科研儀器 | 硬核科普：模擬信號(hào) PLL 鎖相環(huán)的核心組件、數(shù)學(xué)模型及蘇黎世儀器實(shí)操案例

為了滿(mǎn)足我國(guó)科研快速發(fā)展對(duì)高精尖科研儀器更廣泛的需求，拓寬科研設(shè)備的應(yīng)用與前景空間，“中國(guó)物理學(xué)會(huì)期刊網(wǎng)”微信公眾號(hào)特開(kāi)辟“科研儀器”專(zhuān)欄，希望搭建科研與產(chǎn)業(yè)之間的橋梁，打通合作共贏之路，攜手助力科研事業(yè)的發(fā)展。

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簡(jiǎn) 介

模擬信號(hào)鎖相環(huán)(PLL)在當(dāng)今物理和工程應(yīng)用中無(wú)處不在。本白皮書(shū)將闡述其核心功能和工作原理，并介紹可通過(guò)蘇黎世儀器鎖相放大器便捷實(shí)現(xiàn)的多個(gè)實(shí)際應(yīng)用案例。

歷史上，最早的PLL系統(tǒng)是為調(diào)幅(AM)信號(hào)接收機(jī)提出的，旨在利用零差檢測(cè)優(yōu)勢(shì)并避免外差接收機(jī)產(chǎn)生的鏡像響應(yīng)[1]。要實(shí)現(xiàn)有效工作，零差檢測(cè)器需要一個(gè)與接收信號(hào)載波頻率相同的本振(LO)，這意味著本振必須嚴(yán)格跟隨輸入載波的相位。于是人們?cè)O(shè)計(jì)出PLL電路，將本振相位鎖定至載波相位，確保兩個(gè)振蕩信號(hào)間保持恒定的相位關(guān)系。

PLL是一種具有負(fù)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)，能在兩個(gè)周期信號(hào)（作為參考的輸入信號(hào)和作為跟隨的輸出信號(hào)）間維持明確的相位關(guān)系。通過(guò)相位鎖定，兩個(gè)信號(hào)具有相同頻率，從而實(shí)現(xiàn)多信號(hào)源的相干信號(hào)生成與檢測(cè)。PLL可簡(jiǎn)化為以下核心模塊[2]:

1. 相位檢測(cè)器

2. PID控制器

3. 受控振蕩器

如圖1所示，PLL接收來(lái)自參考源的輸入信號(hào)，將其相位變化傳遞至受控振蕩器，生成跟隨輸入信號(hào)相位的輸出信號(hào)。

圖1. PLL的示意圖，顯示了其基本組成模塊。PLL產(chǎn)生跟隨其輸入信號(hào)的相位和頻率的輸出信號(hào)。它是使用負(fù)反饋閉環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

相位檢測(cè)單元測(cè)量?jī)尚盘?hào)間的相位差，檢測(cè)結(jié)果與相位設(shè)定值比較后生成誤差信號(hào)供比例-積分-微分(PID)控制器使用。基于誤差信號(hào)，PID控制器產(chǎn)生反饋信號(hào)來(lái)調(diào)節(jié)受控振蕩器頻率，使其跟隨輸入信號(hào)相位，最終生成與輸入?yún)⒖纪l的信號(hào)。

在詳細(xì)解析PLL構(gòu)建模塊后，我們將基于圖1的基本PLL方案描述典型應(yīng)用及其實(shí)現(xiàn)差異，并提供PLL設(shè)置、關(guān)鍵參數(shù)選擇、性能表征與優(yōu)化的實(shí)用技巧。最后概述PLL系統(tǒng)的不同噪聲特性與模型。

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PLL組成模塊

PLL系統(tǒng)根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景處理模擬或數(shù)字信號(hào)。本文重點(diǎn)討論用于先進(jìn)研發(fā)實(shí)驗(yàn)中模擬信號(hào)的數(shù)字實(shí)現(xiàn)PLL。我們研究通過(guò)數(shù)字信號(hào)處理實(shí)現(xiàn)相位檢測(cè)器、PID控制器和參考/受控振蕩器的情況。

特別是——其現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列(FPGA)分別通過(guò)模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)和數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)連接模擬輸入輸出信號(hào)。

相位檢測(cè)器

相位檢測(cè)器以?xún)蓚€(gè)周期信號(hào)為輸入，生成與兩輸入信號(hào)相對(duì)相位差成正比的輸出信號(hào)。根據(jù)信號(hào)類(lèi)型采用不同相位檢測(cè)技術(shù)：例如數(shù)字系統(tǒng)中處理方波時(shí)，相位檢測(cè)器由異或門(mén)加低通濾波器構(gòu)成[3]。更通用的方法是采用雙相解調(diào)器，通過(guò)測(cè)量一個(gè)輸入相對(duì)于另一個(gè)的正交分量X和Y來(lái)獲取相位差（圖2）。

