金觀濤：自然數重新定義認知世界的基石｜雙體實驗室

大家好，我是船長！

在科學與哲學的交界處，一個根本問題始終懸而未決：何為真實？是客觀存在的物質世界，還是人類經驗的可重復驗證？當量子力學顛覆“客觀實在為真”的經典信念，當人工智能追問“數據可靠性”的本質，我們亟需重新審視科學真實性的根基。

金觀濤老師以數學公理為鑰匙，通過自然數的符號系統與受控實驗的普遍可重復同構，打開理解科學真實性的全新維度。金老師提出，皮亞諾公理定義的“自然數”并非抽象的數學游戲，而是科學真實性的結構投射。皮亞諾公理的五個條件——起始元素、后繼唯一性、歸納法有效性等本質上刻畫了科學驗證的底層邏輯。這種對應揭示了一個顛覆性結論：科學真實性不依賴于“客觀實在”，而取決于“受控觀察能否普遍重復”。

金老師還進一步區分了“受控觀察”與“受控實驗”的認知層級：受控觀察（如驗證單只渡鴉的顏色）依賴主體對條件的控制，其真實性止步于單稱陳述；受控實驗（如制造人造渡鴉并驗證其顏色）則通過將觀察對象轉化為可控變量，實現全稱陳述的驗證。這種區分直指邏輯經驗主義的軟肋，即傳統“客觀實在”僅能確證孤立的單稱命題，而現代科學依賴的全稱命題必須通過可迭代的受控實驗構建。

自然數重新定義認知世界的基石

文/金觀濤

皮亞諾公理和科學真實的結構

雖然從邏輯推出自然數以失敗告終，但自然數確實可以定義為具有某種特定結構的符號系統，它和來源于客觀事物及其性質的經驗無關。我在《消失的真實》第二、第三編指出，意大利數學家皮亞諾第一次給出自然數（非經驗）的嚴格定義。自然數是這樣的集合：其中任何一個元素都可規定一個后繼元素，它和已經給出的元素不同；而且數學歸納法有效，即如果一命題對其中某一元素成立可以推至對其后繼元素亦成立，那么該命題對所有元素成立。下面用嚴格的論述來表達皮亞諾公理，集合N只要滿足如下5個條件，其元素就是自然數（我們用a*表示a的后繼元素）。

1．1屬于N。

2．當a屬于N時，有唯一的a*屬于N。

3．當a*屬于N時，a*不是1。

4．對任何a、b屬于N，若a*和b*相同，a和b相同。

5．若M屬于N，且1屬于M，對于任意a屬于M，有a*屬于M，則M等于N。

皮亞諾公理是什么意思？我們可以把該結構投射到經驗對象，看看它代表著什么。當這組公理不是描述符號系統，而是人做受控實驗（受控觀察）時，我們會發現皮亞諾公理的背后正是受控實驗（受控觀察）的普遍可重復性。當一個元素代表某一次受控實驗（受控觀察）時，所謂后繼關系，是做一次受控實驗（受控觀察）后，還可以做下一次同樣的受控實驗（受控觀察），或某人做某一受控實驗（受控觀察）后，另一個人可以做同樣的受控實驗（受控觀察）。

此外，皮亞諾第五公理保證了數學歸納法的成立，因此又被稱作歸納公理。這一公理對應著如下原則：某人做某一次（個）受控實驗（受控觀察），能得到某個結果。只要下一次控制同樣條件，下一次（或另一個人做同樣的）受控實驗（受控觀察）亦能得到同一結果。這樣一來，只要控制某一組條件，在任何情況下（或任何人）必定能得到同一結果。我在《消失的真實》中將其稱為受控實驗（受控觀察）的普遍可重復，它是科學經驗真實性的最終標準。

我在導論中指出，量子力學在今天已經證明“客觀實在為真”并非永遠正確的。因為當對象依賴主體時，和主體可重復控制無關的客觀對象有時并不存在。這時，只能用受控實驗（受控觀察）能不能普遍可重復來判別實驗對象和相應的性質是否為真。換言之，“普遍可重復的受控實驗（受控觀察）為真”，已經成為科學界判定科學真實的金科玉律。它是比“客觀實在為真”更為基本的真實性基礎，而表達自然數的符號結構居然和判定科學真實的受控實驗結構相同。這表明自然數的定義雖不能用邏輯推出，但正好描述了科學真實的結構。

