為什么我們非得去找代數方程的整數解？

2019年，被科幻迷奉為經典的宇宙終極答案“42”，終于迎來了它的立方和方程解，即方程x3+y3+z3=42的解。當時數學家利用了全世界50萬臺計算機并行運算了幾個月終于找到了答案，后來他們投入到了3的第三組解上。如今，新的答案也已出現。但這就是數學游戲嗎？近2000年前古希臘數學家提出的問題，今天我們的數學家在為之努力什么呢？

撰文| 張和持

離 告破僅一年多，數學家們又在前些日子找到了 新的一組整數解。后者的前兩個解頗為簡單：

但數十年來，第三組解遲遲沒有被找到。其實我們并不是那么關心這個解究竟是多少。如果單單看這個等式，我們除了感受它的壯麗以外，并不能比沒有計算機的古希臘人理解得更多（公式左滑顯示）：

我可以斷言，這個式子目前對數論學家而言幾乎沒有意義。我們能得出結果，只是因為算法效率變高了，計算機性能比50年前更強了，甚至對于解的估計也取得了進展。但這仍然是一個孤立問題，就算求出了一個解，也不會為下一個解提供任何線索，更難以幫助我們站在更高的角度理解這個問題。不光是 ，數論學家們研究的大多數方程看起來都沒有意義。這不禁讓我們產生疑問，這樣的代數方程看起來沒有任何特殊之處，為什么我們偏要去求它們的整數解呢？

關于算法的技術細節想必沒多少人會關心。我只想通過這篇文章給各位讀者一個初步的印象——數論不是復雜技巧，也不是冗長計算；我們在數論中尋找的是最深刻的數學關系。

亞歷山大港的溫暖夏夜

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從古希臘時代人們就開始研究方程。比如最為有名的直角三角形：

小學生也能找到幾組整數解：(3, 4, 5), (5, 12, 13)。這樣由整系數多項式組成的方程，從那時候起就是代數研究的中心。它們有的來源于幾何，也有不少純粹是出于人類的好奇心。其中做出奠基性貢獻的，當屬羅馬時代生活在亞歷山大港的希臘數學家，丟番圖（Diophantus of Alexandria）。為了紀念他，我們稱這些方程為丟番圖方程。關于丟番圖，或許讀者們還記得他的墓志銘曾出現在小學數學題中：

墳中安葬著丟番圖。 多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。 上帝給予的童年占六分之一， 又過十二分之一，兩頰長胡， 再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。 五年之后天賜貴子， 可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。 悲傷只有用數論（即算數，這兩者在古代是同一個詞）的研究去彌補， 又過四年，他也走完了人生的旅途。

不過除此之外，我們對他的生平知之甚少，其流傳下來的作品只有一套《算數》（Arithmetica，大部分已遺失）。在這本書中，丟番圖將他的重點放在了尋找方程的整數解和有理解。這對于今天有許多強力工具的我們并不是什么大問題——方程的解就是一個圖形上所有的點。比如 就是一條直線， 就是一條拋物線。但古人的數學世界并不是 ，而是 。

畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，但這些數可不是實數，而是有理數。也就是說，他們認為世間萬物都是由整數和它們的商表示的。據說希帕索斯（Hippasus）因為發現 而被老師畢達哥拉斯下令處決。不過如果我們站在古希臘人的視角，他們到底是怎么想的呢？

丟番圖

我們可以合理地猜測，當古希臘人發現，直角邊為 的等腰三角形，其斜邊不能用有理數表示時，他們首先并不是想："啊，這不是有理數。"而是，"啊，這不是數！"相似的類比是 。要是沒有完備的復數理論，人們當然只能認為復數是“幽靈”；同樣，沒有極限以及實數理論，古人也無法想象無窮不循環小數是什么。自然，畢達哥拉斯會覺得“萬物皆數”出現了漏洞。

這樣就不難理解為什么古人對整數和有理數如此癡迷。他們沒有笛卡爾坐標系，也就沒有解析幾何（當然，我不是指 上的幾何）。歐幾里得輝煌的學問無法與代數方程建立聯系，只能借助巧妙的方法艱難前進。

比如要解 ，我們能想到去找 是 的倍數的情況，古人當然也能想到。而剩下的工作就是挨著去檢驗模 剩余類下的 種可能性（ 各有 種可能性），最后發現整數解是不存在的。但是只要把問題稍微變一下，比如說解 ，上面的方法就無能為力了；非但如此，今天的算術幾何學家們也對這個方程毫無頭緒。古人就更迷惑了——即使解出再多方程，也仍然不能保證下一個方程還會解。