圖2. 使用鎖相放大器的雙相位解調(diào)進(jìn)行相位檢測(cè)。同相分量X和正交分量Y通過(guò)兩個(gè)單獨(dú)的信號(hào)路徑獲得，以導(dǎo)出輸入信號(hào)的相對(duì)相位θ和信號(hào)幅度R。低通濾波器可以幫助抑制不需要的頻率分量和噪聲。

鎖相放大器是最常見(jiàn)的雙相解調(diào)儀器，其嵌入式可調(diào)低通濾波器不僅能降噪，還可調(diào)節(jié)PLL帶寬（圖2）。低通濾波器可以幫助清除施加到PID控制器的輸入信號(hào)中的不期望的頻譜分量和相位檢測(cè)器信號(hào)輸入中的噪聲。這些濾波器的截止頻率和相位延遲決定了整個(gè)PLL帶寬上限。低通濾波器及其對(duì)信噪比（SNR）和測(cè)量速度的影響的更詳細(xì)描述見(jiàn)參考文獻(xiàn)[4]。

使用鎖相放大器進(jìn)行相位檢測(cè)的額外優(yōu)勢(shì)是能同步測(cè)量信號(hào)幅度，這可應(yīng)用于自動(dòng)增益控制(AGC)等其他控制機(jī)制[5]。通過(guò)笛卡爾坐標(biāo)到極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，可從測(cè)量的同相X和正交Y分量輕松導(dǎo)出幅度R和相位θ：

使用'atan2'而非'atan'可確保相位角覆蓋相位圓的全部四個(gè)象限（取決于正交分量的符號(hào)，如圖3所示）。

圖3. (a)極坐標(biāo)表示信號(hào)分量對(duì)(x, y)的相位，覆蓋-180°至+180°的范圍，由atan2(y, x)表示。(b)根據(jù)x的符號(hào)，atan2(y, x)是一個(gè)雙值函數(shù)，與y/x的比值相對(duì)，返回到點(diǎn)(x, y)的直線與正x軸之間的角度。

當(dāng)相位信號(hào)變化速度相對(duì)于系統(tǒng)采樣率足夠慢時(shí)，象限跳變導(dǎo)致的不連續(xù)性可在數(shù)字域輕松檢測(cè)和解決。這種"相位展開(kāi)"功能將可用相位值空間擴(kuò)展到原始區(qū)間的多倍（圖4）。蘇黎世儀器鎖相放大器支持高達(dá)±1024π的相位捕獲范圍，例如在多波長(zhǎng)距離的光學(xué)干涉儀穩(wěn)定中就需要這樣的范圍[6]。

圖4.（a）由用作相位檢測(cè)器的鎖相放大器測(cè)量的相位。（b）展開(kāi)的相位，表明實(shí)際相位和測(cè)量相位之間存在線性關(guān)系。

PID控制器

PID控制器接收來(lái)自相位檢測(cè)器的相位差信號(hào)，減去用戶(hù)定義的設(shè)定值后生成誤差信號(hào)e(t)。如圖5所示，通過(guò)對(duì)誤差信號(hào)施加比例、積分和微分運(yùn)算產(chǎn)生反饋信號(hào)。因此最終反饋信號(hào)u(t)由下式給出：

其中K0為偏移值，Kp、Ki和Kp分別為P、I、D系數(shù)。多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中，僅使用比例P和積分I組件即可實(shí)現(xiàn)足夠優(yōu)良的穩(wěn)定性能。雖然微分項(xiàng)可進(jìn)一步減小誤差信號(hào)均值偏差，但會(huì)通過(guò)增強(qiáng)誤差信號(hào)高頻分量引入不穩(wěn)定性。附加低通濾波器可通過(guò)抑制高頻增益來(lái)維持穩(wěn)定運(yùn)行。PLL速度由閉環(huán)系統(tǒng)帶寬表征。調(diào)節(jié)控制環(huán)路帶寬時(shí)需考慮：

1. 最小化誤差信號(hào)均值偏差通常需要優(yōu)化PID參數(shù)以實(shí)現(xiàn)最大反饋帶寬和增益。蘇黎世儀器PLL配備的自動(dòng)調(diào)諧功能可幫助用戶(hù)快速找到最佳工作點(diǎn)。

