貝葉斯推斷在量子領(lǐng)域的改造

貝葉斯推斷是經(jīng)典概率論與統(tǒng)計學(xué)中最強有力的工具之一。它為我們在獲得新證據(jù)時提供了一種系統(tǒng)的方法：在更新信念的過程中，先驗期望應(yīng)盡量少地被修改，只保留新數(shù)據(jù)所要求的必要變化。這個思想——最小變化原理(minimal change principle)——可以被視為貝葉斯法則在哲學(xué)與數(shù)學(xué)上的基石。在經(jīng)典情境中，人們甚至能夠通過最小化某種散度來推導(dǎo)出貝葉斯更新規(guī)則。

然而，將這一邏輯轉(zhuǎn)移到量子領(lǐng)域卻面臨挑戰(zhàn)。量子態(tài)并不是單純的概率分布，而是由希爾伯特空間上的密度算符表示；量子動力學(xué)也不是普通的條件概率，而是由完全正、跡保持（CPTP）的量子通道來描述。因此，如何在量子場景中定義一種合理的“量子貝葉斯更新規(guī)則”，遠(yuǎn)比經(jīng)典情況復(fù)雜。盡管已有不少候選方案被提出，但由于缺乏統(tǒng)一的理據(jù)，它們并未形成普遍共識。

最近發(fā)表在PRL的一篇論文表明，如果在量子背景下合理地重新表述最小變化原則，它將自然地導(dǎo)出Petz 轉(zhuǎn)置映射。這不僅為 Petz 映射提供了一個清晰的操作學(xué)解釋，也為量子貝葉斯更新奠定了統(tǒng)一的框架。

經(jīng)典與量子語境下的最小變化原理

在經(jīng)典的概率論中，最小變化原理（也被稱為最大熵或最小信息增益原理）指出，當(dāng)我們根據(jù)新信息更新一個概率分布時，我們應(yīng)該選擇那個與原始分布“最接近”的新分布。這種“接近度”是用Kullback-Leibler（KL）散度，或稱相對熵，來衡量的。這個原則確保了我們只納入新信息，不多不少，從而避免引入虛假假設(shè)或偏見。例如，如果我們得知一個隨機變量的平均值變了，我們就會找到那個既符合新平均值、又與舊分布的KL散度最小的新概率分布。由此得到的結(jié)果就是我們更新后的信念。

這篇論文將這一強大的思想推廣到了量子領(lǐng)域。在這里，經(jīng)典的概率分布被量子態(tài)（用密度矩陣表示）取代，而KL散度被量子相對熵取代。量子相對熵 S(ρ∣∣σ)=Tr(ρlogρ)?Tr(ρlogσ) 用來衡量兩個量子態(tài) ρ 和 σ 之間的可區(qū)分性。量子語境下的最小變化原理要求：當(dāng)獲得關(guān)于量子系統(tǒng)的新信息時，我們應(yīng)該通過尋找一個新狀態(tài)來更新它，這個新狀態(tài)在與舊狀態(tài)的量子相對熵最小化的同時，必須與新信息保持一致。這個看似簡單的優(yōu)化問題成為了揭示量子動力學(xué)基本規(guī)則的關(guān)鍵。

推導(dǎo)量子貝葉斯規(guī)則

最小變化原理的第一個也是最直接的應(yīng)用是推導(dǎo)出量子貝葉斯規(guī)則。在經(jīng)典推斷中，貝葉斯定理告訴我們?nèi)绾胃鶕?jù)新證據(jù)更新對一個假設(shè)的先驗信念。在量子世界里，這相當(dāng)于在執(zhí)行一次測量后更新一個量子態(tài)。量子測量是一個從量子系統(tǒng)提取經(jīng)典信息的過程，結(jié)果是系統(tǒng)的狀態(tài)“坍縮”或發(fā)生改變。

