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      從新定義看學生運算模型的建構(gòu)

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      從新定義看學生運算模型的建構(gòu)


      站在小初高一體化貫通培養(yǎng)的高度看整個12年的教育經(jīng)歷,中考和高考是兩個重要節(jié)點,尤其是后者,俗語說高考是整個基礎(chǔ)教育的風向標,一點都沒錯,我們不妨先看一下幾份2024年高考數(shù)學試卷的壓軸題,如下圖:

      2024年全國新課標I卷第19題


      2024年全國新課標II卷第19題


      2024年北京高考數(shù)學第21題


      關(guān)鍵詞:數(shù)列、新定義、集合、函數(shù)、圓錐曲線、概率;

      明確了方向,再來看中考,2024年全國各地中考題里,也有不少壓軸題以新定義形式呈現(xiàn);所謂新定義,考察學生理解概念并運用概念的能力,這在數(shù)學學習中非常重要,畢竟數(shù)學就是玩概念,如何把概念教學做好,也是初中數(shù)學教師應(yīng)該正視的問題,從七年級開始,滲透新定義的理念,在這個階段,學生會重新從基本運算開始,數(shù)域擴充后的運算與小學區(qū)別很大,許多在小學行之有效的學習方法例如刷題、強記等,在初中行不通,整個初中階段,在運算上花費最多時間的,也正是在七年級有理數(shù)運算章節(jié)中,我們通過這一章的學習,究竟要學到什么?僅僅是會計算就行了嗎?

      個人認為,這個章節(jié)結(jié)束之后,學生應(yīng)該建立自已的運算模型,不僅能夠完成數(shù)字與數(shù)字之間的運算,也能夠在看到式與式之間的運算后不感到驚詫莫名、手足無措,等進一步學習了代數(shù)式和整式的加減,這個運算模型就成型了,并借助這個模型,在進一步擴充至實數(shù)范圍后,無疑銜接,而在高中階段再一次擴充數(shù)域,這個經(jīng)驗?zāi)軌蛴玫蒙稀?/p>

      下面以海淀區(qū)七年級期中試題第26題為例:

      題目


      解析:

      01

      (1)讀懂新定義是關(guān)鍵,對于這兩個新運算,簡稱圈加和圈乘,圈加的意思是給兩個整式分別乘以相應(yīng)的系數(shù)a、b,再相加,熟悉高中數(shù)學內(nèi)容的會立刻想起矩陣乘法,如下圖:


      在跟學生解讀時,可以借助這個符號,但不必提矩陣概念;


      這一小題本質(zhì)上是模仿,我們多數(shù)所謂新運算題都是這個套路,給列式套上了個新定義的殼兒;

      02

      (2)本小題需要對新運算有著更深入的理解:


      每次運算都是對前面的結(jié)果的迭代,觀察前面三次運算后A的系數(shù),由a+b變成a(a+b)+b=a2+ab+b,再變成a(a2+ab+b)+b=a3+a2b+ab+b,特點是有幾個A參與運算,結(jié)果就有幾項,再合并同類項,最高次項只有單獨字母a,次數(shù)比項數(shù)少1,最低次項是單獨字母b,并且除第一項外,各項均有因數(shù)b;

      這里的難點是數(shù)運算中A的個數(shù),n個A圈加,先拿前兩個進行一次運算,還剩下n-2個A,再從剩下的拿出一個繼續(xù)和前面的結(jié)果進行一次運算,還剩下n-3個A,依次類推,到最后一次運算,應(yīng)該剩下0個A,對照前面a的次數(shù)即可得到結(jié)論;

      然后是對最后得到的式子進行數(shù)學解讀,等式右邊是固定數(shù)字1,而由于n是任意正整數(shù),因此需要讓其底數(shù)為0或1才能保證結(jié)果唯一,顯然a=0更符合,在得到a的值之后,b的值也隨之確定,因此a=0,b=1;

      03

      (3)增加了A和B這兩個代數(shù)式的復(fù)雜度,運算模型不變,因此繼續(xù)利用前面的經(jīng)驗推導(dǎo):


      此時需要理解“不含xy項”的意義,即將上式利用分配律去年括號之后,含xy項的系數(shù)合并為零,所以我們沒有必要把全部整式乘法展開,只需要盯住7xy和前面系數(shù)相乘,以及-30xy與前面系數(shù)相乘的結(jié)果;


      p和q是正整數(shù),我們可以開始嘗試了,先觀察右邊有因數(shù)30,因此左邊的運算結(jié)果中,個位數(shù)為0,則要求7乘某個數(shù)后,個位數(shù)為4,根據(jù)乘法口訣,7×2=14,即2的p+1次冪,個位數(shù)為2,而在2的乘方運算中,1次和5次冪結(jié)果個位數(shù)為2,所以p+1首先要從1和5開始試,顯然p+1=1時,p=0,不符合;因此p+1=5時,p=4,左邊=240,右邊可求出q=3;

      于是p=4,q=3.

      解到此處應(yīng)該算完結(jié),但始終會存在一個疑問,p和q再取更大一點的正整數(shù),會不會仍然成立呢?

      自已試了一下,p+1=9時,左邊=3600,也確實沒找到相應(yīng)的正整數(shù)q使等式成立,沒繼續(xù)尋找下去,但心里又沒底,所以建議這道題最后一問改為找出最小的正整數(shù)p和q的值或找到一組存在的p和q的值.

      解題思考

      新定義題型對學生的數(shù)學閱讀能力、邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力都有相對較高的要求,它讓學生經(jīng)歷了一次完整的“用數(shù)學”過程,這對于未來學習新的數(shù)學內(nèi)容,就是可供借鑒的寶貴經(jīng)驗,我們通常所說的授人以漁,這個“漁”的含義就是數(shù)學經(jīng)驗;

      學生在七年級階段經(jīng)歷的就是一種運算模型的建構(gòu),我們在學習有理數(shù)運算法則時,學習的是如何將那些用運算符號連接的數(shù)字求出結(jié)果,而在學習整式的加減時,只當過將數(shù)字換成了整式,法則仍然不變,所以對于法則的理解,從有理數(shù)到整式,是更深了一層,其實學生在學習過程中,也很自然地發(fā)現(xiàn),合并同類項本質(zhì)上就是進行加法,而且屬于代數(shù)和,去括號本質(zhì)上就是乘法分配律,這些都在運算法則框架下,包括本題中的圈加和圈乘,依然適用于七年級學習的這些法則。

      由常識可知經(jīng)驗的積累是一個長期過程,因此數(shù)學學習也一定是個慢過程,無論是作為老師或家長,心里需要存在一種期待。雖然我們在現(xiàn)實中,講的最多的就是高效、快捷等一系列與“慢”字相反意義的詞句,但這些并不矛盾,所謂的慢,是指建立模型的過程,一旦建立成功,那自然就快了,該慢則慢,該快則快,是要分場景的,不要一概而論。

      所以對于我們的課堂,請盡可能“慢”下來,讓數(shù)學有更多時間滲透到每個孩子的腦子里,對于每位家長,也請把心也“慢”下來,花開需要時間。

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