2. 高穩(wěn)定性和大捕獲范圍有時(shí)比誤差信號(hào)零偏更重要。通過(guò)刻意采用較弱較慢的反饋信號(hào)可增強(qiáng)抗干擾能力，但需人工調(diào)諧。

3. 由于只有環(huán)路濾波器帶寬內(nèi)的輸入噪聲會(huì)轉(zhuǎn)移至受控振蕩器，有時(shí)需設(shè)定明確的濾波帶寬。蘇黎世儀器PLL的PID建議器可建模環(huán)路中所有組件，幫助用戶(hù)快速調(diào)節(jié)到所需帶寬。
   

圖5. PID控制器示意圖：從可調(diào)相位設(shè)定點(diǎn)中減去相位檢測(cè)器的相位信號(hào)，然后將結(jié)果通過(guò)三個(gè)不同的分支P、I和D，然后將得到的信號(hào)加到偏移量上。限制器有助于將范圍限制在有用的參數(shù)空間內(nèi)。

另一個(gè)具有高實(shí)用價(jià)值的附加功能是可調(diào)輸出偏移，使PID控制器輸出能從默認(rèn)位置啟動(dòng)。設(shè)置反饋信號(hào)的上下限還能將控制操作限制在用戶(hù)定義的頻率范圍內(nèi)，這在輸入信號(hào)含多頻成分或需避免外部設(shè)備損壞時(shí)特別有用。

振蕩器與頻率參考

鎖相環(huán)(PLL)中的受控振蕩器通常采用壓控振蕩器(VCO)或數(shù)控振蕩器(NCO)實(shí)現(xiàn)，二者分別通過(guò)模擬反饋和數(shù)字反饋進(jìn)行頻率調(diào)節(jié)[7]。壓控振蕩器主要作為外部受控振蕩器使用，這類(lèi)廣泛流通的有源元件可輸出固定幅度的正弦信號(hào)，其頻率則可通過(guò)模擬輸入電壓在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)。VCO的核心特性體現(xiàn)在頻率隨控制電壓的變化程度上，理想情況下應(yīng)保持線性關(guān)系。與VCO不同，NCO始終能保證線性特性，并具備實(shí)時(shí)數(shù)字輸出頻率值的優(yōu)勢(shì)，并且具有頻率計(jì)數(shù)功能。雖然產(chǎn)生可控周期信號(hào)的方法眾多，但就基本功能而言大多可歸為上述兩類(lèi)。例如激光束與光學(xué)頻率梳產(chǎn)生的拍頻信號(hào)，通常在光電二極管輸出端形成射頻信號(hào)。當(dāng)向激光器的調(diào)制輸入端施加反饋信號(hào)時(shí)，其光學(xué)頻率將隨電壓信號(hào)改變，進(jìn)而導(dǎo)致光電二極管檢測(cè)到的頻率發(fā)生變化。若忽略所有光路信號(hào)，這種配置與使用VCO非常相似，可用于建立激光穩(wěn)頻的系統(tǒng)。

使用蘇黎世儀器鎖相放大器時(shí)，相位檢測(cè)器的一個(gè)輸入始終來(lái)自?xún)?nèi)部數(shù)字振蕩器。這些FPGA實(shí)現(xiàn)的NCO可通過(guò)數(shù)字設(shè)定頻率值來(lái)調(diào)節(jié)，同時(shí)保證相位連續(xù)輸出。頻率調(diào)節(jié)的最高速率由FPGA時(shí)鐘或頻率寄存器的刷新速率決定。此速率遠(yuǎn)高于控制閉環(huán)的最高帶寬。

依據(jù)PLL實(shí)施方案，內(nèi)部NCO既可作為主導(dǎo)者、跟隨者，也可作為中介振蕩器。當(dāng)數(shù)控振蕩器(NCO)跟蹤外部頻率參考源時(shí)，其頻率將通過(guò)PID控制器進(jìn)行數(shù)字調(diào)節(jié)以追蹤參考信號(hào)。反之，若內(nèi)部振蕩器為外部壓控振蕩器(VCO)提供頻率參考，則內(nèi)部頻率保持固定值，而由PID控制器輸出反饋信號(hào)來(lái)調(diào)節(jié)外部VCO的頻率。如需鎖定兩個(gè)外部信號(hào)源，則需配置兩套PLL系統(tǒng)，并采用共用的內(nèi)部NCO作為中間傳遞參數(shù)。

