數論方面獲得菲爾茲獎的第一人

他是數學家中的數學家。

編譯 | 數學家編譯小組

校對 | 慧玲、阿宅

阿特爾·塞爾伯格（Atle Selberg）的父母是奧勒·邁克爾·盧德維格森·塞爾伯格（Ole Michael Ludvigsen Selberg，1877-1950）與安娜·克里斯蒂娜·布里格斯達特·斯凱（Anna Kristina Brigtsdatter Skeie，1874-1971）。奧勒·塞爾伯格是一位數學教師，在48歲時憑借論文《關于質數階代數可解方程理論的一個貢獻》（Ein Beitrag zur Theorie der algebraisch aufl?sbaren Gleichungen von Primzahlgrad）獲得奧斯陸大學博士學位。阿特爾出生時，他的父親是朗厄松中學的高級教師。但阿特爾出生后不久，他父親便調往霍達蘭郡沃斯的一所學校任教三年。至1921年，他已在卑爾根郡立中學教書。阿特爾的母親安娜·斯凱是教師布里特·阿內森·斯凱（Brigt Arnesen Skeie，1846-1939）和布里塔·漢斯達特·布魯（Brita Hansdatter Bru，1842-1915）的女兒，同樣是一名教師。奧勒與安娜·塞爾伯格于1903年7月30日在哈蘭斯達爾結婚，共育有九個孩子——五男四女，阿特爾是他們中最小的。阿特爾的三位兄弟后來也成為了數學家。亨里克·塞爾伯格（Henrik Selberg，1906-1993）出生于卑爾根，后成為奧斯陸大學的數學教授，研究方向為復函數。雙胞胎兄弟西格蒙德·塞爾伯格（Sigmund Selberg，1910-1994）與阿爾內·塞爾伯格（Arne Selberg，1910-1994）于1910年8月11日出生在朗厄松。西格蒙德成為挪威理工學院的數學教授，主要研究素數。阿爾內同樣任教于挪威理工學院，是一位應用數學家，尤其專注于懸索橋的設計。

如前所述，阿特爾的父親因工作調動多次搬遷，因此阿特爾在成長過程中先后居住于沃斯、卑爾根，之后在1932年其父親成為約維克一所學校的校長后遷居該地?；蛟S有人認為阿特爾會從父親那里學到很多數學知識，但事實似乎并非如此。實際上，是父親藏書豐富的圖書館中的數學書籍，在阿特爾童年時將他引向了數學。大約12歲時，全家住在卑爾根附近的奈斯通，阿特爾到卑爾根讀中學。他曾回憶道[2]：

我坐火車去卑爾根上中學。某種程度上這挺不錯的，算是一種通勤列車，車程略超過半小時。我們在火車上做了不少功課。當時有不少學生像我這樣通勤。

通過閱讀父親圖書館里的書籍，阿特爾自學了求解方程的方法。在他父親手抄的卡爾·斯特默（Carl Stormer）講義中，他遇到了級數

多年后他憶起那一刻時說（例如參見[18]）：

……那是如此奇妙而優美的關系式，我決心要讀那本書，弄明白這個公式是怎么來的。

然而，斯特默的講義從用戴德金分割引入實數開始，這讓塞爾伯格感到困惑。但他堅持讀了下去，并發現這些筆記很有啟發性。那時他的主要興趣是分析學，但他的哥哥西格蒙德建議他閱讀父親收藏的J·A·塞雷（J. A. Serret）著作中關于切比雪夫素數分布的工作。當時塞爾伯格正在約維克上高中，而他的哥哥西格蒙德是奧斯陸大學的學生。大約17歲時，塞爾伯格接觸到了拉馬努金（Ramanujan）的文集，那是西格蒙德從大學圖書館借出帶回家的。他不僅對所讀的數學內容深感震撼，也對拉馬努金“充滿神秘感”的個性著迷。斯特默曾在《挪威數學雜志》（Norsk Matematisk Tidsskrift）上發表過一篇關于拉馬努金的文章，塞爾伯格也讀過。受拉馬努金及其著作的啟發，塞爾伯格轉向研究數論，并開始了自己的數學探索。進展順利，他寫成了第一篇論文《論某些算術恒等式》。這篇23頁、用德語撰寫的論文于1936年發表。因此，可以說塞爾伯格在高中時期就已成長為一位數論學家。數學并非塞爾伯格在高中期間自學的唯一科目，他還自學了外語。事實上，在更早的小學階段，他就在姐姐安娜的幫助下開始學習英語。