但同時，方程也像是永遠無法窮竭的寶庫擺在面前，令人神往。

還得靠業余數學家

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古希臘、古羅馬的數學隨著古老帝國的衰落而逐漸被人遺忘，丟番圖的作品要沉寂到千年以后，才能等到被另一位對數論情有獨鐘的數學家發揚光大。16世紀開始，《算數》才被逐漸翻譯為拉丁文。其中最有名的一個版本，是1621年由巴切特翻譯出版的：這本書曾經被皮埃爾·費馬擺在案頭。

被稱為“業余數學家之王”的費馬可能比大多“專業數學家”都要強，其對概率論、微積分、解析幾何等分支都做出過開拓性貢獻。不過他心中的最愛還是被稱為數學的王冠——數論。在費馬生活的年代，數學并沒有什么實際用途，而他純粹把這當玩具：或許就如同今天我們玩數獨一樣。每當有所發現，他就會寫在《算數》的頁邊上。費馬的很多注釋后來都演變成了重要的研究方向，其中最富盛名的當屬所謂的費馬大定理：

當整數 時，關于 的不定方程 沒有正整數解。

他繼續寫道：關于這個問題，我確信我發現了一種絕妙的證法，可惜這里的空白處太小，寫不下了。今天只流傳下來費馬對于 情況的證明，不過現代觀點普遍認為他當時不可能證明得了這個定理：300年后由安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）找到的證明所用到的方法遠非費馬時代可以想象。

費馬的工作正式宣布，近代意義上的數論研究開始了。不過這些與現實沒有任何關系的數學并沒有發展動力——數學最忌諱的就是孤立的問題。無窮小分析可以憑借直觀的函數圖像與物理直覺；代數的抽象結構來自于數與多項式的自然結構。可是早期的數論卻不能找到更深刻的關系。難怪高斯會這樣評論費馬的問題：

我承認我對費馬的定理沒什么興趣，這是個孤立的命題，像這樣沒人能證明也不能證偽的命題我隨手就能寫下一大串。

站在高斯的角度，他說的確實沒什么毛病。費馬大定理或者別的任何丟番圖方程可解，或者不可解，對其他的數學分支貌似產生不了什么影響。不過從高斯至今，我們對于數論的認識已經發生了翻天覆地的變化。數論的影響已經超出了“算數游戲”的范疇哦，成為了現代數學賴以生存的源泉。

下金蛋的雞

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據說曾有人問希爾伯特，為什么不去證明費馬大定理。這位大數學家回答道：我可不想殺了這只生金蛋的母雞。這句話足以證明費馬的無用之學對于數學有多么巨大的影響。讀者肯定會有疑問，明明這篇文章是想解釋整數解的意義，為什么要談那么多費馬大定理？我們可以用希爾伯特的話來回答：

數學的藝術在于找到一個特例，其中隱含了所有推廣的胚芽。

在挑戰費馬大定理（或者費馬猜想）的過程中，人們發現了理想之于環論的中心地位，注意到虧格與有理點數量之間的神奇關系，還建立了模形式與橢圓曲線之間美妙聯系。其任何一項成果，都比代數方程有沒有解這個問題本身重要的多。算術幾何整個學科都得感謝費馬在幾百年前興趣使然開始的研究。這樣我們就很難不去懷疑：這才僅僅是一個方程，如果我們能破解所有方程中隱藏的秘密，那豈不是能讓整個代數的冰山浮出水面？（費馬大定理只研究正解，所以嚴格來說不算丟番圖方程；后來也發現其存在諸多特殊之處，而大量丟番圖方程的重要性至今仍然未知）

夢 碎

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希爾伯特是一位偉大的夢想家，他樂觀期待著數學的發展。在1900年的巴黎會議上，他提出了那著名的23個問題，其中第十個，便是關于丟番圖方程的：

任給一個丟番圖方程，是否存在一個通用的算法可以判斷其是否有整數解？

希爾伯特內心深處一定堅信這樣的算法是存在的。1930年，他作為當時最偉大的數學家，在故鄉柯尼斯堡接受了采訪。訪談的最后，他鏗鏘有力地道出了最理想主義的口號：

我們必須知道，我們必將知道。（Wir müssen wissen，wir werden wissen）

他不僅認為丟番圖方程全都能解，他還進一步猜想任何數學命題都是能被人類證明的。如同他的傳記中寫的那樣，希爾伯特就像是數學界的亞歷山大大帝，滿懷著夢想，要征服到世界的盡頭。可才過了一年，這個預言就被天才數學家哥德爾（Kurt G?del）證明是錯的：公理體系的完備性是未知的，相容性也是未知的。不是數學方法不夠巧妙 ，也不是數學家不夠努力，而是數學本身的鴻溝隔絕了邏輯。人們逐漸開始懷疑，丟番圖方程也沒有萬能的解法，從而開始尋找算法不存在的證據。