需要特別指出的是，寬頻段范圍內(nèi)精確的周期信號(hào)生成對(duì)各種測(cè)試測(cè)量(T&M)應(yīng)用至關(guān)重要。多數(shù)寬頻段T&M儀器采用基于PLL的頻率合成技術(shù)來(lái)產(chǎn)生頻率可調(diào)的周期信號(hào)。為兼具寬范圍精密頻率生成的靈活性以及高穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性，PLL可整合高精度低相位噪聲振蕩器（如恒溫晶體振蕩器OCXO）與壓控振蕩器等可控振蕩器的優(yōu)勢(shì)特性。具體實(shí)現(xiàn)方式是通過(guò)PLL將受控振蕩器頻率f與作為參考的OCXO頻率fREF進(jìn)行分頻同步。

通過(guò)設(shè)置可調(diào)系數(shù)因子（如圖6所示，遵循f=(m/n)fREF關(guān)系式），可在保持OCXO參考頻率穩(wěn)定（例如多數(shù)T&M儀器采用的10 MHz或100 MHz）的同時(shí)，通過(guò)數(shù)字調(diào)節(jié)m/n比值實(shí)現(xiàn)寬范圍頻率調(diào)諧。除頻率精度與穩(wěn)定性外，PLL的具體實(shí)現(xiàn)方案還會(huì)影響相位噪聲、雜散邊帶和鎖定時(shí)間等關(guān)鍵指標(biāo)，這些因素共同決定了生成信號(hào)的質(zhì)量，進(jìn)而影響整個(gè)頻率合成系統(tǒng)的性能表現(xiàn)。對(duì)于大多數(shù)數(shù)字信號(hào)處理儀器，該功能已內(nèi)置集成，因此內(nèi)部NCO信號(hào)可作為可靠的頻率基準(zhǔn)源。

圖6. 示意圖顯示了具有擴(kuò)展功能的PLL的構(gòu)建塊，用于相位解包和分?jǐn)?shù)頻率鎖定。除了輸出信號(hào)，許多應(yīng)用還受益于中間信號(hào)，如誤差和反饋信號(hào)。

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應(yīng) 用

鎖相環(huán)(PLL)的核心功能是實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)（通常體現(xiàn)為兩個(gè)振蕩器）的時(shí)基同步。在需要同步兩個(gè)或多個(gè)振蕩信號(hào)的應(yīng)用場(chǎng)景中，PLL技術(shù)發(fā)揮著關(guān)鍵作用。雖然PLL在數(shù)字系統(tǒng)中被廣泛應(yīng)用于抖動(dòng)抑制、偏斜校正、頻率合成和時(shí)鐘恢復(fù)等操作，但本文將重點(diǎn)探討其在模擬信號(hào)領(lǐng)域的應(yīng)用，具體包括以下三種典型配置方案：

1. 頻率跟蹤模式（如圖6所示）：通過(guò)PLL將外部信號(hào)源映射至內(nèi)部振蕩器。

2. 諧振驅(qū)動(dòng)模式（如圖9所示）：利用PLL驅(qū)動(dòng)時(shí)變器件諧振。

3. 振蕩器控制模式（如圖10所示）：采用PLL為外部可變頻率源提供模擬反饋。

頻率跟蹤

在鎖相放大器、傳輸系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用中，相干信號(hào)檢測(cè)需要實(shí)現(xiàn)信號(hào)源與檢測(cè)器的同步。如圖6所示，頻率跟蹤系統(tǒng)的基本原理是通過(guò)接收外部參考信號(hào)，并將其頻率特征映射至系統(tǒng)內(nèi)部振蕩器。典型應(yīng)用案例是采用外參考的鎖相放大器實(shí)現(xiàn)零差檢測(cè)。為準(zhǔn)確還原輸入信號(hào)的幅值和相位，鎖相放大器需要信號(hào)發(fā)生器提供外參考信號(hào)（例如光學(xué)斬波器）來(lái)確定測(cè)量頻率。此時(shí)，鎖相放大器需將其內(nèi)部振蕩器鎖定至該外參考頻率，以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)信號(hào)的相干檢測(cè)。這一過(guò)程通常采用類(lèi)似圖6的PLL配置完成。雖然大多數(shù)情況下PLL的中心頻率和帶寬可自動(dòng)匹配，但當(dāng)存在特定帶寬要求或頻譜包含多分量時(shí)，則需要手動(dòng)調(diào)整PLL參數(shù)以確保精確的頻率跟蹤。通過(guò)設(shè)定明確的帶寬將外參考信號(hào)映射至內(nèi)部振蕩器，可在跟蹤頻率上獲得無(wú)抖動(dòng)和雜散的純凈信號(hào)。這一特性特別有利于需要頻譜濾波的應(yīng)用——通過(guò)有意設(shè)置較低的閉環(huán)帶寬，可有效抑制外參考信號(hào)中的噪聲成分。

