深度長文：數軸上隨機砍一刀，砍到有理數的概率為0（建議收藏）

之前做了很多期物理基礎理論方面的科普，在閑暇之余看到有關數學方面的知識，感到很有趣，主要關于有理數，無理數以及無限的概念。

本人在學生時代對數學非常感興趣，所以如今雖然畢業多年，又抽空專門了解了一些數學方面的知識，今天跟大家一起分享一下。如果有不對的地方，還望多多指教。

我會盡量以通俗的語言去描述，盡量去掉一些復雜的數學公式推理，畢竟科普的目的是讓大家覺得通俗易懂，而不是向大家傳授專業知識，專業的東西我也不太會。但是通俗難免會不太嚴謹，希望大家明白。

好了，回到今天我要說的正題：在數軸上隨機取一個點，有理數的概率為0。

看到這里，肯定有人開始不淡定了：你又在這里胡扯呢？數軸上對應的是實數，包含了有理數和無理數，隨機取的點，有理數的概率怎么可能是零呢？

這里強調點，概率為零，并不意味著一定不能取到有理數，概率和現實并不是完全等價的。你可以通俗理解為取到有理數的概率無窮小。

為什么會這樣？

通俗理解就是，雖然實數等于有理數加上無理數，但有理數在實數面前就是個渣渣，不用管，完全可以忽略不計，所以結果就是：

實數=無理數！

因此在數軸上隨機取一點，這個點是無理數的概率為100%，有理數的概率為0。

沒錯，無理數就是這么“霸道”，雖然實數是有理數和無理數之和，但事實上實數和無理數是一樣多的，數學家們早就證明了這點，這里就不再證明了，證明過程我也看了，有些繁瑣。因為兩個集合，也就是實數集合和無理數集合可以一一對應。

只要兩個集合能一一對應，這兩個集合一定是相等的。

“無理數和實數一樣多”明顯違反了我們的直覺：明明實數比無理數多出了個有理數啊，兩者怎么可能一樣多呢？

這就牽扯到我們對無限的理解了，我們不能用具體的有限概念去衡量無限的世界，否則很可能陷入到自己挖的陷阱里面走不出來。

再舉個例子你就明白了，整數和偶數哪個更多呢？

整數包括奇數和偶數，看起來整數應該比偶數更多，但實際上兩者是一樣多的，原因很簡單，兩個集合可以一一對應，每一個整數都有一個偶數與之對應，整數乘以2就是偶數，兩者當然一樣多了。

如果你接受了“整數和偶數一樣多”，自然就更容易接受“實數和無理數一樣多”！

好了，到這里只是理論上的分析，下面來詳細具體分析一下有理數和無理數的性質和關系。

1.有理數和無理數都是稠密的，但無理數比有理數更稠密。

什么是稠密？簡單理解就是緊挨著，就像很多人站成一排，每個人都是緊挨著旁邊的人，到底有多緊？非常緊，緊到我們無法想象，緊到變態的程度。

舉個例子，1和2在我們印象里挨得很近，但1和2中間還有3/2。1和1/2看起來更近吧？但它們之間還有3/4......

如此類推下去，我們會發現，無論兩個有理數挨得有多近，當把它們扒開之后就會發現，兩者之間還有無數個有理數！

這就是所謂的稠密。

有理數已經這么稠密了，無理數竟然比有理數還要稠密，這讓我們更難理解了。不要著急，之后會一點點分析。

關于稠密，很有必要強調一點，所謂的“稠密”并不意味著是連續的，通俗理解就是，盡管有理數非常稠密，但遠不能把數軸都填滿，數軸上還有更稠密的無理數。

通俗理解是這樣的，不管兩個有理數挨得有多近，總能在兩者之間找到其他有理數。

也就是說，有理數所謂的稠密，只是建立在“有理數”這個概念上的，是“有理數的稠密”。但稠密的有理數并不是連續的，這意味著，不管兩個有理數挨得有多近，中間也會有無數個無理數。

但是無理數的存在并不影響有理數的“稠密性”。打個有些嚇人的比喻，有50個人緊挨著站成一排，肯定是稠密的，但每個人中間都存在無數多個“鬼”，但“鬼”的存在并不影響人的稠密性！

2.無理數是無限不循環小說，其實也可以這么理解：在小數點后面隨便亂寫，就是無理數。

我們都知道，無理數是無限不循環小說，不循環通俗來講就是沒有規律，就是隨便亂寫的。既然有無限不循環，那就有無限循環，無限循環小數是有理數，而只要是循環的小數，就一定能寫成分數，因為循環節的出現就意味著余數的重復，這點其實并不難證明，這里也不再證明了，不太明白了可以直接用無限循環的分數做除法豎式，看看余數和循環節什么時候出現，很容易就明白了，比如說1/6，你可以試試。

而無限不循環小數，都不能寫成分數。無限不循環讓人感覺有點不舒服，好像一個妖孽一樣，如此讓人捉摸不定。但是我們可以嘗試用有限小數來理解無理數。

隨便舉個例子，你可以在鍵盤上隨便敲擊一個無理數，，這個無理數是真隨機數，比如說0.6754837263......

