大學(xué)數(shù)學(xué)公共課：如何讓做題成為能力提升的“加速器”？

作為一名大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課的老師，多年來，見證了很多學(xué)生在高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中的掙扎與成長。在學(xué)習(xí)中，不少學(xué)生都有著類似的困惑：“老師，我上課能聽懂，但一做題就懵，這是怎么回事呢？我該怎么辦呢？”；“老師，我做了很多題，為什么考試還是不及格？”

今天，我們就一起來探討一下：大學(xué)數(shù)學(xué)公共課到底應(yīng)該怎么做題？也可以說，學(xué)數(shù)學(xué)，如何做題才有效？

一、為什么一定要做題？

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，很多同學(xué)覺得，數(shù)學(xué)課上跟著老師的思路走，公式定理都能記住，就算聽懂了，學(xué)會了。實際上，數(shù)學(xué)課程的“懂”（聽懂） 和 “會”（掌握） 之間，隔著一道巨大的鴻溝——那就是做題。

大學(xué)數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)最大的區(qū)別在于，它更注重邏輯推導(dǎo)的嚴謹性和知識應(yīng)用的靈活性。對于應(yīng)用所學(xué)來做題，課堂上老師講的是 “標(biāo)準(zhǔn)化思路”，但實際練習(xí)做題中，知識點的組合、條件的詮釋、解題思路探索方向的選擇，任課老師一般不會給與詳細指導(dǎo)，都需要我們獨立鉆研，所以在開始的時候，多少都會感到無所適從，力不從心，需要不斷地練習(xí)實踐才能真正掌握。就像我們看別人騎自行車覺得很簡單，但自己上車才知道，平衡感、發(fā)力時機都需要反復(fù)練習(xí)才能掌握。

通過做題，我們可以將抽象的數(shù)學(xué)概念、定理和方法轉(zhuǎn)化為自己的思維工具；可以及時發(fā)現(xiàn)、檢驗課程學(xué)習(xí)中的知識漏洞和不足。比如我們可能認為自己理解了“導(dǎo)數(shù)定義”，但碰到需要用定義證明導(dǎo)數(shù)存在的題目時，才會發(fā)現(xiàn)自己對 “極限存在的條件” 理解得并不透徹，極限的某些計算方法并不熟練；可能自認為熟記了線性代數(shù)的 “矩陣運算規(guī)則”，但面對矩陣方程求解時，才會意識到自己沒掌握 “逆矩陣的應(yīng)用場景”和對逆矩陣的計算方法并不熟練。這些漏洞與不足，只有在做題時才會暴露，也只有通過做題才能填補和掌握。

除此之外，對大學(xué)數(shù)學(xué)而言，做題的過程也是三個核心能力的 “修煉場”：

首先是邏輯思維能力的鍛煉。除了最基本的概念題和直接套用公式的計算題，一般來說，大學(xué)數(shù)學(xué)的每一道題，都像是一個 “邏輯迷宮”—— 從已知條件到結(jié)論，需要一步步推導(dǎo)，每一步都要符合數(shù)學(xué)規(guī)則，保證有理有據(jù)。比如做 “微分中值定理” 的證明題時，你需要思考：題目都給出了哪些條件，或者可以挖掘出哪些條件；給的條件適用哪個定理，或哪些定理？要不要構(gòu)造輔助函數(shù)？怎么構(gòu)造輔助函數(shù)？選擇哪個區(qū)間，如何選擇區(qū)間，怎么樣才能得到需要結(jié)論，...，這個過程，就是在訓(xùn)練你的邏輯鏈條，讓你的思維更嚴謹、更有條理。

其次是知識整合能力的提升。大學(xué)數(shù)學(xué)課程的知識點不是孤立的，比如 “導(dǎo)數(shù)” 和 “積分” 是互逆運算，構(gòu)建各類積分模型的“元素法”，高等數(shù)學(xué)中的幾個基本定理（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式）和積分的基本計算方法架起了各類積分之間的橋梁，“線性方程組” 和 “矩陣秩” 密切相關(guān)。在練習(xí)的過程中我們可以發(fā)現(xiàn)，很多題目需要把不同章節(jié)的知識點串聯(lián)起來，比如用 “導(dǎo)數(shù)的幾何意義” 解決 “曲線切線問題”，再結(jié)合 “定積分” 求切線與曲線圍成的面積；比如一個數(shù)列極限的計算可能需要綜合多個方法，比如海涅定理，等價無窮小、洛必達法則、導(dǎo)數(shù)的定義，積分的定義，夾逼準(zhǔn)則等才能有效解決。也只有通過做題，才能逐漸發(fā)現(xiàn)知識點之間的聯(lián)系，形成自己的 “知識網(wǎng)絡(luò)”，構(gòu)建自己的知識體系，而不是零散地記憶公式。

