期末來了：《微分方程》求解思路方法與內(nèi)容大盤點

一、 一階微分方程 ( )

核心思路：識別類型 變形 套公式/積分

1. 可分離變量方程

• 形式：

• 解法：兩邊同時積分

1. 齊次方程

• 形式：

• 解法：

  (1)令

  (2)代入原方程，化為可分離變量方程：

3.一階線性微分方程

• 形式：

• 解法（通解公式）：

4.伯努利方程 (Bernoulli)

• 形式：

• 解法：

  (1)兩邊同除 ：

  (2)換元：令 ，則

  (3)化為一階線性方程求解 ，最后回代。

5.全微分方程(一般高數(shù)下曲線積分部分討論)

• 形式：

• 判定：

• 解法：湊全微分 或利用積分與路徑無關(guān)沿折線積分。

核心思路：通過換元，把高階降為低階

1.型

• 解法：兩邊連續(xù)積分 次。

2.型（缺 ）

• 解法：

  (1)令 ，則

  (2)原方程變?yōu)? （關(guān)于 的一階方程）

  (3)求出 后，再由 求 。

3.型（缺 ）

• 解法：

  (1)令 ，則（這是關(guān)鍵！）

  (2)原方程變?yōu)? （關(guān)于 的一階方程）

  (3)求出 后，分離變量 再積分。

形式：

1. 齊次方程 ( ) 求解步驟

(1)寫出特征方程：

(2)求特征根 ，根據(jù)判別式 分類：

• (兩不等實根)：

• (兩相等實根)：

• (共軛復(fù)根 )：

2. 非齊次方程 ( ) 求解步驟

通解結(jié)構(gòu)： (對應(yīng)齊次通解) (特解). 待定系數(shù)法求特解 ：

類型 I：

設(shè) , 的取值：看 是不是對應(yīng)齊次線性方程的特征根。

• 不是特征根

• 是單根

• 是重根

類型 II： ,

設(shè) （ ）, 的取值：看 是不是特征根。

• 不是

3.歐拉方程

• 形式：

• 解法：

  (1)換元：令 或 ，則

(2)化為常系數(shù)的線性方程求解 ，最后回代 。

1、如果微分方程不具有以上結(jié)構(gòu)，則通過改寫微分方程，如同齊次方程、伯努利方程和歐拉方程，通過換元轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程求解，或者通過交換因變量與自變量的地位，即視當(dāng)前方程的因變量（函數(shù)符號）為自變量，自變量為因變量來考察方程的結(jié)構(gòu)探索期求解思路與方法。

2、對于二階變系數(shù)線性微分方程，一般使用待定函數(shù)法求其通解，一般是在求得（或已知）齊次線性微分方程一個特解的基礎(chǔ)上，設(shè)所求解為該特解乘以各待定函數(shù)u(x)后，代入原方程即可直接求得通解。

3、線性微分方程解的五個基本結(jié)構(gòu)性質(zhì)

• 性質(zhì)1如果函數(shù) 與 是方程 的兩個解，則 也是它的解，其中 是任意常數(shù)．

• 性質(zhì)2如果函數(shù) 與 是方程 的兩個線性無關(guān)的解，則 也是它的解，其中 是任意常數(shù)．

  注：如果兩個函數(shù)相除恒為常數(shù)，則兩個函數(shù)線性相關(guān)；如果兩個函數(shù)相除為函數(shù)，則兩個函數(shù)線性無關(guān)。

• 性質(zhì)3設(shè) 是二階非齊次線性方程

的一個特解． 是其對應(yīng)的齊次方程 的通解，則 是二階非齊次線性微分方程 的通解．

• 性質(zhì)4設(shè) , 是二階非齊次線性方程

的兩個特解，則 是其對應(yīng)的齊次方程 的解．

• 性質(zhì)5設(shè) 與 分別是方程

的特解，則 是非齊次線性方程

的解。

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