我認為，自然數的皮亞諾公理具有重要的認識論意義，因為它第一次用符號表達了科學真實的結構。換言之，真實性本質上是一種結構，它可以是經驗的，亦可以是符號的。它在代表符號時，可以和經驗沒有關系。表面上看，皮亞諾公理5個條件中條件1有“1”，“1”是來自經驗的，是數“數”時定義的單位。其實這里“1”只是一個起始符號，可以和測量單位無關。我們亦可以用“0”作為起始符號，這時得到了包含“0”的自然數集，這是自然數的另一種等價的定義。讀者或許會感到奇怪：如果沒有測量單位“1”，僅僅從符號的后繼關系以及它們互不等同，就能定義自然數嗎？當然不能！如我們給出序列a1、a2、a3、a4、a5、a6……，它們也滿足“對該集合任何一個元素都可規定一個后繼元素，使它和已經給出的元素不同”，這一序列和自然數也一一對應，但它并不是自然數集。為什么？因為皮亞諾第五公理不成立，故上述序列不是自然數，而只能是自然數的子集合，或和自然數集合一一對應的另一個集合。

這里至關重要的是，定義自然數需要數學歸納法即皮亞諾第五公理成立。條件5的妙處在于：它不僅用數學歸納法成立來代替數“數”單位，還指出所謂滿足一個命題P的所有集合只能由數學歸納法有效地給出。也就是說，數學歸納法成立可以轉化為兩個等價的法則。第一，如果一個命題P對其中某一元素成立，可以推至對其后繼元素亦成立，那么該命題對該集合所有元素成立。第二，只有數學歸納法才能有效地給出具有P的所有對象（元素），形成一個有關對象（元素）的全稱命題。

圖：蘇格蘭大衛休謨像

早在18世紀，休謨就感到數學歸納法與經驗世界似乎沒有必然的聯系。事實上，皮亞諾公理及其包含的數學歸納法，討論的不是客觀存在的經驗世界，而是具備自由意志的主體如何給出符號系統，以及如何從控制（或相應的符號）來定義具有某種規定性的“所有”對象。讓我們分析皮亞諾前4條公理，在客觀世界，經驗上給出有限個不同對象（包括主體）后，并不一定存在和已知對象不同的下一個對象。然而，對主體實行控制而言，主體做過有限次的控制后，一定還可以做另一次控制。

也就是說，皮亞諾前4條公理是在描述主體的自由，而第五公理歸納公理則給出了“所有”具有某種規定性的對象。什么是“所有”？具有某種規定性（性質）的所有對象涉及對象的全稱，其可能有無窮個。這是一個以前無法講清楚的概念，只有數學歸納法提供了給出無窮個對象的有效方法，它可以證明有關對象的全稱陳述為真，這一點對真實性哲學特別是定義科學真實至關重要。

如果把皮亞諾公理中的元素視為主體，某一元素的后繼元素為不同于某一主體的另一個主體，歸納公理正對應著如下原則：如果某一對象對某一主體成立，能得到對另一個主體也成立，則該對象對所有主體成立。如果皮亞諾公理中的元素是用某一種方法定義的一個對象，某一元素的后繼元素為不同于某一對象的另一個對象，歸納公理則指出：如果某一對象是真的，能得到對下一個對象也是真的，則用某種方法規定的所有對象都是真的，“有關對象為真”的全稱陳述成立。

這一切又有什么意義呢？我在《消失的真實》導論中指出，所謂真實性是對象和主體的一種關系，這種關系構成主體對對象之評價，以及其與評價對象互動的前提。但我在《消失的真實》中并沒有論述這種關系是什么。在本書導論中我指出，真實性作為主體X和對象Y的關系，必須通過控制手段M來界定。也就是說，真實性是主體X、對象Y及M三者之間的關系，并指出X和Y的真實性取決于M的可重復性。而M的可重復性是指做過一次后還能再做一次，當可重復性滿足數學歸納法時，則得到真實性作為一種關系的普遍成立。由此可見，數學歸納法對判別真實性是否普遍成立具有關鍵性意義。

現在，我們得出一個令人吃驚的結論：自然數作為某種特定結構的符號系統，居然代表了所有懸置在對象之外的主體和對象的關系，定義了科學真實必須滿足的前提。當這種符號系統不存在時，上述關系就不存在，這時說“某一對象為真”將不再有意義。