第三是解題策略能力的培養(yǎng)。面對一道陌生的題目，該從哪里入手？是先分析條件，還是先回憶類似題型？如何挖掘條件，如何組合條件，如何變化、改寫結(jié)論，如果一種方法走不通，該怎么調(diào)整思路？這些 “解題策略”，只能在做題中慢慢積累。比如碰到 “函數(shù)極限求解” 的題目，你會逐漸總結(jié)出：是否可以使用等價無窮小和四則運算法則化簡極限式，是否是 “0/0” 或 “∞/∞” 型，如果是，考慮洛必達法則，在以上方法不能求解，或者比較復(fù)雜的情況下，是否可以使用泰勒展開來計算，如果還不行，則仔細考察極限式的結(jié)構(gòu)，是否復(fù)合某些特定結(jié)構(gòu)，比如冪指結(jié)構(gòu)、使用拉格朗日中值定理或柯西中值定理的條件，如果包含有積分式，則考慮積分中值定理、估值定理等來探索可能的計算思路。這種 “見題拆題” 的能力，比單純記住公式更重要。

二、怎么樣才算 “做題”？

在平時的學(xué)習(xí)中，一個很常見的問題：很多同學(xué)把 “看題” 當(dāng)成了 “做題”。拿到一道題，先看一遍，覺得自己會做，或者看一眼答案，覺得 “哦，原來這么簡單”，就以為自己掌握了。但真正自己動筆寫的時候，比如考試的時候，卻發(fā)現(xiàn)思路卡殼，步驟寫不完整，甚至完全想不到解題思路。

其實，“看題” 和 “做題” 是完全不同的兩件事。真正的 “做題”，必須做到：獨立思考、完整書寫、動筆才是關(guān)鍵。

“獨立思考”：是在做題訓(xùn)練時，不輕易翻看答案或參考資料，哪怕思路不順暢，也要先自己嘗試推導(dǎo)。比如碰到一道 “線性代數(shù)” 的證明題，先把題目中的已知條件列出來，回憶相關(guān)的定理（比如 “矩陣可逆的充要條件”），嘗試從條件往結(jié)論推，或者從結(jié)論反推需要什么條件。這個過程可能會遇到困難，甚至走彎路，但正是這些 “困難”，才能讓你真正理解理論與方法的應(yīng)用細節(jié)，才能查漏補缺，發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，也才能印象深刻而形成記憶。

“完整書寫”：是在做題訓(xùn)練時，把解題過程一步一步寫下來，不能只寫結(jié)果，不要跳步。很多同學(xué)覺得 “步驟麻煩，寫個結(jié)果就行”，但數(shù)學(xué)問題解決的評分標(biāo)準(zhǔn)，往往看重問題求解的過程性，所以在數(shù)學(xué)考試的大題評分中，往往都有階段性的步驟分。比如做 “不定積分” 的題目，一般需要寫出換元的過程、積分公式的應(yīng)用、最后加上任意常數(shù) C；做 “行列式計算” 的題目，一般需要寫出行變換或列變換的步驟和中間變換后的行列式，不能直接寫出結(jié)果。完整的書寫不僅能幫你避免計算錯誤，還能讓你在回顧時，清晰地看到自己的思路軌跡，方便找出問題所在。

“動筆做題” 是做題過程中最關(guān)鍵的一步，沒有之一。

首先，動筆能幫 “理清思路”，確保每一步推導(dǎo)嚴密。很多時候，我們在腦子里想的時候，思路是模糊的、跳躍的，可能覺得 “這里沒問題”，但一動筆寫，就會發(fā)現(xiàn) “這里的推導(dǎo)不成立”，中間結(jié)果與最終結(jié)論來得并不那么直接。