1935年，塞爾伯格從約維克的高中畢業，考入奧斯陸大學。他的哥哥亨里克將他引薦給早已影響過他的斯特默。塞爾伯格發現斯特默很樂意幫助這位已開始撰寫數學論文的年輕本科生。對塞爾伯格數學發展產生重大影響的另一件事，是1936年奧斯陸國際數學大會上埃里?！ず湛耍‥rich Hecke）的講座。仍在本科期間，他參加了1938年在赫爾辛基舉辦的斯堪的納維亞數學大會，并在托爾斯滕·卡萊曼（Torsten Carleman）主持的分會上作了20分鐘的報告。主修數學的他于1939年春季從奧斯陸大學畢業，獲得碩士學位。隨后的幾個月，他完成了第一階段的義務兵役。他原計劃前往漢堡與埃里?！ず湛擞懻撗芯?，并獲得了資助此項計劃的獎學金，但因1939年秋第二次世界大戰爆發而改變了計劃。他本可留在奧斯陸進行博士研究，但由于圖書館資源匱乏，他去了烏普薩拉，旁聽特里格夫·納格爾（Trygve Nagell，1895-1988）關于丟番圖方程的講座。塞爾伯格在烏普薩拉的大部分時間都在圖書館工作，后于1939年12月返回奧斯陸。然而，塞爾伯格說道[7]：

……戰爭于1940年4月初蔓延到挪威，這中斷了我的數學研究。當我在古布蘭斯達爾與挪威軍隊一同抵抗德國入侵者時，我沒有思考數學。我們也到過厄斯特達倫的上部地區，最后在翁達爾斯內斯附近結束。我是赫格斯塔德少校炮兵營的一名士兵，我非常尊敬他。同樣，當我在特蘭杜姆戰俘營時，[我也沒有思考數學]。當我最終獲釋后，我前往挪威西海岸，后來與家人一起去了哈當厄。

1942年，他被任命為研究員，次年獲得博士學位。他的論文《論黎曼ζ函數的零點》（On the zeros of Riemann's zeta-function）于1943年10月22日答辯，就在11月底德國入侵者關閉大學之前?？脊偈枪瓲柕隆げ枺℉arald Bohr）和索拉夫·斯科倫（Thoralf Skolem），但由于戰爭，從丹麥逃到瑞典的哈拉爾德·玻爾無法前往挪威。斯特默出席了答辯會，并宣讀了哈拉爾德·玻爾的評審報告。答辯剛結束，塞爾伯格就被德國人逮捕入獄，后以離開奧斯陸返回父母居住的約維克為條件獲釋。戰爭的剩余時間里，他在約維克獨自進行關于黎曼猜想的研究。

1947年8月13日，他在斯德哥爾摩與工程師赫維格·利伯曼（Hedvig Liebermann，1919.11.20-1995.7.6）結婚。赫維格是來自特蘭西瓦尼亞的家具制造商盧扎爾·利伯曼（Luzar Liebermann）與塞雷娜·薩洛塔·雅各博維茨（Serena Sarolta Jakobovits）的女兒。阿特爾與赫維格·塞爾伯格育有兩個孩子：英格麗德·瑪麗亞·塞爾伯格（Ingrid Maria Selberg，生于1950年3月13日，現與劇作家穆斯塔法·馬圖拉結婚）和拉爾斯·阿特爾·塞爾伯格（Lars Atle Selberg）?；楹蟛痪?，塞爾伯格夫婦前往美國，阿特爾在普林斯頓高等研究院度過了1947-48學年。此后，他雖獲邀在高等研究院再待一年，但選擇去另一所美國大學訪問。為此他必須離境并獲取新簽證。他和妻子前往蒙特利爾，幾經周折拿到新簽證后返回普林斯頓。保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）在塞爾伯格于加拿大期間抵達研究院，塞爾伯格一回來兩人便見面了。正是在此時，塞爾伯格與埃爾德什得出了素數定理的初等證明。下文將詳述。