客觀實在和普遍可重復的受控實驗

上面的結論有點不可思議，難道自然數不存在（即它不是真的），就不能憑“客觀實在”來判別經驗世界對象的真實性嗎？其實，只要我們將分析嚴密化，就會發現確實如此！

圖：洞穴理論

人如何知曉對象是客觀實在的？所謂客觀實在，是指該對象必須有如下兩個性質。第一，主體對其觀察不會改變該對象；第二，該對象對所有主體（觀察者）為真。“所有主體（觀察者）”是主體（觀察者）的全稱，它包含了無窮多個主體（觀察者）。定義所有主體（觀察者）需要如下程序：控制某一組條件，其可以讓某一主體（人）通過相應的操作確定觀察到對象存在，只要仍控制這一組條件，下一次另一個主體（人）仍可以通過相應的操作確定觀察到對象存在，這樣該對象對所有主體（觀察者）均存在。

這正是利用數學歸納法定義了所有主體（觀察者），它也是確認該對象為真所必不可少的前提。我們將滿足上述程序的觀察稱為一個普遍可重復的受控觀察。受控觀察普遍可重復之符號表達就是自然數。

簡而言之，實在論哲學認為客觀性就是真實性，客觀實在為真似乎是不需要證明的。但實際上，確證對象為客觀實在，必須依靠一個普遍可重復的受控觀察。只有在受控觀察普遍可重復之時，對象的客觀實在才能得到證明，也就是為真。普遍可重復的受控觀察和自然數存在一一對應關系。由此可以推知，如果自然數不存在，相應的觀察不可以和一個自然數集一一對應，這就意味著此對象的真假無法通過一個普遍可重復的受控觀察加以確認，即使該對象被當作“客觀實在”，它亦可能不是真的。

讓我們暫且回到《消失的真實》第三編舉過的例子。“這里存在渡鴉”和“尼斯湖有湖怪”分別為兩個表達客觀實在的陳述。表面上，渡鴉是客觀實在，它保證了第一個陳述的真實性。某人在某時看到過尼斯湖怪，尼斯湖怪似乎也是客觀實在，但客觀實在不能保證第二個陳述的真實性。上面兩個陳述的差別在哪里呢？對于第一個陳述，我們能控制一組條件（如把渡鴉關在籠子里或走近渡鴉），對任何一個想確證該陳述的主體（人），我們可以一次又一次地重復這組控制條件（把籠中渡鴉給人看或看到停在樹上的渡鴉），從而證明相應陳述為真。對于“尼斯湖有湖怪”這一陳述，則并不存在這樣一組條件，即找不到相應的受控觀察。除非某一天真的抓到了尼斯湖怪，該陳述才和一個普遍可重復的受控觀察相對應。

現在我們終于發現邏輯經驗主義和分析哲學真實觀的破綻了。表面上看，陳述“這一只渡鴉是黑的”為真的條件是客觀實在的真實性，因為黑渡鴉客觀實在，由符號“這一只渡鴉”和“黑的”用“從屬關系”（邏輯）組成的符號串“這一只渡鴉是黑的”才是真的。但實際上，上述符號串只是主體表達有關對象的信息，并不能保證有關對象信息為真。要確認陳述的真實性，除了符號正確地指涉對象外，還需要一個普遍可重復的受控觀察：無論誰對上述陳述為真有懷疑，我們都可以把該渡鴉給他看一看。

由此可見，任何客觀實在為真的符號表達實際上都是由兩個不可分割的部分組成的，一是符號正確地指涉對象，二是指涉對象的符號串必須和一個表達真實性的符號結構——自然數相聯系。兩個部分缺一不可。簡而言之，正因為主體（人）是用符號把握對象的，符號系統正確地指涉對象只是主體獲得對象的信息并用符號串表達了該信息，這無法保證對象本身的真實性。保證經驗世界的真實性還需要主體具有處理經驗信息的某種正確方法。

該方法可以用特定的符號結構表達，這就是自然數（的真實性）。如果表達經驗的符號串不對應著結構上具有真實性的符號系統，僅僅靠符號正確地指涉對象，是無法保證任何一個符合邏輯之陳述是真實的，正如獲得信息并不能保證信息可靠一樣。