其次，動筆能幫你 “避免粗心”，訓(xùn)練表達規(guī)范。大學(xué)數(shù)學(xué)的計算量往往比較大，規(guī)范的書寫表達可以暴露計算錯誤，提高準(zhǔn)確性和熟練度。比如 “矩陣乘法”，“重積分計算”，很多同學(xué)在腦子里算的時候，容易記錯系數(shù)、漏寫符號，或者算錯加減乘除。但動筆把每一步計算寫下來，不僅能減少錯誤，就算出錯了，也能快速找到錯在哪里，而不是對著結(jié)果發(fā)呆。

第三，動筆能幫你 “加深記憶”，加深對方法和技巧的理解。心理學(xué)中有一個 “動手記憶效應(yīng)”—— 當(dāng)我們動手書寫時，大腦會更專注于內(nèi)容，記憶也會更深刻。比如推導(dǎo) “牛頓 - 萊布尼茨公式” 時，動手寫一遍推導(dǎo)過程，比單純看十遍書更容易記住公式的來龍去脈，也更容易在后續(xù)做題時靈活應(yīng)用。

三、做完題以后要做什么？

很多同學(xué)做完題，對完答案就結(jié)束了，覺得 “這道題我會了”。但實際上，“做完題” 只是開始，真正的提升，來自于做題后的 “復(fù)盤”。就像運動員比賽后要回看錄像找問題一樣，我們做完題后，也需要通過復(fù)盤，把 “一道題” 的價值最大化。

那么，該怎么復(fù)盤呢？一般可以考慮三個步驟：

第一步，分析對錯原因，拓展思路或查漏補缺。如果做對了，不要只滿足于 “結(jié)果正確”，還要思考：這道題用了哪些知識點？有沒有更簡單的解題方法？比如用 “拉格朗日中值定理” 做出來的題，可以思考能不能用 “柯西中值定理” 或“羅爾中值定理”解決？如果做錯了，更要仔細分析：是知識點沒掌握，還是計算錯誤？是思路錯了，還是步驟不嚴謹？比如 “極限計算” 錯了，是等價無窮小替換用錯了，還是洛必達法則的條件沒滿足？把錯誤原因?qū)懺陬}目旁邊，下次復(fù)習(xí)時就能重點關(guān)注。

第二步，總結(jié)題型規(guī)律，形成自有解題“套路”。每做完一道題，試著給它 “歸類”：這屬于哪類題型？解題的核心思路是什么？有哪些常見的 “坑” 需要避開？解決此題的思路是否具有普適性，或者適用于哪些類型的問題，等等。比如做 “微分方程求解” 的題目，可以總結(jié)：“一階線性非齊次微分方程” 的解題步驟是 ：“先寫標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)，再代入通解公式”。通過總結(jié)，你會發(fā)現(xiàn)，很多題目其實都是 “同一題型的變形”，掌握了規(guī)律，再碰到類似題目，就能快速找到思路。

第三步，定期回顧錯題，逐步減少、避免重犯同類錯誤。很多同學(xué)錯了的題，下次碰到還是會錯，原因就是沒有定期回顧。建議大家準(zhǔn)備一個 “錯題本”，把做錯的題和典型的好題整理進去，每周花 1-2 小時回顧一次。回顧時，不要直接看答案，而是嘗試重新做一遍，看看自己是否真的掌握了。如果還是卡殼，就再翻回課本，重新復(fù)習(xí)相關(guān)知識點，直到完全理解。

四、拒絕 “盲目刷題”

現(xiàn)在市面上以題為主的大學(xué)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書很多，有些同學(xué)覺得 “刷題越多越好”，于是買了很多不同的練習(xí)冊與解題參考資料，每天埋頭做題，但效果卻不理想。其實，做題的關(guān)鍵不是 “數(shù)量”，而是 “質(zhì)量”。

在做題時，咱們要堅持 “有效做題”，拒絕“盲目刷題”：

第一，選題要 “精”，不要 “雜”。高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識點雖然多，但核心題型有限。就比如每年的全國碩士研究生招生考試，仔細分析后容易發(fā)現(xiàn)，基本題型差不多就那么多，考查的知識點也相對比較集中。在做題時，建議大家優(yōu)先做教材上的例題和課后題 —— 教材上的題目都是經(jīng)過編者精心挑選的，覆蓋了核心知識點，難度也循序漸進，適合打基礎(chǔ)，其實很多也就是一些基礎(chǔ)性的歷屆考研真題。基礎(chǔ)扎實后，可以再做一些經(jīng)過精選的練習(xí)題，注意不要同時做太多本，以免分散精力。

