《人類科學技術史-248》數學家族（下）

數學家族（下）
3.純粹數學與應用數學的發展

約翰早年也是萊布尼茨的擁護者之一，并與萊布尼茨進行過一些卓有成效的合作。與此同時，約翰也曾與雅克進行過合作。但是，到了后來，約翰因急于成名，開始與其兄進行激烈的競爭，有時甚至把其兄的研究成果作為自己的成果搶先發表。雅克因此對約翰的行為不滿。后來，兩兄弟即陷入公開的沖突和對立中，萊布尼茨曾想從中調解，但雅克認為萊布尼茨是蓄意貶低他的數學成就，因此雅克對萊布尼茨也不滿，并轉到反對萊布尼茨的方面。

約翰接任巴塞爾大學數學教授席位時，年僅39歲。他活了81歲，長壽使他有充裕的時間來完成他的數學著作，因此約翰成為近代數學史上少有的幾位多產的數學家之一。他對近代數學的貢獻，除了與其兄一道建立變分法之外，主要在純粹數學與應用數學兩方面推動了近代數學的發展。

在純粹數學方面，其中主要是在微積分的基礎理論研究方面，約翰在曲線求長和曲面求積的微分方程，在各種不同的積分方法等問題的研究上，均取得過一些新的成果，這些新成果進一步豐富和發展了萊布尼茨微積分的原理和方法。

約翰對純粹數學的貢獻，還表現在對微積分所進行的系統化和理論化的研究工作上。1691年，約翰出版了《微分學初步》，這一著作被當時的大陸許多大學作為微分學的基礎教材。1742年，約翰又發表了《積分學教程》，這一著作也同時被一些大學作為積分學的基礎教材。因此，約翰的這兩大著作被譽為早期微積分的發展中的新的里程碑。

在應用數學方面，約翰把微積分引入到普通力學與天體力學方面。在其《微分學初步》中，就曾探討過微分這一新的數學方法在力學以及整個物理學中的應用問題。1727年，約翰發表了《論運動的交換規律》一文，在普通力學問題的研究中引入了微積分方法。1734年，又發表了《討論行星橢圓軌道，特別是軌道的傾斜度》一文，進一步推進了微積分在天體力學中的應用。

可以說，約翰是繼牛頓之后，把微積分引入普通力學和天體力學的又一代表人物。微積分進入力學的結果，不僅推動了力學及相關的物理學和天文學的發展，而且推動了數學本身的發展。

4.數學家族的第二代兄弟

繼第一代貝努利兄弟之后，約翰的兩個兒子：大兒子尼古拉.貝努利(1695-1726年）和小兒子丹尼爾.貝努利(1700-1782年）也成了著名數學家。人們因此把他們稱為貝努利數學家族的第二代貝努利兄弟，亦稱為小貝努利兄弟。

與其父輩相似，尼古拉雖在數學上作過一些貢獻，但與他的伯父一樣早逝，而丹尼爾則與其父一樣，活到82歲高齡，在近代數學史上產生過更大影響。

丹尼爾生於約翰在格羅寧根大學期間，后隨父返回巴塞爾大學。他早年在巴塞爾大學學醫，此后不久，去德國和意大利留學。1725-1733年間，丹尼爾應聘去俄國彼得堡科學院工作，成為彼得堡科學院的第一批外籍院士。1733-1755年，回巴塞爾大學任解剖學和植物學等課教授。1750年以后，任巴塞爾大學的哲學教授。在數學研究中，丹尼爾綜合了第一代貝努利兄弟的成就，在微積分、概率論以及應用數學方面，均作出了杰出貢獻。

在微積分方面，丹尼爾在1724年即出版了他的第一部數學著作《幾門數學練習》，此后，他又發表了一些關于微積分的著作。在這些著作中，他研究了微分方程與偏微分方程的解法，特別是偏微分方程研究方面，推動了微積分的發展。

在概率論方面，丹尼爾研究了《猜測的藝術》等早期概率論著作，首次把微積分方法列入概率論研究。1730年，丹尼爾發表了《賭博法新論》，1759年，又發表了《關于猜測的新問題的分析研究》。在這兩部概率論專著中，丹尼爾將概率論首次用于人口問題的統計分析，提出了正態分布誤差理論，為人口理論的發展提供了數學方法。

在應用數學方面，他把微積分方法全面引入物理學研究，并因此成為數學物理方法的奠基人。他還應用他的數學物理方法，推進了流體動力學與氣體動力學的研究。1738年，丹尼爾建立了流體動力學與氣體動力學中的基本方程，即流體速度、壓強、勢能之和為一常量的流體運動方程，人們通稱之為貝努利方程或貝努利定理。同年，丹尼爾出版了《流體動力學》一書，書中除奠定了流體力學的一般理論基礎之外，還對流體的噴射推進現象進行了最早的研究。這一研究，使他成為近代噴射理論研究的先驅之一。

