概念教學，理解越深，破題越快

概念教學，理解越深，破題越快

在數學教學中，最重要的是數學概念教學，最難的也是數學概念教學，對學生而言，數學概念理解越深，越透徹，解題時思路就越容易找到。

在二次函數壓軸題中，這種對數學概念的理解要求愈發重要，以武漢市九年級某期中考試壓軸題為例，多數學生面對最后一問時的手足無措，基本上源自于對圓概念理解不夠，用學生自已的話講“沒想到是圓”，因此，破解這種“沒想到”，讓其變成“想到”，重視概念教學幾乎是唯一的出路。

題目

已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，Q為拋物線上第一象限內一點，若∠AQC=2∠BAQ，求點Q的坐標；

(3)如圖2，P為x軸上方一動點，直線PM，PN與拋物線均只有唯一公共點M，N，OH⊥MN于點H，且△PAB的面積是10，求線段OH長度的最大值.

解析：

01

(1)將點A(-1,0)和B(3,0)代入y=ax2+bx+3，求得a=-1，b=2，所以拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

02

(2)觀察圖中的∠AQC和∠BAQ，我們過點Q向y軸作垂線DQ，如下圖：

由DQ∥x軸，可知∠BAQ=∠DQE，而∠AQC=2∠BAQ，得∠DQC=∠DQE，我們可得等腰△CQE，從而點D為CE中點；

不妨設Q(t,-t2+2t+3)，則D(0,-t2+2t+3)，利用中點公式列方程得：3+3-t=2(-t2+2t+3)，解得t=0或5/2，顯然t≠0，則t=5/2，因此Q(5/2,7/4)；

03

(3)見動設參的意思是，對于題目條件中的動點、動線，通常情況下設它的坐標或解析式系數為參數，并用這個參數來表示其余的點、線段長、函數解析式等，即設點參或線參，首先不要怕參數，其次要盡量尋找各參數之間的關系，這都需要對相應的數學概念有足夠的理解；

關于如何選擇設點參或線參，由于題目最終是求線段OH最大值，而點H在直線MN上，這是一條動直線，因此設線參在計算推導中會簡便一些；

現在我們來解讀直線MN的解析式，將其變形得

y=k(x-1)+3，觀察這個解析式右邊，當x=1時，y=3，與k取值無關，這意味著直線MN經過一個定點Q(1,3)，如下圖：

我們連接OQ之后，則△OHQ始終為直角三角形，且斜邊為OQ，聯想一斜邊為定長的直角三角形，其直角頂點H在某個圓上，如下圖：

取OQ中點E，以點E為圓心，OQ為直徑作圓，現在再來看題目要求的線段OH，在圓E中是弦，而圓內最長的弦是直徑，于是OH最長時，長度即直徑OQ=√10，所以線段OH長度最大值是√10.

解題思考

2024年武漢各區的二次函數壓軸題，典型特征是拋物線背景下的動點、動線問題，因此需要設參后進行推導，推導依據包括直線與拋物線相交，直線與直線相交需聯立方程，判斷交點個數用判別式，兩根關系韋達定理等，在推導過程中，會出現選擇用其中一個參數來表示另一個參數的情況，這也是學生最容易迷糊的地方，很多學生推導時表示方式錯了，導致計算量非常大，甚至得不到相應的結果，出現恒等式，而選擇表示誰需要認真閱讀題目條件和結論，知道解題方向，在正確理解題意的前提下，才不會搞錯“碼頭”；

對于直線過定點的解讀，也是學生思考中的另一個難點，雖然在平時練習中我們講過不少此類習題，但仍然存在部分學生，得到解析式后，沒有朝這個方向去思考，而教學中要解決這個問題，靠增大練習量是不夠的，重復訓練得到的只是條件反射，而不是思考力的提升；

對于題目中的圓，首先要觀察到定點Q，然后是定線段OQ，它的身份是直角三角形的斜邊，需要借助我們曾經教材上的圖例：

教材的這一處，并未提及共斜邊的直角三角形，但我們在教學中，可以通過讓學生作圖觀察，引導學生去發現這個結論，當然僅僅是發現還不夠，在課堂上，還可以用相應的習題去強化它，按學生認知螺旋上升的原則，在后續教學中，不斷重現，從而將其內化為學生的思維。