讓我們考慮一個先驗量子態(tài)ρ。然后我們進行一次測量，由一組測量算符 {Mk} 表示，其中每個Mk對應(yīng)一個可能的測量結(jié)果k。當(dāng)觀察到結(jié)果k時，量子貝葉斯規(guī)則提供了更新后的（后驗）狀態(tài)ρk的公式。這篇論文表明，這個公式正是以下受約束優(yōu)化問題的解：

找到一個新狀態(tài)ρnew，使其最小化 S(ρnew∣∣ρ)，同時滿足 ρnew 產(chǎn)生正確的測量結(jié)果統(tǒng)計。這個優(yōu)化的解正是Lüders規(guī)則（一種常見的量子貝葉斯規(guī)則形式）：

這個優(yōu)雅的推導(dǎo)意義重大，因為它將Lüders規(guī)則的基礎(chǔ)從一個臨時的假設(shè)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€更深層、更直觀的邏輯推斷原則。它表明，Lüders規(guī)則是更新量子態(tài)最理性的方式，因為它在容納新信息的同時，對我們知識狀態(tài)做出了最小可能的改變。

揭示Petz轉(zhuǎn)置映射

雖然量子貝葉斯規(guī)則處理測量后的狀態(tài)更新問題，但Petz轉(zhuǎn)置映射則處理一個不同但相關(guān)的問題：量子信道的“逆轉(zhuǎn)”。一個量子信道，由一個完全正、保跡（CPTP）映射 E 表示，描述了量子態(tài)如何隨時間演化，例如由于與環(huán)境的相互作用。Petz映射 E? 是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造，它在某種意義上“反轉(zhuǎn)”了這個過程。它接收信道的輸出狀態(tài)，并將其映射回輸入狀態(tài)，這在量子糾錯和狀態(tài)恢復(fù)等領(lǐng)域是一個至關(guān)重要的工具。

這篇論文證明，Petz映射也可以從最小變化原理中推導(dǎo)出來。假設(shè)我們有一個量子信道 E，它將輸入態(tài) ρ 映射到輸出態(tài) σ=E(ρ)。現(xiàn)在，如果我們知道了輸出態(tài) σ，我們想找到對原始輸入態(tài) ρ 的最佳猜測。這是一個“反演”問題。最小變化原理建議，我們應(yīng)該選擇“最可能”的輸入態(tài)，當(dāng)它通過信道 E 后，產(chǎn)生的輸出態(tài)與我們觀察到的輸出態(tài)“最接近”。

更正式地說，我們尋找一個映射 R（我們的反向信道），當(dāng)它應(yīng)用于輸出態(tài) σ 時，能夠最小化恢復(fù)態(tài) R(σ) 與真實輸入態(tài) ρ 之間的距離。通過將這個問題框架化為量子相對熵的最小化（特別是涉及輸入和輸出系統(tǒng)的聯(lián)合狀態(tài)），作者們證明了最優(yōu)的“反向”映射正是Petz轉(zhuǎn)置映射。

這個推導(dǎo)將“反演”信道的問題與最小化信息損失的原理聯(lián)系起來。因此，Petz映射作為最優(yōu)的恢復(fù)操作而出現(xiàn)，它是在信道輸出的約束下，與原始輸入態(tài)“變化最小”的操作。

結(jié)論：一次優(yōu)雅的綜合

這篇論文代表了信息論和量子力學(xué)思想的一次深刻綜合。通過證明量子貝葉斯規(guī)則和Petz轉(zhuǎn)置映射都可以從相同的最小變化原理中推導(dǎo)出來，作者們?yōu)榱孔有畔⒅凶钪匾膬煞N操作提供了統(tǒng)一且深刻的視角。這項工作不僅為這些規(guī)則提供了堅實的理論基礎(chǔ)，也凸顯了使用信息論原理作為理解量子力學(xué)定律的指導(dǎo)框架的力量。它將復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具從臨時的規(guī)則轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€優(yōu)雅而直觀的原則的自然結(jié)果：面對新信息，我們應(yīng)該總是對我們的知識狀態(tài)做出最小可能的改變。這種統(tǒng)一的觀點為探索量子計算和量子信息科學(xué)未來的挑戰(zhàn)提供了一個強大的視角。