在應用數學方面，丹尼爾不僅把微積分引入了流體力學研究，而且也引入了天體力學研究。早在1734年，丹尼爾就與其父約翰合作，研究了行星軌跡的力學問題，并以《行星軌道與太陽赤道不同交角的原因》這一天體力學論文而獲巴黎科學院獎金。

由于丹尼爾在多種數學領域中所作的重要貢獻，他因此成為貝努利家族中與雅克和約翰齊名的著名數學家。

5.數學家族與歐拉和哥德巴赫

在貝努利家族先后產生了11名數學家，這個家族因此成為數學史上著名的數學家族。貝努利家族不僅在微積分、變分法、概率論以及應用數學諸方面作出了重要貢獻，而且在他們的培養和直接影響下，出現了以歐拉(1707-1783年）和哥德巴赫(1690-1764年）為代表的一些著名的數學家。

歐拉是約翰在巴塞爾大學任教時的學生。他出生在巴塞爾附近的一個牧師家庭。他的父親曾要他去學神學，但年少的歐拉卻執意追隨約翰學數學。由于成績優異，15歲時大學畢業，16歲開始發表數學論文，19歲時以船的立桅問題獲巴黎科學院獎金。后來，由丹尼爾推薦，被聘為彼得堡科學院院士，并在1733年前往彼得堡接任丹尼爾的數學教授席位。此后在彼得堡科學院工作8年(1733-1741年），1741年，歐拉應普魯士腓特烈大帝之邀去柏林，在柏林科學院工作了25年。在此期間，歐拉給彼得堡科學院寄去了大批數學論文。1766年，歐拉在雙目即將失明的情況下，仍應葉卡特琳娜女王之邀，重返彼得堡，一直在彼得堡科學院工作到臨終。

歐拉在數學上的重要貢獻，是在貝努利家族的數學成就的基礎上，全面推進了純粹數學與應用數學在各個分支方面的發展。在純粹數學方面，他的主要著作《無窮小分析引論》(兩卷，1748年出版）、《微分原理》(1755年出版）、《積分原理》(三卷，1768-1770年出版）豐富和發展了微積分、微分方程、變分法、微分幾何、數論等各數學分支的內容。在應用數學方面，他以微積分為主要數學方法，對力學、聲學、光學、熱學以及多種工程技術進行廣泛的研究，并取得了有影響的成果，在力學中，歐拉繼承和發展了丹尼爾的流體力學成就，進一步奠定了流體力學的理論基礎，并以流體力學與船舶力學相結合的論文《論船舶的左右及前后搖晃》在1759年獲巴黎科學院獎金。在光學方面，他完成了折射望遠鏡、反射望遠鏡、顯微望遠鏡的許多計算問題，從而推動了幾何光學的發展。

歐拉是科學史上罕見的多產科學家之一。據說他的科學論著若全部出齊，估計多達74卷之多，而且其中不少論著是在他雙目失明后完成的。他的科學成就，特別是他的科學精神，確實是近代科學史上光輝的一頁。

哥德巴赫生于德國，早年留學于英國牛津大學法學系。他在歐洲各國旅行期間，由于結識貝努利家族而開始對數學產生興趣，并開始進行業余數學研究。1725年，哥德巴赫作為普魯士公使出使俄國。1733年歐拉來到俄國之后，哥德巴赫即與歐拉共同探討一些數學問題。1741年歐拉前往柏林之后，哥德巴赫移居莫斯科。自此之后直到哥德巴赫去世的1764年，哥德巴赫與歐拉始終保持著通信聯系。他的不少數學成就，都是與歐拉通信商討過程中取得的。

哥德巴赫在近代數學上的重要貢獻是在數論方面。1742年6月7日，哥德巴赫在給歐拉的信中提出：每一偶數都是兩個素數之和；每一奇數或者是一個素數，或者是三個素數之和；推而言之，任何一個整數n≥6時，都可以用三個素數的和表示。同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中指出：要解決定這一問題的關鍵在于充分證明每一個偶數都是兩個素數之和。因為其他問題可以從這一問題中推導出來。由于這一問題是哥德巴赫最先以猜想的形式提出的，因此這一問題被后來的數學家稱為"哥德巴赫猜想"，或稱為哥德巴赫——歐拉問題。哥德巴赫猜想的提出，對近代數論的發展產生過極大的推動作用。

此外，哥德巴赫在微積分與級數方面也有過一些重要貢獻。

在貝努利家族的影響下，微積分方法在德國也得到比較迅速的普及。去法國傳播微積分的工作主要是由約翰的學生、法國數學家羅彼德(1661-1705年）進行的，并因此為法國在18世紀末和19世紀初的近代數學的繁榮打下了初步基礎。

繼牛頓和萊布尼茨之后，貝努利家族及其數學成就對歐洲大陸數學產生了廣泛的影響。