嗎嘍傳說（一.嗎嘍不是人 二.四 有趣的貝葉斯公式）

貝葉斯公式：

H表示Hypothesis（假設(shè)），E表示Evidence（證據(jù)），貝葉斯定理的意義就在于，給定一個先驗(yàn)概率P(H)，在出現(xiàn)了證據(jù)E的情況下，計算后驗(yàn)概率P(H|E)。而P(E|H)則為當(dāng)假設(shè)H為已知時，結(jié)果為證據(jù)E一致的概率。

有趣的例子一（https://liaoxuefeng.com/blogs/all/2023-08-27-bayes-explain/index.html）：

已知一種疾病的發(fā)病率為0.1%。有一種檢測手段測試結(jié)果準(zhǔn)確率非常高：

• 如果有病，則準(zhǔn)確率是99%（即有1%未檢出陽性）；
• 如果沒有病，則誤報率是2%（即有2%誤報為陽性）。

現(xiàn)在，如果一個人測試顯示陽性，請問他患病的概率是多少？

用H表示患病，E表示測試為陽性，那么，我們要計算在測試為陽性的條件下，一個人患病的概率，就是計算P(H|E)。根據(jù)貝葉斯定理，計算如下：

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H)/P(E)

P(H)表示患病的概率，根據(jù)發(fā)病率可知，P(H)=0.1%；

P(E|H)表示在患病的情況下，測試為陽性的概率，根據(jù)“如果有病，則準(zhǔn)確率是99%”可知，P(E|H)=99%；

P(E)表示測試為陽性的概率。這個概率就稍微復(fù)雜點(diǎn)，因?yàn)樗侵笇λ腥耍ò∪撕徒】等耍┻M(jìn)行測試，結(jié)果陽性的概率。

我們可以把檢測人數(shù)放大，例如放大到10萬人，對10萬人進(jìn)行檢測，根據(jù)發(fā)病率可知：

• 有100人是病人，另外99900是健康人；（發(fā)病率為0.1%）
• 對100個病人進(jìn)行測試，有99人顯示陽性，另有1人未檢出（陰性）；（測出準(zhǔn)確率為99%）
• 對99900個健康人進(jìn)行測試，有2%=1998人顯示陽性（誤報），另有98%=97902人為陰性。（誤報率為2%）

所以，對于10萬人的樣本空間來說，事件E=顯示陽性的概率為(99+1998)/100000=2.097%。

帶入公式：

計算結(jié)果為患病的概率為4.721%。（概率）

如果這個患者再次進(jìn)行了檢測，結(jié)果依然為陽性，那么他患病的概率又是多少？

我們?nèi)匀皇褂秘惾~斯定理計算，只不過現(xiàn)在先驗(yàn)概率P(H)不再是0.1%，而是4.721%，P(E|H)和P(E|H)仍保持不變，計算新的P(H|E)：

結(jié)果為71%，兩次檢測為陽性的結(jié)果使得先驗(yàn)概率從0.1%提升到4.721%再提升到71%，繼續(xù)第三次檢測如果為陽性則概率將提升至99.18%。

第二個例子就是廣為流傳的三門問題了：

一個抽獎節(jié)目，舞臺上有三扇門，其中一扇門的后面有汽車，其余兩扇沒有，選中有汽車的那扇門就可以贏得該汽車。首先參與者從三扇門中選擇一扇，接著主持人會故意打開一扇沒有車的門，并詢問參與者是否要更改自己的選項(xiàng)。請問更改選項(xiàng)和不更改選項(xiàng)哪個的中獎概率更高？

這是一個很容易犯錯的問題，許多人會忽略題目中隱藏的一個重要信息——主持人事先知道哪扇門后面有車、哪扇門后面沒車。主持人不會直接打開參與者選擇的門（因?yàn)檫@樣節(jié)目就直接結(jié)束了），也不會打開有車的那扇門。

定義H E兩個事件：

H：參與者選擇的是有車的那扇門的概率。P(H)=1/3

E：主持人打開除去參與者選擇的，剩下兩扇門中，其中一扇的概率。P(E) = 1/2

我們用A/B/C來表示三扇門來表示與順序無關(guān)。

參與者選擇了A門，主持人打開了B門。此時主持人問參與者要不要將選項(xiàng)更換為C門？

我們來計算下P（H|E）的概率，既參與者對于支持人給出的是否修改選擇機(jī)會時，做出修改選擇和不修改選擇的不同情況中大獎的概率。

這個公式中，P(H)=1/3；P(E)=1/2。

但是，P(E|H)既主持人確定參與者選擇A。因?yàn)橹鞒秩耸侵儡囋谀纳乳T之后，開啟B門或開啟C門的概率是不一樣的。

假設(shè)車子在A門之后，主持人開啟B/C門的概率是一樣，既P(E|H) = 1/2。既參與者不更換選擇，帶入公式我們得到的結(jié)果是不更換選擇，中獎概率與第一次選擇時的概率一致都為1/3.

P(H|E)(A)= （1/2[P((E|H)|(A))]）*（1/3）/（1/2）= 1/3

假設(shè)車子在B門之后，主持人打開B門的概率為0。因?yàn)橹鞒秩酥儡囎釉贐門后，不會開啟B門。

假設(shè)車子在C門之后，主持人打開B門的概率為1。此時參與者修改選擇，從之前的A門換位選擇C門。

P（H|E)(C)=（1[P((E|H)|(C))）*（1/3）/（1/2）= 2/3

當(dāng)然這只是數(shù)學(xué)世界里純粹的概率計算題，現(xiàn)實(shí)世界里是不是會遇上一個知道三門問題而“古布迷陣”的支持人也未可知。

壞心眼的“聰明人”不會放實(shí)物，而使用字條/獎卷這樣的替代品，在最終開啟之前“貍貓換太子”的可能性也不是沒可能，你說是不是--某某彩票？

貝葉斯是一個計算概率的公式，現(xiàn)在被越來越多的應(yīng)用在人工智能領(lǐng)域。這個公式有趣的地方在于，當(dāng)引入了證據(jù)之后，原本難以預(yù)測的事件或者結(jié)果變的不那么“無法預(yù)測”了。