘左右，挑選一些問題請安娜解答。

現(xiàn)在我來看一下已經(jīng)收到的問題。第一個問題來自喬希，他希望安娜能

Q1進一步解釋 “問題解決能力并非獨立技能，而是依賴于具體知識內(nèi)容” 這一觀點，以及這個觀點的理論依據(jù)。

喬希的問題很好。我的意思是，要解決某個領(lǐng)域的問題，你必須掌握該領(lǐng)域的相關(guān)知識。問題解決能力并不能跨領(lǐng)域遷移 —— 比如，我擅長解決代數(shù)組合學(xué)領(lǐng)域的問題，但在泛函分析領(lǐng)域，我就無能為力。除非我去系統(tǒng)學(xué)習(xí)泛函分析的知識，否則我永遠無法解決該領(lǐng)域的問題。因此，問題解決能力具有很強的領(lǐng)域特異性，必須以該領(lǐng)域的知識為基礎(chǔ)。

喬希還提到，他之前看到的文獻認為，問題解決能力是一種可以通過練習(xí)獨立提升的技能，而且能夠跨學(xué)科、跨領(lǐng)域遷移。我不太認同這個觀點。

確實，問題解決能力的某些要素可能存在遷移性，但我認為，它絕不可能完全從一個領(lǐng)域遷移到另一個毫不相關(guān)的領(lǐng)域。

我完全同意你的看法。我認為，掌握知識是解決問題的門檻—— 如果連最基礎(chǔ)的知識都沒有，一切問題解決都無從談起。

謝謝喬希的提問。現(xiàn)在收到的問題越來越多了，我有點應(yīng)接不暇，但還是非常歡迎大家繼續(xù)提問。

下一個問題很有意思，有幾位觀眾的提問都圍繞這個主題。這個問題來自保羅 —— 他是一位退休的數(shù)學(xué)教師，抱歉我剛才誤把這個問題歸到了巴里名下，保羅和巴里如果還在觀看直播的話，非常抱歉。保羅的問題很長，核心是想請教：

Q2 對于九年級到十二年級已經(jīng)出現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱問題的學(xué)生，你認為最有效的幫扶措施是什么？

這個問題是老師們最常問我的，因為這確實是他們?nèi)粘＝虒W(xué)中面臨的最大困境 —— 很多高中生連乘法口訣都沒掌握好。我的建議是，必須針對性地彌補知識漏洞。可以給學(xué)生布置額外的練習(xí)任務(wù)，或者如果學(xué)校有資源教師，可以讓資源教師專門輔導(dǎo)這些學(xué)生，幫助他們補齊短板。

具體來說，首先要明確，學(xué)生要學(xué)習(xí)的高階知識點，需要哪些基礎(chǔ)技能作為支撐；然后通過診斷測試，找出學(xué)生的知識漏洞；最后針對性地進行輔導(dǎo)練習(xí)。

我在一所文理學(xué)院任教，我們的學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時，常常因為不會因式分解而遇到困難。針對這種情況，我會在講解微積分相關(guān)內(nèi)容之前，專門安排課時，讓學(xué)生集中練習(xí)因式分解。這是一個很實用的方法，可以幫助學(xué)生為學(xué)習(xí)新知識做好準(zhǔn)備。

另外，還要區(qū)分兩種情況：學(xué)生是從未掌握這些基礎(chǔ)技能，還是已經(jīng)遺忘了。如果是遺忘，那么只需要通過一些練習(xí)和簡單講解，就能幫助他們重新掌握；如果是從未掌握，那就需要更系統(tǒng)的輔導(dǎo)，比如提供微課視頻等學(xué)習(xí)資源，幫助他們從頭學(xué)起。

謝謝保羅的提問。回到知識漏洞的話題，下一個問題來自喬納森。他問：

Q3 既然數(shù)學(xué)具有極強的層級遞進性，那么我們該如何判斷學(xué)生的知識漏洞已經(jīng)嚴重到需要留級的程度？比如，分數(shù)運算能力直接關(guān)系到代數(shù)學(xué)習(xí)的成敗，如果一個學(xué)生連分數(shù)運算都不會，我們是否應(yīng)該讓他留級，直到他掌握這項技能？