接下來的一年，他在雪城大學任數學副教授，并于1949年作為永久成員回到普林斯頓高等研究院。1951年，塞爾伯格晉升為普林斯頓大學教授。值得一提的是，塞爾伯格的妻子赫維格在1950年代是高等研究院的研究員，在馮·諾依曼小組工作，后來又在普林斯頓等離子體物理實驗室任職。

1950年，塞爾伯格在哈佛舉辦的國際數學家大會上榮獲菲爾茲獎（Fields Medal）。授獎旨在表彰他對維戈·布倫（Viggo Brun）篩法理論的推廣，以及他在黎曼ζ函數零點方面的重大工作——他證明了有正比例的零點滿足黎曼猜想。頒獎詞還提到了他與P·埃爾德什共同完成的素數定理的初等證明，以及其對任意算術級數中素數的推廣。素數定理的歷史非常有趣。該定理表述為：

當 時，不大于 的素數個數趨于 。

該猜想在18世紀被提出，但盡管多方努力，當時一直未找到證明。黎曼曾接近證明該結果，但因復變函數理論尚未充分發展而未能完成。到1896年，必要的解析工具已齊備，雅克·阿達馬（Jacques Hadamard）和夏爾·德·拉瓦萊·普桑（Charles de la Vallée Poussin）各自運用復分析獨立證明了該定理。該定理的成功證明被視為解析數論最偉大的成就之一。1949年，塞爾伯格與埃爾德什找到了一個不涉及復函數理論的初等證明。后續事件并非完全清晰，但塞爾伯格在《數學年刊》（Annals of Mathematics）第50卷上發表了兩篇論文：《素數定理的一個初等證明》（An elementary proof of the prime number theorem）和《關于算術級數中素數的狄利克雷定理的一個初等證明》（An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression）。次年，他發表了《算術級數情形的素數定理的一個初等證明》（An elementary proof of the prime number theorem for arithmetic progressions）。不難看出塞爾伯格與埃爾德什之間誤解的根源?；旧?，所有數學家都可以置于一條“合作傾向”的譜線上。塞爾伯格與埃爾德什正處兩端——埃爾德什的大部分成果以合著論文形式發表，而塞爾伯格幾乎沒有合著作品。他們處于“合作傾向”譜線的兩極！

在塞爾伯格眾多杰出的數學貢獻中，還包括以下方面的工作：

……蘭金-塞爾伯格（Rankin-Selberg）方法、黎曼ζ函數理論中的“磨光器”技巧及其在臨界線及其附近零點問題上的深刻應用（塞爾伯格篩法作為其副產品）、……塞爾伯格跡公式、塞爾伯格ζ函數、……自守函數、狄利克雷級數。

塞爾伯格的論文集以兩卷形式出版（1989年，1991年）。馬蒂·尤蒂拉（Matti Jutila）在評論中寫道：

阿特爾·塞爾伯格論文集的出版受到數學界的熱烈歡迎，原因有幾方面。首先，作者是一位在世的大師，約五十年來對數學（尤其是廣義的解析數論）產生了深遠影響。其次，他1947年以前的論文大多發表于發行有限的挪威叢書或期刊，部分甚至在二戰期間出版，現在終于易于獲取。第三，通過這兩卷塞爾伯格論文集，大量極為有趣的數學成果得以面世……[該著作]使人得以從內部欣賞作者創造性工作的宏偉架構。

塞爾伯格是1977年在奧斯陸出版的《阿克塞爾·圖埃（Axel Thue）數學論文選》的四位編者之一。1989年，塞爾伯格發表了《圍繞拉馬努金百年誕辰的思考》（Reflections around the Ramanujan centenary），這是他在1988年1月于孟買塔塔研究所舉行的拉馬努金百年誕辰會議閉幕式上的演講文本。這篇在拉馬努金誕辰100周年之際的致敬文章，顯示了拉馬努金對塞爾伯格數學發展的重要影響。