經驗論哲學認為存在著真實的外部世界，人對外部世界的感知就是認識的基礎。現在我們以主體獲得外部世界的信息和掌握判斷信息的可靠方法取代經驗論的出發點，并將其和經驗符號表達相聯系，這等于是重建了經驗論的哲學基礎。這就帶來一個問題：只要科學以客觀實在的事物為研究對象，自然數作為一個代表受控觀察普遍可重復的符號集的存在，并與對象是客觀實在完全等價，我們為什么不可以用客觀實在來代表受控觀察的普遍可重復呢？只要兩者真的完全相同，邏輯經驗主義和分析哲學的主張仍然正確，我們并不需要一種取代它的新哲學。

事實上，上述觀點是錯誤的。為什么？根據客觀實在為真的原則，確證的永遠是單稱陳述。正因如此，20世紀籠罩在邏輯經驗論和分析哲學陰影下的科學哲學都認為全稱陳述只能證偽。我在《消失的真實》第三編中以合成生物學中想象人造渡鴉為例，證明當可以通過一個普遍可重復的受控實驗制造出渡鴉，并發現其為黑時，“一切渡鴉為黑”不再是一個猜測。人造渡鴉一旦被制造出來，它亦可以被認為是某種客觀實在，但是其對應的全稱陳述可以被確證。在實驗室合成渡鴉和在自然界發現渡鴉有什么不同呢？

關鍵是某些客觀實在可以是人造的。人造渡鴉對應著普遍可重復的受控實驗，我在后文將指出，在很多情況下受控觀察只是受控實驗退化的結果。

總之，受控觀察普遍可重復不可以由客觀實在來取代。更何況人類的認識論除了必須涵蓋人造物在內的形形色色的客觀實在外，還要面對非客觀實在的真實性。由此可見，邏輯經驗論和分析哲學的真實觀必須被更廣泛的真實觀取代。為了理解這種新的真實觀，首先要去分析人造客觀實在和自然界被觀察到的客觀實在之差別。如前所述，當人造渡鴉僅僅是被觀察的對象時，我們不能說一切人造渡鴉為黑是真的；只有其被一個普遍可重復的受控實驗制造出來之后，一切人造渡鴉為黑才是真的。在這一切的背后正是受控實驗和受控觀察的差別。換言之，我們必須去問：什么是受控觀察？在什么前提下一個普遍可重復的受控觀察可以轉化為一個普遍可重復的受控實驗？

受控實驗及其結構

20世紀科學理論對人類認識論最大的貢獻是嚴格定義了什么是觀察。在此之前，觀察僅僅被視為人對客觀實在的感知，實際上它是主體獲得對象的信息。伴隨這一觀點的流行，信息論作為一門全新學科崛起了。為了確保對象的信息是可靠的，主體必須可以控制獲得對象的通道，即它是一個受控觀察。所謂受控觀察指的是，通過控制某一組條件，可以讓某一主體（人）通過相應的操作確定觀察到對象。

何為“控制某一組條件”？何為“觀察到”？控制某一組條件是指主體可以進行一系列自由選擇，如選擇自己的空間位置去面對某一對象，或選擇某些東西做成一個裝置（如籠子或望遠鏡）。“觀察到”是主體得到對象的信息。換言之，控制某一組條件實為主體X選擇可控制變量C，而所謂觀察到對象存在，是指X控制C后，存在一個通道L，使得對象O的信息可以通過L到達X。整個過程可以表達為下圖。

圖：受控觀察

受控觀察和一般觀察不同，其強調觀察過程的完全可控，完全可控的目的是保證信息的可靠。正因為觀察實為主體通過控制條件獲得對象的信息，觀察條件完全可控意味著它具有控制過程的普遍可重復性，據此可以得出一個結論：為了保證信息的可靠，要求獲得對象信息的過程（觀察）是可以任意重復的。

因“受控觀察可重復”和“獲得信息為真”等價，故必須嚴格定義受控觀察可重復。受控觀察可重復包括兩種情況。第一，受控觀察對某一主體Xn可重復，即Xn實行第一次控制C并觀察到O后，能實行下一次控制C并也觀察到O。這時，O對Xn是真的。第二，受控觀察對所有主體可重復，即不僅第一種情況成立，且當O對主體Xn為真時，對Xn+1亦為真。也就是說，在控制變量C和通道L不變的前提下，將某一個觀察主體Xn變為另一個觀察主體Xn+1，受控觀察結果仍然可重復。這時，O對所有主體X均為真。我們將滿足上面兩個前提的受控觀察稱為一個普遍可重復的受控觀察。

