小樂數學科普：Tony Phillips教授的數學讀報評論2025-03

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本月主題：

1. 人群演算

2. 實體數學和無實體數學

作者：Tony Phillips（量子雜志主編）2025-4-30

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-5-5

1. 人群演算

當兩組人以相反的方向行走通過走廊時，他們往往會形成一些由同方向的行人組成的人行路線。但是當兩組人彼此垂直移動時，沒有人行路線形成。這種現象在其他涉及膠體、等離子體和細胞自動機的“主動流”（active flows）中也被觀察到。

下面三張靜態圖片中，淺藍色和深藍色箭頭分別指示粒子的位置和運動方向。在第一張靜態圖片中，箭頭隨機散布，指向多個方向。在第二張靜態圖片中，箭頭更加水平。在最后一張靜態圖片中，深藍色箭頭向右移動，淺藍色箭頭向左移動的軌跡開始形成。

一次模擬過程得到的相等時間間隔（從上到下）的三張靜止圖像，顯示粒子正在“形成人行路線”，深藍色箭頭向右移動，淺藍色箭頭向左移動。摘自尼古拉斯·貝恩（Nicolas Bain）和丹尼斯·巴托洛（ENS-Lyon） https://www.nature.com/articles/ncomms15969 的“模型二元活性液體中的臨界混合和普遍相關性”中的補充電影S1，Nat Commun 8,15969（2017）。在CC by 4.0許可證下使用。

3月24日在《美國國家科學院院刊》上的一篇文章 https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2420697122 調查了人群行為的這一特征。參閱 。作者（由麻省理工學院的 Karol A. Bacik領導）研究了兩組人路徑之間的精確角度如何影響人行路線形成。正如他們所描述的那樣，他們結合使用了“理論分析、數值模擬和程式化實驗”。

該團隊在體育館中設置了一個8m×6m的矩形區域，每個短端設置了5個門。在每個門口對一組受試者進行分組，并單獨指示穿過區域前往另一端的特定門。作者報告了五種“情景”的演變。在第一種情況下，受試者被指示直接走到另一側相同編號的門；在隨后的場景中，他們被分配了越來越多的斜路徑。以下是t=4、8、12和18的劇照，取自一段22秒的場景1和5并列視頻。

下面兩張靜態照片，每張都顯示兩組人（一組藍色，一組紅色）正朝著彼此走去。

藍色和紅色的人群現在混合在一起。在左側靜態照片中，他們形成了紅藍色的人行路線，而右側靜態照片則更加雜亂無章。

在左側靜態照片中，紅色和藍色的人群大部分已經互相穿過。在右側靜態照片中，他們仍然混合在一起。

左側的人群仍然已經穿過了人行路線，但右側仍留下一些行人。

在第一個和第五個場景中以相同的時間戳拍攝的靜止圖像。在場景1中，參與者被指示直接向前走。在后來的場景中，他們朝著越來越斜的方向行走。在視頻處理中，受試者被用紅色或藍色的圓盤來識別，這取決于他們來自哪一端。請注意，到最后一個時間戳時，場景1已經完成，而場景5中的參與者仍在行走。PNAS 122（14）e2420697122中補充電影S1的劇照。在CC by 4.0許可證下使用。

圖源：研究人員提供

當兩條路徑彼此成一個小角度時，作者觀察到一些人行路線，但有一個臨界角度，超過這個角度它就會消失。

他們的理論分析支持了這一觀察。作者假設所有“代理人”（智能體）都以相同的速度移動，并分析了ρθ：具有首選方向θ的“代理人”的空間密度。ρθ隨位置和時間而變化。他們對ρθ推導出一個偏微分方程，并探索其解的穩定性。他們確定一個關鍵參數是方向分布的標準差γ：如果γ大于大約13°，則無序狀態是穩定的。如果γ小于這個臨界角，則無序狀態不穩定，并坍縮為以人行路線為特征的有序狀態。