第二，做題要 “慢”，不要 “快”。很多同學(xué)做題追求 “速度”，一道題幾分鐘做完，做完就扔。但實際上，“慢做題” 才能 “快提升”。做一道題時，多花點時間思考：題目考查的是什么知識點？為什么要用這種方法？如果條件變了，結(jié)論會怎么樣？比如做 “定積分幾何應(yīng)用” 的題目，除了算出面積或體積，還可以思考：如果積分區(qū)間變了，結(jié)果會怎么變？如果被積函數(shù)變了，該用哪種方法求解？能用定積分計算的面積與體積圖形一般具有什么樣的特征？利用定積分都能求解一些什么樣的面積問題與體積問題？... 這種 “深度思考”，比快速做十道題更有價值。

第三，不要 “只做會的題”，要敢于挑戰(zhàn) “不會的題”。有些同學(xué)做題時，只挑自己會做的題型，碰到難一點的題就跳過。但實際上，“不會的題” 才是提升的關(guān)鍵。當(dāng)然，挑戰(zhàn)難題不是 “死磕”—— 如果一道題思考了20分鐘還是沒思路，可以先標(biāo)記下來，看看課本上的相關(guān)知識點，或者請教老師、同學(xué)，搞懂后再獨立做一遍。通過挑戰(zhàn)難題，你的解題能力會快速提升，也會更有信心面對考試中的 “壓軸題”。但是，作為非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，盡量不要去鉆研偏題，或者難度很大，思路單一的題，比如一些數(shù)學(xué)交流群中分享的一些表達式非常復(fù)雜的計算題，這樣的題不僅浪費時間，而且對于咱們課程的學(xué)習(xí)和相關(guān)思想、方法的應(yīng)用不能帶來任何好處！

針對以上要求，對于高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)的練習(xí)題，可以選擇公眾號推出的和，這兩套練習(xí)冊題目都經(jīng)過精心遴選，題型與題目很具有典型性與廣泛性，題目、題型不重復(fù)，讓練習(xí)效率更高，效果更好！

五、好的做題習(xí)慣是學(xué)好數(shù)學(xué)的 “金鑰匙”

最后，我想把好的、有效的做題習(xí)慣總結(jié)為 “五個堅持”，希望學(xué)友們能從現(xiàn)在開始，慢慢養(yǎng)成：

堅持 “先復(fù)習(xí)，再做題”：做題前先復(fù)習(xí)相關(guān)概念、定理和公式以及相關(guān)的例題，明確知識點的適用條件和注意事項。確保自己理解了，再開始做題，盡量不要邊做題邊翻書。

堅持 “獨立做題，不依賴答案”：碰到不會的題，先自己思考，不要輕易看答案，實在做不出來，再看答案的思路，看完后合上書，自己重新做一遍。

堅持 “完整書寫解題步驟”：不管題目簡單還是復(fù)雜，都要把步驟寫完整，良好的書寫習(xí)慣不僅能避免錯誤，還能訓(xùn)練自己的邏輯嚴謹性，提升計算能力和提高計算速度。

堅持 “做題后復(fù)盤總結(jié)”：每做完一道題，都要分析對錯、總結(jié)題型，定期回顧錯題，把 “一道題” 的價值最大化。

堅持 “每天做一點，不突擊”：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要循序漸進，不要等到考試前才突擊做題，每天做 1-2 道題，積累下來，效果會更好。如果時間和速度可以，自認為掌握得不錯，可以適當(dāng)加大數(shù)量，比如高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)分析、微積分的話，可以跟著咱號推出的。

數(shù)學(xué)能力的提升是一個漸進的過程，沒有捷徑可走。但正確的方法和良好的習(xí)慣可以讓你事半功倍，真正從做題中獲益。希望本文的建議能幫助你改變對做題的認識，不再把它看作枯燥的任務(wù)，而是能力提升的加速器。當(dāng)你掌握了正確的做題方法，你會發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)不僅可學(xué)，而且可以學(xué)得很好！

祝各位學(xué)友在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷進步，享受思考的樂趣！也歡迎在文后直接留言分享你的做題心得和困惑，在評論區(qū)與我們交流! 感謝閱讀!