喬納森的問題核心是，是否應(yīng)該通過留級的方式，讓學(xué)生補齊知識漏洞。

在加拿大，我們幾乎不會讓學(xué)生留級，這種做法在社會文化層面是不被接受的。所以我的觀點是，我們的目標(biāo)應(yīng)該是及時發(fā)現(xiàn)并彌補漏洞，而不是等到漏洞大到無法彌補時，再考慮留級。只要干預(yù)及時，方法得當(dāng)，絕大多數(shù)知識漏洞都是可以彌補的。

但問題在于，如果學(xué)生連基礎(chǔ)技能都沒掌握，他們根本無法理解高階知識，更談不上解決相關(guān)問題。針對這種情況，我認為彈性分組教學(xué)是一個很好的方法。讓存在相同知識漏洞的學(xué)生組成一個小組，接受針對性的輔導(dǎo)，幫助他們盡快跟上教學(xué)進度，進入更高水平的班級學(xué)習(xí)。

此外，在某個階段之后，實施分層教學(xué)也是很有必要的。我不太確定留級是否是最佳方案，但如果學(xué)生的知識漏洞確實非常嚴重，留級或許是一個合理的選擇。

在九年級到十二年級階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)水平差距會變得非常大，如果將所有學(xué)生放在同一個班級上課，教學(xué)效果會大打折扣。這時候分層教學(xué)的優(yōu)勢就顯現(xiàn)出來了。你們英國把這種教學(xué)模式叫做什么？

我們稱之為 “按能力分班”（setting）。我記得我11歲的時候，學(xué)校就開始按能力分班了 —— 在英國的教育體系中，對應(yīng)的是七年級，相當(dāng)于美國的八年級。

沒錯，這個階段正好是學(xué)生從小學(xué)升入中學(xué)，從全科教師授課轉(zhuǎn)向分科教師授課的關(guān)鍵時期。在這之前，可以在班級內(nèi)部實施彈性分組，針對學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)進行輔導(dǎo)，幫助他們提升能力，為后續(xù)的分層教學(xué)做好準(zhǔn)備。

下一個問題來自凱利，她的例子很有趣。凱利說，

Q4 在柔道等體育項目中，大家都會讓最優(yōu)秀的教練去指導(dǎo)年紀(jì)最小的孩子。那么在數(shù)學(xué)教育中，我們是否也應(yīng)該讓最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師去教授低年級學(xué)生？

這個想法非常好，而且完全具備可行性 —— 我們沒有任何理由不這么做。但從現(xiàn)實角度來看，一個頂尖的數(shù)學(xué)家，是否愿意去教小學(xué)生呢？這可能是一個需要考慮的問題。

就我個人而言，我非常喜歡教低年級學(xué)生。正如我之前提到的，我開辦了一個針對四到六年級學(xué)生的課后數(shù)學(xué)項目。我喜歡教小學(xué)生的原因是，他們對數(shù)學(xué)充滿了好奇心和熱情。而到了大學(xué)階段，很多學(xué)生是因為專業(yè)要求才不得不學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，他們本身對數(shù)學(xué)并沒有興趣。作為教師，我們需要花費大量精力去激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

但小學(xué)生不一樣，他們就像一張白紙，對數(shù)學(xué)充滿了向往。不過你說得對，確實可能存在這樣的問題：很多數(shù)學(xué)水平很高的人，并不愿意去小學(xué)任教。

凱利的問題還有后半部分：我們

Q5 是否應(yīng)該通過提高薪資待遇，吸引優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才投身小學(xué)教育？

