量子力學原理，一本給自學者的教科書

《量子力學原理（第2版）》是一本系統闡述量子力學基礎理論及其數學框架的經典教材。本書以嚴謹的公理化方法為核心，強調從基本公設出發構建量子力學理論體系，同時注重數學工具與物理概念的緊密結合。

▲《量子力學原理》作者、耶魯大學物理學教授拉馬穆爾蒂·尚卡爾（Ramamurti Shankar）。圖源：耶魯大學

拉馬穆爾蒂·尚卡爾｜ 撰文

發表和死亡。

——喬爾丹諾 · 布魯諾（Giordano Bruno）

考慮到量子力學方面已經存在的書籍數量之多，人們會認為公眾還需要再多一本嗎？比如，就像最新版的“積分表”那樣。但這并沒有阻止我（就像沒有阻止我的前輩那樣）嘗試傳播我自己版本的關于應該如何教授量子力學的方法。這里要介紹的方法（稍候描述）最早是在1976年夏天在哈佛給一群大學生試講過，在 1977年夏天再一次進行試講，最近在耶魯大學給大學生（1977—1978）和研究生（1978 —1979）就這一主題上了一年的課。在所有情況下，結果都非常令人滿意，因為學生們似乎已經很好地學懂了這門學科，并且喜歡這種講解方式。事實上，正是他們的熱情的反應和鼓勵使我相信我的方法是正確的，這促進了我寫這本書的決心。

本書的基本思路是在介紹了一些必要的預備知識后，從一些公設出發來展開這一主題。現在，大多數人都會同意，任何一門已經發展到可以減少到少數幾個公設的學科，最好的講授它的方法就是從這些公設開始，因為這種方法能讓學生們充分的理解理論的基礎及其應用。但他們也會爭辯說，雖然在狹義相對論或力學的情況下，這樣做挺好，但一個典型的即將學習量子力學的學生很少熟悉用來表述這些公設的數學語言。我同意這些人的看法，即這個問題的確存在，但我的信念不同，我認為這個問題應該而且能夠克服。本書正是在這方面的一次嘗試。

本書從相當長的一章開始。這一章假設學生已經知道關于矢量和矩陣的簡單思想，矢量空間的相關數學是在此基礎上發展出來的。我認為其嚴格的程度是要使學生成為一名能夠應用量子力學的人所必須達到的。這一章通常需要 6 到 8 個課時，其中充滿了物理方面的例子，以免學生在等待“真正的物理”時變得過于煩躁不安。由于引入的這些數學遲早都要講，我寧愿早一點，因為這樣，在學生們掌握了這些數學以后，就可以全神貫注地學習量子理論，而不必同時花費精力于數學定理。此外，通過把數學定理與物理公設分離開來，任何可能的混淆都可以被盡早消除。

緊接著這一章的是關于經典力學的一章，其中較為深入地展示了拉格朗日量和哈密頓形式。涵蓋的內容多少要由教師來決定，學生們對這些問題的了解越多，就越能理解經典力學和量子力學之間的聯系。第 3 章簡要研究一些揭示經典力學不足的理想實驗，并給出了對量子力學一些朦朧的感覺。

在訓練和激勵了學生之后，我現在給他們提供了一些一維單粒子量子力學的公設。這里，我用“公設”（postulate）一詞來表示“那些不能從純數學或邏輯推理中推導出來的東西，并且給定它們就可以表述和解決量子力學問題，并解釋得到的結果”。這不是真正的公理主義者（axiomatist）使用這個詞時所指的意思。例如，在真正的公理主義者僅僅公設動力學變量是由希爾伯特空間算符給出的地方，我會添加這個算符的身份證明，即指定表示坐標和動量的算符（從這些算符可以構建其他的算符）。同樣，我也不會止于這樣的說法，即有一個哈密頓量算符 H，它通過方程 i??|Ψ?/?t = H|Ψ? 支配時間演化。我會說，H 可以通過把經典的哈密頓量中的x 和 p 替換成相應的算符得到。當我們發展到更多自由度的系統時，無論是否有經典的對應，更普遍的公理都更容易存活下來，但是只給出這些，學生們就不會知道如何計算諸如諧振子譜這樣的東西。當然，現在我們可以嘗試完成“推導”這些算符的任務，但是要做到這一點，我們不得不訴諸這些公設的想法本身。（“推導”薛定諤方程也是如此。）隨著我們這樣做下去，這些公設就都會被推廣到更多的自由度上，然而完全是出于教學的原因，這些推廣被延后了。也許，當學生們讀完這本書后，他們可以從具體的算符作業中解脫出來，把量子力學看作是一種遵從某些公設的（在嚴格的術語意義上）一般的數學形式。

在第 4 章中，緊跟一些公設之后，我們同樣將對此進行了長篇幅的討論，并列舉了許多來自三維假想的希爾伯特空間的例子。盡管如此，學生們會發現這還是很難。只有當他們繼續前行，看到本書的其余部分反復使用這些公設設定問題和解釋結果，他們才會理解如何玩轉量子力學。人們通常希望他們畢業后能獨立地做這件事。我認為，從長遠來看，任何緩和這種初始沖擊的嘗試都會適得其反。

第 5 章討論一維標準問題。值得一提的是，階梯勢的散射是用波包方法來處理的。如果這個子課題在這個階段顯得太難了，老師可以決定在第 7 章（簡諧振子）后，也即當學生們獲得更多的經驗之后，再回到它。但我認為，學生們遲早、也必須熟悉散射過程的這種處理。

