上海
你是否曾好奇，數學家是如何思考的？他們如何從紛繁復雜的表象中，洞察到那個簡潔而優雅的數學真理？
小E為你帶來一部被美國數學協會盛贊為“重新定義證明寫作藝術”的開創性教材——《數學證明的藝術》。這本書榮獲2024年美國數學協會“丹尼爾·索羅作家獎”，是數學教育領域一部真正意義上的杰作。
在大多數人印象中，數學證明或許是高中幾何課上那刻板的兩列格式，或是充滿晦澀符號、令人望而生畏的邏輯鏈條。但在這本書中，作者喬爾·大衛·哈姆金斯向我們展示了證明的另一重面目：它不是冷冰冰的邏輯推演，而是一場通往數學洞見的冒險之旅。
正如加州大學數學教授約翰·貝茲所言：“定理陳述只是一本旅行手冊，各種不同的證明才是真實的冒險。”本書精選數論、組合學、圖論、博弈論、幾何等多個數學主題中引人入勝的定理，用開放散文式的優美筆觸，呈現了一個個輕松有趣的初等證明。每一道證明，都是一次讓數學視野豁然開朗的“啊哈！”頓悟時刻。
讓我們用離散數學領域的一個小小的數學證明，來走進《數學證明的藝術》，讓我們一起探索：證明，何以成為數學的通貨，又何以成為一門值得追求的藝術。
被指的次數多于指向的次數
請你和幾個朋友圍成一圈，互相以不同方式指向對方。每個人可隨意指向一個或多個其他人，或指向自己，或誰也不指。如果你想指向幾個人，可以用雙手、不同的手指，甚至用腳來指。假設可以重復指向同一個人、幾個人，或者自己——盡情發揮吧！可能有些人指得很多，有些人指得較少，被指的情況也是如此。現在，我對你們互相指向的模式能否達到一個特定特征感到好奇。
問題
能否安排每個人總體上被指的次數比指向某人的次數多？
換句話說，能否讓我們所有人被指向的次數都嚴格多于我們指向某人的次數？在繼續閱讀之前，請先自己思考這個問題。
定理
答案是否定的，不可能有一個互相指人的非空有限集，使得每個人被指的次數都多于指向某人的次數。
讓我們給出幾個不同的證明。
第一種證明假設有一個有限的人群互相指向對方或自己。對于每個人，令“被指得分”是別人指向自己的次數，“指向得分”是自己指向某人的次數，這兩個得分實例包括所有多次指向和指向自己的情況。令A為所有被指得分之和，P為所有指向得分之和。我主張P=A。其原因在于，從被指方的角度，也就是手指的另一端來看，每次有人指向某人，同時就有人被指。每個指向的實例都會使P和A同時增加1。然而，如果每個人被指的次數都多于指向某人的次數，那么就會出現P
接下來，我們用歸納法證明這個定理。
第二種證明我們通過對人數n運用歸納法來證明這個定理，即n個人組成的集合不能構成反例。該說法對n=1個人成立，因為這個人只能指向自己，如果她這樣做了k次，那么她指向和被指的次數將同樣多。假設該陳述對所有規模為n的群體都成立，考察一個規模為n+1的群體。假設我們對這n+1人做出某種安排，使其中每個人被指的次數都多于指向某人的次數。我們稱其中一個人為“霍雷肖”。只看霍雷肖，則他被指的次數多于他指向某人的次數。因此，我們可以簡單地將霍雷肖從人群中移除，并讓原本指向霍雷肖的人轉而指向霍雷肖之前指向的對象。因為霍雷肖被指的次數多于他指向某人的次數，所以有足夠多原本指向霍雷肖的人接替他的指向任務。經過這樣重新安排，仍然指向霍雷肖原來位置的人都可以放下手指。通過這種方式，我們得到了一個新的配置，人數減少了一個，因此大小為n，但仍然滿足每個剩下的人被指的次數多于指向某人。這與歸納假設相矛盾，即沒有大小為n的這樣的群體，因此我們完成了歸納步驟。所以，任何有限大小的這樣的人群都是不可能存在的。
在第三種證明中，我們采用擬人化的視角，這樣更容易看到某個數學特征的真理。
第三種證明假設我們屬于一個彼此互指的有限人群，其中每個人被指的次數都多于指向某人的次數。假設每個人每指一次，就給被指者1美元；同時假設每個人都有足夠的現金來完成這個操作。值得注意的是，在支付之后，由于每個人被指的次數都多于指向某人的次數，所以每個人得到的錢都比他付出去的多。我們賺錢了！我們可以再做一次，賺更多的錢，一次又一次，想做多少次就做多少次。只要像這樣交換，我們就能賺到數百萬美元。這顯然是不可能的，因為該群體內部的金錢交換不會改變群體的總財富，所以不可能有這樣的指向安排。
我發現第三種證明非常清晰，雖然我承認如果把指向得分和被指得分看作以美元計算的話，它本質上與第一種證明相似。這種清晰性或許源于它用更容易理解的東西——一個群體無法僅通過在內部交換金錢而獲得更多金錢這一基本事實，代替了第一種證明中抽象的數量守恒論證。這種擬人化的論證或隱喻往往能出人意料地簡化數學思想。我們利用人類與生俱來的經驗，使原本復雜的數學問題更易理解。我們賺錢不易這一經驗，讓第三個論證的最終結論顯而易見。
本文節選自《數學證明的藝術》第五章 離散數學
《數學證明的藝術》
[美] 喬爾·大衛·哈姆金斯 著
商周 譯
978-7-5760-6432-2
88.00元
華東師范大學出版社
榮獲2024年美國數學協會“丹尼爾·索羅作家獎”，
一部被盛贊為“重新定義證明寫作藝術”的開創性教材，
幫助培養數學洞察力和數學思維習慣，輕松掌握數學證明寫作技巧。
作者精選一系列引人入勝的數學定理，呈現了輕松有趣的初等證明，涵蓋數論、組合學、圖論、博弈論、幾何、無窮、序理論和實分析等多個數學主題。書中不僅有大量生動的圖例和深刻的論證，還為每章配備習題，方便讀者自學與練習。本書有助于讀者養成良好的證明寫作習慣，精進證明寫作技巧，同時培養數學洞察力和理解力，既是優秀的教材，也適合作為數學愛好者的課外讀物。
作者簡介
喬爾·大衛·哈姆金斯（Joel David Hamkins），美國數學家、數學哲學家，2018—2022年任牛津大學邏輯學教授、彼得·斯特勞森爵士哲學研究員；2022年成為美國圣母大學數學和哲學教授。專門研究無窮數學和哲學，在數理邏輯和哲學邏輯、集合論和集合論哲學、可計算理論和群論方面作出了重要貢獻。
哈姆金斯曾獲數學系杰出教學獎，撰寫的“兒童數學”系列博客文章廣受好評。2024年，他因本書獲得美國數學協會頒發的丹尼爾·索羅作家獎(Daniel Solow Author's Award)。
啟蒙數學文化譯叢
汪宇 叢書主編
叢書書目：
《彩虹：從神話到數學》
《微積分概念發展史（修訂版）》
《數學的歷程》
《高觀點下的初等數學（三卷本）》
《數學：科學的女王和仆人》
《數學思想簡史》
《數學的精神、思想和方法》
《精彩的數學錯誤》
《數學證明的藝術》
制作：劉曉帆
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