沒錯，提高薪資待遇，絕對是一個有效的激勵手段。

下一個問題來自嚴，他是一位學(xué)校管理者。他問：你認為，

Q6 基于實證的教學(xué)方法和以知識為核心的課程體系，是否有可能在全球范圍內(nèi)推廣？教育部門是否會接受這些理念，還是說會面臨強烈的阻力？

你在演講中提到了很多政策層面的內(nèi)容，這個問題很有探討價值。

這個問題問得很好。在演講中，我確實提到了不少政策相關(guān)的內(nèi)容，也看到了一些積極的趨勢。比如在瑞典，我邀請了一位教育學(xué)院的教授參加我的播客，他提到，瑞典即將在教師培養(yǎng)項目中，強制要求納入認知負荷等認知科學(xué)原理的教學(xué)內(nèi)容。這是一個非常積極的信號。

澳大利亞也出現(xiàn)了很多積極的改革動向。我希望這些理念能夠在全球范圍內(nèi)得到推廣。如果教師培養(yǎng)項目能夠系統(tǒng)地傳授這些基于實證的教學(xué)理論，那將是教育領(lǐng)域的一大進步。

最后一個問題，正好作為今天問答環(huán)節(jié)的收尾。這個問題還是來自不丹的觀眾 —— 他之前問了那個 “如果只能改變一件事” 的有趣問題。他的第二個問題是：你認為，

Q7 一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師和一名卓越的數(shù)學(xué)教師，最大的區(qū)別是什么？

這個問題很有意思。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師和卓越的數(shù)學(xué)教師，差距在哪里？

我認為，一名卓越的數(shù)學(xué)教師，首先必須

1、精通數(shù)學(xué)知識，而且要了解所教內(nèi)容與后續(xù)高階知識的關(guān)聯(lián) —— 這樣才能明確教學(xué)重點

當(dāng)然，我并不是說，非數(shù)學(xué)專業(yè)出身的教師就無法成為優(yōu)秀的教師。優(yōu)質(zhì)的教材和教學(xué)資源，能夠為教師提供很大的幫助，彌補他們專業(yè)知識的不足。

其次，卓越的教師必須

2、對數(shù)學(xué)充滿熱情

這種熱情是會傳染的，能夠感染學(xué)生，讓學(xué)生也愛上數(shù)學(xué)。我們都希望自己的老師是真正熱愛所教科目，而不是僅僅把教書當(dāng)作一份工作。

第三，卓越的教師必須

3、掌握科學(xué)的教學(xué)方法

他們懂得如何將復(fù)雜的知識拆解成簡單的步驟，懂得如何搭建教學(xué)支架，如何進行示范教學(xué)，如何提供及時的反饋。他們的課堂互動性很強，不是教師單方面的灌輸，而是師生之間的雙向交流。他們會通過各種方式，持續(xù)檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，確保學(xué)生真正掌握了知識。

我剛才還想到了一點，現(xiàn)在突然忘了…… 哦，想起來了！

第四，卓越的教師會

4、關(guān)注每一位學(xué)生

他們既關(guān)心學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，也關(guān)心成績優(yōu)異的學(xué)生。很多時候，我們過于關(guān)注學(xué)困生，卻忽略了優(yōu)等生的需求 —— 優(yōu)等生同樣需要額外的挑戰(zhàn)，才能不斷進步。

沒錯，我完全同意 “熱情” 這一點。作為一名教師，我深有體會。

非常感謝安娜的精彩分享。也感謝所有觀眾的參與和提問。我看到還有很多問題沒有來得及解答，安娜表示，大家可以通過郵件和她聯(lián)系，她可能需要幾天時間來回復(fù)，但一定會認真回答每一個問題。

本場講座的完整視頻 —— 包括今天的問答環(huán)節(jié) —— 稍后會經(jīng)過剪輯（去掉開頭一些尷尬的沉默片段），在YouTube上永久發(fā)布。

我們的下一場講座將在四到五周后舉行，我快速看一下日歷 —— 是 2 月 13 日。歡迎大家屆時繼續(xù)收看本系列講座的第二講。

再次感謝大家的參與，也再次感謝安娜帶來的精彩演講。相信和我一樣，大家都受益匪淺。我們下次講座再見！

參考資料

https://euromathsoc.org/news/ems-lecture-series-on-mathematics-education-190

https://www.youtube.com/watch?v=bguwdtkXndA&t=9s

https://www.annastokke.com

https://www.youtube.com/watch?v=OE8AHCHvuX0

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