這個數就是我閉著眼睛隨便敲鍵盤敲出來的，你也可以隨便敲。

很明顯0.6＜0.6754837263......＜0.7

把范圍繼續縮小，就是0.67＜0.6754837263......＜0.68

繼續縮小，就是0.675＜0.6754837263......＜0.676

如此類推，不斷縮小范圍，精確度越來越高，我們就能逐漸看出來無理數到底是一個什么樣的數。

有人可能會質疑：上面那個無理數真的存在嗎？難道你隨機用鍵盤敲擊出一個小數就是無理數嗎？

確實是這樣，而且只要存在有理數，那么必然會存在無理數。

更不可思議的是，之前說了，有理數是稠密的，但稠密并不代表連續。如果無理數看到有理數如此稠密，肯定會這樣想：你們彼此之間確實挨得非常緊，但我還是覺得你們家里好空，所以我想進去。

別說，無理數還真的進去了，盡管有理數是稠密的。不但進去了，而且所有的無理數都進去了。

進去之后，我們就發現，有理數和無理數一起組成了一個新的大家庭，也就是實數，所有的實數與數軸是一一對應的，這又頓時讓我們覺得非常舒適，全然沒有了剛才無理數的“無理”感。

3.數軸上為何幾乎全是無理數？

雖然有理數和無理數一起組成了實數，但現實情況是，無理數要比有理數多得多。雖然有理數和無理數都是無窮多，但兩個無窮完全不是一個等級的，無窮也是有大小的。打個比方，無理數的無窮是有限的無窮，而無理數的無窮是無限的無窮。

可以這樣通俗理解，如果有理數的數量是1，那么無理數的數量就是所有的整數！

這就來到了題目中的問題，在數軸上隨便砍一刀，砍到有理數的概率為0！而砍到無理數的概率為100%！

當然，這里還要繼續強調，概率為0并不代表不可能事件，概率為100%也不代表必然事件。當然這里的概率只是一個概念，更多的是指數學上的概率分析。關于這點不再過多解釋，你只需要選擇相信就可以了，不相信的送兩個字：民科！（好像有點霸道，呵呵）

這里有一個疑問，無窮多和無窮多到底該怎么比較大小呢？

其實剛才已經對比過了，簡單說就是利用集合的概念，兩個無窮的合集只要能一一對應，就是一樣大的，反之就不一樣大。

比如偶數和整數兩個集合就能一一對應，偶數和整數就是一樣多的，剛才也證明了。

這種思想最早出自于康拓爾，他還提出了一個“可列”的概念，比如，上面提到的整數，偶數和奇數都是“可列”的，所以它們的數量一樣多。

這里強調一下，“可列”這個概念是翻譯過來的，也有翻譯成“可數”的，兩者是一個意思，不過我感覺“可列”更能表達原意。

整數，偶數和奇數都是“可列”的，那么有理數也是“可列”的嗎？

答案是肯定的，證明方法其實很簡單，因為有理數其實就是分數，用p/q來表示，這里只需要把p+q按照從小到大依次排列就可以了，結果就是：

1/1,

1/2, 2/1,

1/3,2/2, 3/1,

1/4, 2/3, 3/2, 4/1,

1/5, 2/4, 3/3, 4/2,5/1

很明顯，有理數也是“可列”的。那么問題來了，無理數是“可列”的嗎？

答案是否定的，無理數并不是“可列”的。為什么？如何證明？有一個絕妙的方法，還是康拓爾提出來的，“對角線證法”，具體過程可能比較復雜，這里盡量以通俗的語言來講述，利用的是反證法。

假設無理數是“可列”的。

嘗試列出0到1之間的所有無理數，當然我們不可能真的全部列出，只需要閉著眼睛對著10個數字鍵盤一通盲打就可以了，順序并不重要。比如說打出了一下無理數：

仔細觀察，我們會發現一個規律，所有的無理數組成了一個矩形陣列，并且列數和行數都是一樣的，都是n，這意味著上面所有的無理數組成的是正方形陣列。

如此一來，我們就可以從無理數的左上角到右下角直接劃出一個對角線，對角線就會穿過第一個行，也就是第一個無理數的第一列，然后穿過第2行第2列......直到穿過第n行的第n列。方便起見，我們把穿過的數字用紅色標記出來，這個數字就是：859032......