一個普遍可重復的受控觀察包含了所有的主體，但它只能形成一個有關O的單稱陳述。為什么？定義所有主體需要數學歸納法，所有主體由“當O對主體Xn為真時對Xn+1亦為真”得出。這里，變換主體亦是一個受控過程。由于受控過程規定的全稱只包含觀察者，不包含O，這樣被確證的有關O之陳述只能是單稱陳述。在什么前提下，有關O的全稱陳述可以被某種受控過程確證呢？根據前面的分析，O必須如同控制條件和主體那樣一次又一次可重復，且滿足數學歸納法。也就是說，O屬于主體可以控制的變量。也就是說，L的存在不僅使主體可以獲得對象的信息，還包括X通過選擇C和L對O實行控制。這樣，O從可觀察變量轉化為可控制變量Y，即主體和對象之間存在如下圖所示的結構。

圖：受控觀察

該結構最大的特點是Y不僅是可觀察變量，還是可控制變量。我們稱這一結構為受控實驗。與受控觀察普遍可重復的定義類似，當某一個受控實驗不僅對某一主體可重復而且對任何主體均可重復時，我們稱其為一個普遍可重復的受控實驗。

當受控實驗普遍可重復時，數學歸納法證明所有Y對所有主體均是真的。這里，所有的Y可以形成一個全稱陳述。也就是說，受控實驗普遍可重復對應著Y的全稱陳述為真。正因如此，現代科學理論大多是用全稱陳述表達的，我們把受控實驗作為現代科學的基礎。

綜上所述，普遍可重復的受控實驗和普遍可重復的受控觀察之間的差別在于，Y不僅是可觀察變量（主體可以獲得其信息的對象O），還是可控制變量。所謂可控制變量，是指它和C集合中的元素一樣，是主體X可以進行自由選擇的。當然，X對Y的選擇，需要通過選擇它掌握的可控制變量集C和通道L。正因為Y也是新的可控制變量，可以將其加入主體掌握的可控制變量集C中，從而擴大主體可控制變量的范圍。這時，受控實驗中Y和C可被視為同一類，即可以建立一個將Y并入C的反饋。

也就是說，受控實驗存在著兩種類型。一類是Y加入C后，會形成一個和以前不同的新受控實驗，我們稱之為可迭代的受控實驗。另一類是Y加入C后，并不足以形成一個和以前不同的新受控實驗，或加入C只能形成一個新的受控觀察。對后一種情況，受控實驗是不可以自我迭代的。

總之，我們得出如下結論：科學經驗的真實性建立在普遍可重復的受控觀察和受控實驗之上，其符號表達均為自然數。受控實驗分為可自我迭代與不可自我迭代。對可自我迭代的受控實驗而言，迭代形成一個新的受控實驗，其出現意味著受控實驗的擴張。對不可自我迭代的受控實驗而言，將可控制變量Y加入C雖不能形成一個新的受控實驗，但有可能建立一個新的受控觀察，它是受控觀察擴張之前提。

當我們用符號串來表達科學經驗真實時，普遍可重復的受控觀察對應著被確證的單稱陳述（符號串），普遍可重復的受控實驗則對應著被確證的全稱陳述（符號串）。科學真實的符號表達是被證明為真的單稱和全稱陳述（符號串）所組成的。

對于一個徹底的經驗論者，當客觀實在不能作為真實性的最終基礎時，只能接受普遍可重復的受控實驗和受控觀察作為科學真實的基礎。“普遍可重復”實為某種結構，這種結構本身既可以是經驗的，也可以是符號的，其符號表達就是自然數。如此一來，我們不得不接受自然數不指涉經驗對象時，它本身也是真實的。前面在討論定義自然數的皮亞諾公理時，我指出這還是一種規定所有相關對象的符號結構。換句話說，只要把一個符號對應一種受控實驗，自然數的結構就給出了所有受控實驗。這樣一來，我們也就可以研究受控實驗通過組織和自我迭代擴張與一般受控實驗的關系了。

本文系摘選自《真實與虛擬》一書第一章三至五節，為便于閱讀，部分段落做了拆分和刪減，推文標題為編者所擬，學術討論請以原文為準。文中部分配圖來源于網絡，無特定指向，如有侵權請聯系公眾號后臺刪除。

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內容編校：恩慧

內容編排：婧婷

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