希爾伯特到了晚年，也不忍離開納粹統治下的祖國。法西斯主義者清除了大學中的猶太人及其親屬。無數學者不堪忍受瘋狂的民族主義而選擇背井離鄉，其中就包括了與希爾伯特亦師亦友的外爾、柯朗等人。哥廷根不再是那個全世界學者憧憬的圣地，“哥廷根之外無生活”的豪言也仿佛隔世。希爾伯特在孤獨中離開了人世，在他去世后的幾年里，數學家們開始轉向研究丟番圖方程的不可解性。不過這項工作極其復雜，直到幾十年后的1970年，希爾伯特第十問才得以宣告不可解。此時希爾伯特的故鄉柯尼斯堡已經從地圖上消失，原本的城市成為了蘇聯領土加里寧格勒；與地圖的變化同時到來的，還有新的時代，新的技術，以及新的數學。

新的時代

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非專業人士可能會問，為什么數學家們總是固執于黎曼猜想或者是哥德巴赫猜想？它們完全有可能是錯的，那到時候所有的努力不就白費了嗎？當然，除了“下金蛋”這樣的理由之外，數學家們還有別的理由選擇相信一條猜想為真，那就是實驗。你可以這樣認為：數學的實驗就是計算；而理論則是證明。黎曼本人就曾提出過非常巧妙的方法來計算 函數的零點。

自計算機問世以來，通過計算來驗證猜想的嘗試就一直沒有停止過。一方面，如果能找到任何一個反例，就能終結漫長的證明之路；另一方面，在沒有任何證明思路的情況下，驗證有限個數的情形似乎是數學家僅有的選擇。近幾十年來，驗證黎曼猜想的算法已經相當先進，例如 ZetaGrid 計劃，其使用分布式算法，一天可以檢驗十億個零點。直到2005年計劃終止，他們都沒有找到任何一個反例。

同黎曼猜想一樣， 是否一定有整數解這個問題，數學家們目前仍毫無頭緒。用龐大的計算機群去搜尋某個特定 對應的解也實屬無奈之舉，但這在希爾伯特的年代是無法想象的。就連歐拉這種不嫌麻煩能口算五十位小數的人，都曾提出過不成立的猜想。例如他曾猜測費馬大定理的推廣： 在 時沒有正整數解。直到1986年，人們才找到了這么一個式子：

計算機的存在顯然能大大減少數學家的無用功。

此次找到 的新解，顯然大大增強了數學家們的信心。這個問題如此困難，即便使用最為先進的算法，也得將計算任務分配給超過 萬臺電腦，其中每臺需要運行 小時！不過相比窮舉法以及早先的計算方法而言，新算法還是快了不少。根據數學家 Roger Heath-Brown 早先的工作，我們其實可以簡化原方程，減少獨立變量（還進一步猜想，若 ，那三立方問題就有解）；兩位數學家Andrew R. Booker 和Andrew V. Sutherland 在此基礎上使用篩法，讓算法集中搜索那些最有可能是解的數字。即便對解一無所知，也能通過強大的解析數論工具計算解的密度，這樣就能預測：我們大概還得算多久才能算出正確答案。不過此番求解之快大大出乎了他們二人的預料，在求出 的解之后還沒兩年， 的新解又找到了。據此，他們估計， 要是還有下一組解的話，花費的計算力將是這次的一千萬倍，以目前的算法和計算機性能還遙不可及。三立方問題是否就此告一段落？ 的未解情況是否仍有希望？目前我們還暫未可知；不過只有一點是可以確定的：數學家的腳步不會停下。

如今正是數論及其相關學科發展迅猛的年代。數學家們對代數幾何充滿信心：近半個世紀的發現遠超過以往任何時代之和，而且發展勢頭也不像是要停下來的樣子。但即便如此，我們對于素數，丟番圖方程以及它們背后蘊含的深刻數學的了解仍僅是冰山一角。

或許可以打一個不恰當的比方。在物理學中，帶有“論”（Theory）的都是那些尚不完善的框架：廣義相對論不能重整化；量子場論沒有嚴格的數學基礎；弦論得不到實證，甚至某些推論與實驗還不相符；而”M理論”本身就是一個猜想。人類對宇宙的了解微乎其微，但正因如此，理論物理學家才會癡迷于其中的奧秘。對于整數論（Number Theory）而言也是相同的，它的未知等待著人們探索，它的美等待著人們發現。或許人類永遠都無法對整數有足夠多的了解，整數論也永遠不可能改名叫整數力學（Number Mechanics），不過我相信任何有志于數學的人，都能像費馬和丟番圖一樣，在數學中找到真正的快樂，以及自己人生的意義。

參考文獻

[1] https://phys.org/news/2021-03-sum-cubes-puzzle-solution.html

[2] https://www.pnas.org/content/pnas/118/11/e2022377118.full.pdf

[3] https://www.famousscientists.org/diophantus/

[4] 康斯坦絲·瑞德, 希爾伯特數學世界的亞歷山大.

[5] https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat .

[6] Timothy Gowers, The Princeton companion to mathematics.

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