經典極限是下一章的主題。我們接下來對諧振子進行了詳細的討論。這是第一個現實的問題，老師可能會急于盡快解決它。如果老師愿意，他或她可以在討論諧振子之后再討論經典極限。

接下來，我們討論費曼提出的路徑積分公式。考慮到它所提供的直觀理解，以及它的優雅性（更別提它能在幾分鐘內給出一類問題的完整的傳播子了），它在如此多的書中被遺漏是很難理解的。雖然實際計算路徑積分很難（這里提供了一個例子），但將傳播子表示為來自不同路徑振幅之和的概念相當簡單。對于統計力學和場論工作者來說，這一觀點的重要性日益明顯。我認為應該盡一切努力在本課程中至少包括本章的前三節（或前五節）。

在第一近似下，其余章節的內容都是標準的。當然，寫作風格和具體主題都是本書作者特有的。例如，有整整一章（第 11 章）專門討論了對稱性及其后果。關于氫原子的一章還包含了如何從一些助記符開始進行數值估算的一節。第 15 章是關于角動量的相加，還包含了一節關于如何理解氫原子能譜和各向同性諧振子譜中的“偶然”簡并。在與含時微擾論相關的第 18 章討論了輻射場的量子化問題。最后一章（第 20 章）對狄拉克方程的處理旨在闡明電子自旋、磁矩和自旋軌道相互作用等在前幾章中以一種特別的方式引入的問題，它們從狄拉克方程中以一種連貫的整體出現，同時也讓學生們對未來更高等的問題有一個粗淺的印象。本章還解釋了費曼如何（以一種適用于玻色子和費米子的方式）解決負能解的問題。

這本書是寫給誰的？

在編寫這本書時，我針對的是那些試圖自學這門課程的學生，也就是說，我盡可能讓這本書自成體系，其中包括大量習題和其中大部分習題的答案，并討論了學生在學習這門課程時遇到的幾個棘手問題。但我知道，在實踐中，這本書最有可能被用作課堂教材。這里有足夠的材料用于一整年的研究生課程。然而，把它改編為適用于一年的本科課程是相當容易的。在不失連貫性的情況下可以省略的幾個章節也被標明了。如本序言前面所述，主題的講授順序也可以改變。我認為最好的辦法是讓老師瀏覽一下這本書，并根據他們的備課水平和目標，為他或她的班級制定課程計劃。當然，如果老師不贊同這里所主張的廣泛理念，即首先是數學訓練，然后是從一些公設出發展開主題，這本書就不會特別有用。對于那些認為這一方法原則上沒有問題，但不會在實踐中發揮作用的教師，我重申，不只是我，其他的老師也都發現這種做法行之有效。

這本書也可供非物理學專業的讀者使用。（我發現它也很適合我的班上主修化學專業的學生。）雖然我是為對該主題毫不熟悉的學生寫的這本書，但他們以前對該主題有過任何了解只會更為有益。

最后，我邀請教師和學生都能向我提出任何改進的建議，無論它們是教學方面的，還是關于內容或者印刷錯誤的。

作者簡介：

拉馬穆爾蒂·尚卡爾（Ramamurti Shankar，1947年4月28日生），美國物理學家，耶魯大學吉布斯講席教授，美國人文與科學院院士。1969年本科畢業于印度理工學院，1974年在加州大學伯克利分校獲得理論物理學博士學位。在哈佛大學擔任三年初級研究員后，他于1977年以吉布斯物理學講師身份開啟耶魯教職生涯，1988年晉升正教授，并于2001至2007年間擔任物理系主任，其研究聚焦于理論凝聚態物理與量子場論領域。2009年，美國物理學會授予尚卡爾朱利葉斯·埃德加·利林菲爾德獎（Julius Edgar Lilienfeld Prize）。其教學貢獻獲耶魯大學哈伍德·F. 伯恩斯/理查德·B. 休厄爾教學獎（Harwood F. Byrnes/Richard B. Sewall Teaching Prize）表彰。

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書名：量子力學原理 第2版

?♂? 作者：［美］拉馬穆爾蒂·尚卡爾（R. Shankar）

內容簡介

《量子力學原理（第2版）》是一本系統闡述量子力學基礎理論及其數學框架的經典教材。本書以嚴謹的公理化方法為核心，強調從基本公設出發構建量子力學理論體系，同時注重數學工具與物理概念的緊密結合。全書共21章，涵蓋內容廣泛，既包含量子力學的核心主題，也深入探討了現代物理研究中的前沿課題。開篇以詳盡的數學導論奠定基礎，包括線性矢量空間、內積空間、狄拉克符號、算符理論等核心數學概念，確保讀者具備處理量子力學問題的必要數學工具。隨后，作者回顧經典力學的基本原理（如拉格朗日與哈密頓形式），并通過對雙縫實驗、德布羅意波等經典問題的分析，揭示經典物理的局限性，為量子力學的引入提供邏輯鋪墊。第4章正式提出量子力學的公設，并展開對波函數、薛定諤方程及測量原理的深入討論。后續章節逐步展開一維勢阱、諧振子、路徑積分、不確定關系、對稱性與角動量、氫原子、自旋、微擾論、散射理論等核心內容。特別值得注意的是新增的第21章，系統闡述了路徑積分的多種形式（如相空間積分、相干態積分）及其在貝里相位、量子霍爾效應等前沿問題中的應用，體現了作者對現代研究方向的關注。