羅杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown）在[18]中寫到塞爾伯格時，引用了塞爾伯格的話：

塞爾伯格非常謙虛，即使對他最重要的成就也是如此。例如他在1990年曾說：“我認為我所做的事情……雖然有時涉及技術細節，甚至在我早期的一些工作中包含大量計算……但基本思想總是相當簡單，可以用相當簡單的術語解釋……在某種程度上，我可能有一個相當單純的頭腦，所以我只能處理這類想法。我不認為別人在理解我的工作上遇到過嚴重困難。”認識他的人會認出這不只是他的態度，也是他特有的表達方式。

讓我們記下塞爾伯格在[2]中被問及愛好時的回答：

年輕時我對植物學非常感興趣，收集了大量植物標本。現在我不再收集植物了，但我仍然對它們感興趣，我可能認識并能識別的物種比大多數人都多。多年來我也收集海貝。

除菲爾茲獎外，塞爾伯格因其工作獲得了許多榮譽。1986年，他與塞繆爾·艾倫伯格（Samuel Eilenberg）共同獲得沃爾夫基金會數學獎（Wolf Foundation Prize in Mathematics）。授予塞爾伯格的獎項理由是[4]：

……以表彰他在數論、離散群和自守形式方面深刻而原創的工作。……在早期工作中，阿特爾·塞爾伯格教授證明了黎曼ζ函數在臨界線上的零點具有正密度。他構想并發展了一般篩法，現已成為解析數論的基本工具。他關于篩法的思想導出了著名的‘塞爾伯格公式’，這是他素數定理初等證明的基礎。他發現了以他命名的跡公式，并由此催生了群表示論與數論之間新的相互作用。他開創了格算術性的研究。他的貢獻如此深刻且眾多，他的名字已成為數學史的一部分。

我們還注意到，2002年阿貝爾獎（Abel Prize）設立時，他們向塞爾伯格頒發了榮譽獎[5]：

決定向著名挪威數學家阿特爾·塞爾伯格授予榮譽獎，以認可他作為世界頂尖數學家的地位。他對數學的貢獻如此深刻和原創，他的名字將永遠是數學史的重要部分。

除了這些獎項，他還當選為挪威科學院、丹麥皇家科學院和美國藝術與科學院院士。1987年，他被授予挪威皇家圣奧拉夫勛章指揮官之星。

1987年他70歲時，從普林斯頓高等研究院退休。在普林斯頓期間，他一直保留挪威國籍，但在1990年代他取得了美國國籍。他的妻子赫維格于1995年7月去世。2003年2月14日，他與貝蒂·弗朗西斯（“米基”）·康普頓（Betty Frances ("Mickey") Compton，1929-）結婚。他在普林斯頓的家中因心臟病去世，享年90歲。去世后，人們紛紛致以哀悼。其中兩條記錄于[2]（及其他多篇文章）。高等研究院院長彼得·戈達德（Peter Goddard）說：

阿特爾的離去是研究院乃至整個科學界的巨大損失。他影響深遠的貢獻在數學世界留下了深刻的印記，我們失去的不僅是一位數學巨人，更是一位親愛的朋友。

普林斯頓大學尤金·希金斯數學教授彼得·薩納克（Peter Sarnak）說：

20世紀擁有許多極具天賦的數學家，其中，我認為有少數幾位擁有‘點金之手’。在他們深入思考的任何主題上，他們看得比前人更遠，看似毫不費力地揭示了更多表層之下的真理。他們的工作為未來的諸多發展奠定了基礎。阿特爾就是這樣一位數學家；他是一位數學家的數學家。

我們以[20]中的這段贊頌作為結尾：

形容阿特爾·塞爾伯格數學天才的一種方式是他擁有‘點金之手’。在他深入思考的那些領域，他比前幾代人看得更遠，反復揭示隱藏在表面之下的真理。他對長期懸而未決問題的突破基于富有想象力且新穎的想法，這些想法一旦被消化，便被贊譽為簡潔而決定性的。

參考來源

[1] Biography in Encyclopaedia Britannica. http://www.britannica.com/biography/Atle-Selberg

[2] G L Alexanderson, Atle Selberg, in D J Albers and G L Alexanderson (eds.), Fascinating Mathematical People: interviews and memoirs (Princeton University Press, Princeton, 2011), 254-273.