2. 實體數學和無實體數學

具體與抽象、舉例與概括之間的創造性張力是數學家熟悉的話題。Danyal Farsani（挪威科技大學，特隆赫姆）和Omid Khatin-Zadeh（中國電子科技大學，成都）在2月19日的一篇文章中探討了數學教育的意義。https://www.frontiersin.org/journals/education/articles/10.3389/feduc.2025.1528755/full 他們區分了兩種數學教育方法。

第一種更傳統，使用“抽象符號和數學概念和結構的抽象表示”。他們稱這種方法為無實體的。它與實體方法形成鮮明對比，后者是參與“數學概念以身體運動或世界上其他物理材料表示”的過程的日益增長的趨勢。

Farsani和Khatin-Zadeh引用了許多參考資料，表明從無實體到有實體的轉變解決了數學教育中的許多問題。向學生展示有形且易于理解的概念，用作者的話來說，使主題“更容易消化”。他們給出的一個很好的例子是微積分中導數的表示為曲線的斜率。導數作為比率極限的正式定義是無實體的，并且更難掌握。

但作者也觀察到，數學的某些重要方面是具體方法無法觸及的，而且在教育中過分強調具體的例子實際上可能會削弱數學思想。

他們的主要例子來自代數。有限群的概念可以以實體的方式傳遞。沒有給出示例，但他們可能想到了通過操縱材料模型來說明多面體的對稱群，或者通過在黑板上寫出完整的乘法表來表示一個小的有限群。另一方面，兩個群之間的同構性的重要概念更加抽象。

正如他們所說，矩陣可以與幾何對象的對稱性同構。它們每一個都可以以實體的方式呈現，但“它們之間沒有容易觀察到的相似之處”。同構沒有感覺運動特征，它是一種純粹的心理結構，但它是理解群的重要組成部分。

作者繼續推導出他們論點的教學后果：“這兩種模式都需要以均衡的方式并行強調。他們沒有給出如何實現這一目標的具體細節，但他們指出，目前這種良好的平衡“在我們的數學教育計劃中沒有觀察到（至少在伊朗、英國、智利、巴西、挪威和中國沒有）。

這次討論中缺少了對學習方式因學生而異的事實承認。正如數學家所知道的那樣，拓撲學家的“實體”內容對分析學家來說可能看起來非常抽象，反之亦然。分析學家可以查看一個包含長序列項的方程，并“看到”將哪些項分組以證明所需的不等式；拓撲學家可以查看一個結的兩個截然不同的投影，并“看到”如何操縱一個投影以匹配另一個投影。

這些心理觀點的差異可能不僅僅是訓練的結果，而且很可能是最初促使選擇子學科的原因。可追溯到 Stanislas Dehaene https://www.science.org/doi/10.1126/science.284.5416.970 及其合作者的大量研究表明，大腦的不同部分參與計算的不同方面；我的感覺是，不同的孩子以不同的方式進行數學學習是完全合理的，而理想的數學教育將利用這些差異為每個學生提供最好的學習機會。

瑪麗蓮·伯恩斯（Marilyn Burns）的《大聰明的數學》（Math for Smarty Pants）https://archive.org/details/MathForSmartyPants-English-MarilynBurns/page/n113/mode/2up （利特爾·布朗出版社青少部，1982年）是一本非學術性但非常吸引人的書，擴展了多元數學智能的概念，https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-mi1 包括邏輯、空間和語言；雖然它是針對年輕人的，但教師可以將其閱讀為建議了多種方法來接觸各種學生。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-march-2025/

https://www.nature.com/articles/ncomms15969

https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2420697122

https://www.frontiersin.org/journals/education/articles/10.3389/feduc.2025.1528755/full

https://www.science.org/doi/10.1126/science.284.5416.970

https://archive.org/details/MathForSmartyPants-English-MarilynBurns/page/n113/mode/2up

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-mi1

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