接下來我們把上面的數字每一位都加1，其實加幾都無所謂，最終得到的結論都是一樣的。

加上1之后，會得到數字960143......，把這個數字與上面所有的無理數對比，你會發現這個數與任何一個無理數都不同，這個應該很容易理解吧？

這說明了什么呢？說明無論你多么努力，都不可能把0到1之間的無理數全部列出來，總會有你列不出來的無理數存在，比如上面那個數960143......。

也就是說一開始的假設：“無理數是可列的”不成立。所以無理數是“不可列”的。

其實按照康拓爾的數學理論體系，我們根據一個集合是否“可列”，可以這樣更通俗地理解有理數和無理數：由于有理數是“可列”的，所以有理數的無窮是“可數無窮”，而無理數是“不可列”的，所以無理數是“不可數無窮”。

一個可數，一個不可數，兩者差別太大了，完全不是一個量級的。

也就是說，無理數的“無窮”，要比有理數的“無窮”更高一級，而這種級別也被康拓爾稱之為“勢”！

關于“勢”這種定義，其實是很復雜的，水也很深，這里就不展開了，說實話我也沒有了解得更深，能力有限，也不敢繼續深入研究下去，以免路走歪了最終走上民科的道路。

最后一個問題：如何具體證明無理數比有理數多得多呢？畢竟上面只是講述了“可列”與“不可列”的區別，并沒有完全證明。

要想證明無理數比有理數多得多，當然不可能一個一個去數，也數不過來。但我們可以換一種思維，用“概率”的方式去證明。

說白了，我們可以在實數的數軸上任意取一個數，然后計算這個數正好是有理數的概率，如果這個概率是0，那么就足以證明無理數遠遠多于有理數。

但難題又來了，計算某個事件的概率，通常都是以有限的樣本為基礎的，而這次我們面對的是無窮多的有理數和無理數，該怎么計算有理數的概率呢？

這時候我們還要跳出固有的思維，不要忘了，有理數和無理數不僅僅是某個數字，還是“一條直線”，一條數軸這樣的直線就可以表達出全部實數。

那么，我們完全可以用幾何去表達數學，其實這就是所謂的“測度”。何為“測度”？通俗理解就是“長度”，測量的是幾何區域的長度。

這里有一個訣竅，我們只需要計算出有理數在數軸上的點的測度就可以了，也就是有理數在數軸上的點粘結起來的總長度。如果最終的測度，也就是總長度為零，那么在數軸上得到有理數的概率就是0。

如果把數軸上有理數上的點粘結起來呢？可以假設第一個有理數點的長度為x，第二個有理數點的長度為1/2x......第n個有理數點的長度就是x除以2的n次方。

為何一定要這樣設定呢？因為好計算更容易理解，非要設定成其他的數，也不是不可以，只是會非常復雜，但都不影響最終的結果。

這樣設定好之后，利用等比數列求和公式，我們很容易計算出全部有理數點的總長度為2x，證明過程就不需要詳述了吧？畢竟這僅僅需要初中數學水平就可以做到。

這就意味著，全部有理數點的總長度是第一個有理數點長度的兩倍。

到這里問題就很簡單了，只需要求出第一個有理數點的長度就可以了。而一個有理數上的點的大小是多少呢？顯然就是0。于是乎，全部有理數的總長度，也就是測度就是0的兩倍，結果還是0。

所以有理數的測度是0，無理數的測度是1，那么在數軸上隨機砍一刀，砍到有理數的概率就是0。

到這里，肯定會有人提出：你這個證明過程就是詭辯，既然點的大小是0，何必如此麻煩，不管多少個零，最終相加起來肯定還是0啊。而且用這種方式來證明無理數的長度，結果不也是0嗎？

其實這就涉及剛才所說的無窮中“勢”的概念，測度論還有“可列”與“不可列”的區別。通俗來講就是，無理數的“無窮”，和有理數的“無窮”并不一樣。前者不可列，也就是不可數，而后者是可列的，是可數的。可數在不可數面前其實與0沒啥區別。

你并不能用上面同樣的方法計算出無理數的測度多多少，因為無理數是不可列的，并不存在“第n個無理數”，但是存在“第n個有理數”，因為有理數與整數是一樣多的，兩者可以一一對應。

其實還有其他方法可以通俗理解為何“在數軸上隨機取一點，取到有理數的概率為零”，比如說，數軸的精度是無窮的，而有理數其實相當于一個有限精度的點，而無理數相當于無限精度的點。而剛才說了，數軸的精度是無窮的，所以在數軸上隨機取的點，100%會是無理數。

最后說一點，“在數軸上隨機取一個點”這種行為其實是沒有意義的，因為我們根本無法定義“在數軸上隨機取一個點”這種事件，這種事件并不符合概率論中隨機事件的測度相關要求。

雖然無法定義，但這并不妨礙我們對有理數，無理數之間關系的理解，還有對無窮大小的理解。關于無窮的概念，您有什么看法呢？留言區討論吧！

完！