[3] Atle Selberg 1917-2007, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, USA. http://www.ias.edu/news/press-releases/2009-30

[4] Atle Selberg Winner of Wolf Prize in Mathematics - 1986, The Wolf Foundation. http://www.wolffund.org.il/index.php?dir=site&page=winners&cs=221

[5] N A Baas, 2002 - an Honorary Abel Prize to Atle Selberg, in H Holden and R Piene (eds.), The Abel Prize: 2003-2007 The First Five Years (Springer Science & Business Media, 2009), 9-11.

[6] N A Baas, Atle Selberg: On the zeros of the zeta-function of Riemann (Norwegian), Skr. K. Nor. Vidensk. Selsk. 4 (2011), 139-146.

[7] N A Baas and C F Skau, The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. 45 (4) (2008), 617-649.

[8] N A Baas and C F Skau, Lord of the numbers. Atle Selberg on life and his mathematics (Norwegian), Normat 56 (1) (2008), 3-4.

[9] N A Baas and C F Skau, Selberg interview. I. Mathematical development (Norwegian), Normat 56 (1) (2008), 5-23; 48.

[10] N A Baas and C F Skau, Selberg interview. II. Siene methods, prime number theorems and Erd?s (Norwegian), Normat 56 (2) (2008), 49-67; 96.

[11] N A Baas and C F Skau, The Selberg interview. III. The Riemann hypothesis and the trace formula (Norwegian), Normat 56 (3) (2008), 97-110; 144.

[12] E Bombieri, Selberg's sieve and its applications, in Number theory, trace formulas and discrete groups, Oslo 1987 (Boston, MA, 1989), 29-48.

[13] F Chamizo Lorente, Fernando Atle Selberg: 1917-2007 (Spanish), Gac. R. Soc. Mat. Esp. 11 (1) (2008), 193-208.

[14] D Bump, The Rankin-Selberg method: a survey, in Number theory, trace formulas and discrete groups, Oslo 1987 (Boston, MA, 1989), 49-109.

[15] B Devine, Interview: Atle Selberg - June 11, 1989. http://publications.ias.edu/sites/default/files/DOCdev1.pdf

[16] D Goldfeld, The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: An Historical Perspective, in Number Theory: New York Seminar 2003 (Springer, New York, 2004), 179-192.

[17] R Heath-Brown, US mathematician from Norway ranked among the greats, The Guardian (25 September 2007).

[18] R Heath-Brown, Obituary: Atle Selberg, Bull. Lond. Math. Soc. 42 (5) (2010), 949-955.

[19] D Hejhal, Remembering Atle Selberg, 1917-2007, Notices Amer. Math. Soc. 56 (6) (2009), 692-710.

[20] D Hejhal and P Sarnak, Some commentary on Atle Selberg's mathematics, Bull. Amer. Math. Soc. 45 (4) (2008), 485-487.

[21] Math man Atle Selberg dead at 90, Phys.org (August 28, 2007) http://phys.org/news107536966.html

[22] T H Maugh, Atle Selberg, 90; researcher 'left a profound imprint on the world of mathematics', Los Angeles Times (August 22, 2007).

[23] Media Highlights, The College Mathematics Journal 41 (2) (2010), 173-180.

[24] Obituary of Paul Erd?s, in The Times London (25 September, 1996).

[25] Obituary notice: Atle Selberg (14-07-1917 to 06-08-2007), Hardy-Ramanujan J. 30 (2007), 73-74.

[26] J Pearce, Atle Selberg, 90, Lauded Mathematician, Dies, New York Times (17 August 2007).

[27] W Plump, Discovery comes unexpectedly for the creative mind of Selberg, Princeton Packet (February 12, 1991).

[28] J Spencer and R Graham, The elementary proof of the prime number theorem, The Mathematical Intelligencer 31 (3) (2009), 18-23.

[29] M Weil, Mathematician Atle Selberg; Won Fields Medal, Washington Post (August 19, 2007).

本文經授權轉載自微信公眾號“數學家”。

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