全數(shù)字實(shí)現(xiàn)的另一優(yōu)勢(shì)是可通過(guò)頻率倍頻/分頻生成諧波和分?jǐn)?shù)倍參考信號(hào)，且不會(huì)損失信號(hào)質(zhì)量。例如采用分?jǐn)?shù)倍參考頻率進(jìn)行解調(diào)，可在同一外參考下實(shí)現(xiàn)更多測(cè)量方案（如諧波葉片輪光學(xué)斬波）。

圖6所示PLL配置的另一重要應(yīng)用是載波恢復(fù)。在傳輸系統(tǒng)中，相干解調(diào)要求接收端獲知載波頻率。由于收發(fā)端距離導(dǎo)致無(wú)法共享時(shí)鐘源，必須依靠PLL鎖定發(fā)射端載波才能實(shí)現(xiàn)完美同步。多數(shù)通信系統(tǒng)除調(diào)制信號(hào)外還會(huì)發(fā)送純音導(dǎo)頻供接收端PLL鎖定。若無(wú)PLL載波恢復(fù)功能，大多數(shù)收發(fā)系統(tǒng)將無(wú)法實(shí)現(xiàn)相干通信。當(dāng)無(wú)導(dǎo)頻或調(diào)制信號(hào)抑制載波時(shí)，則需采用改進(jìn)型PLL配置（如Costas環(huán)[8]）來(lái)提取載頻。同理，當(dāng)鎖相放大器缺乏明確外參考時(shí)，若信號(hào)質(zhì)量允許，可將內(nèi)部振蕩器直接鎖定測(cè)量信號(hào)本身。這種"自動(dòng)參考"配置僅能提取信號(hào)幅值信息，無(wú)法獲取相位數(shù)據(jù)。

頻率提取、濾波與計(jì)數(shù)

與前述應(yīng)用類(lèi)似，鎖相環(huán)(PLL)還能從含多頻成分的信號(hào)中提取特定頻率分量（見(jiàn)圖7）。啟動(dòng)PLL時(shí)，需先將可變?cè)凑{(diào)至目標(biāo)頻率附近，從而將正確的頻譜分量轉(zhuǎn)移至PLL內(nèi)部振蕩器。該方法能高效靈活地濾除特定頻譜成分，實(shí)現(xiàn)跟蹤監(jiān)測(cè)，并作為純凈信號(hào)供系統(tǒng)其他模塊復(fù)用。由于對(duì)內(nèi)部數(shù)控振蕩器(NCO)采用數(shù)字反饋，可實(shí)現(xiàn)高速率的瞬時(shí)頻率跟蹤記錄，從而額外提供頻率計(jì)數(shù)功能。

調(diào)頻(FM)解調(diào)

調(diào)頻技術(shù)通過(guò)載波頻率變化編碼信息信號(hào)，因其抗幅度噪聲干擾的優(yōu)異特性，在模擬和數(shù)字系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。FM系統(tǒng)中，載波的瞬時(shí)頻率隨信息信號(hào)時(shí)變，因此需要頻率跟蹤器解調(diào)載波并提取信息。在各種FM解調(diào)方案中，PLL以低失真度和弱幅噪敏感性脫穎而出。

如圖7所示，基于PLL的FM解調(diào)器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明，無(wú)需改變基礎(chǔ)PLL配置。當(dāng)載波未調(diào)制時(shí)，受控振蕩器的反饋信號(hào)處于中值范圍以產(chǎn)生基準(zhǔn)載頻；當(dāng)調(diào)制改變載頻時(shí)，環(huán)路濾波器通過(guò)調(diào)節(jié)振蕩器反饋電壓實(shí)現(xiàn)頻率跟蹤，使閉環(huán)系統(tǒng)保持鎖定狀態(tài)——即振蕩信號(hào)始終跟隨接收FM信號(hào)的相位變化。此時(shí)受控振蕩器的反饋信號(hào)與載波頻偏成正比，經(jīng)放大后即可作為解調(diào)信號(hào)輸出至后續(xù)處理單元。

圖7. 基于PLL的FM解調(diào)器原理圖，其解調(diào)輸出與施加至受控振蕩器的反饋信號(hào)成正比。

設(shè)計(jì)PLL型FM解調(diào)器時(shí)，首要考量是由PLL閉環(huán)帶寬決定的解調(diào)帶寬。該帶寬不僅決定了信號(hào)傳輸帶寬，更直接制約著通信信道單位時(shí)間內(nèi)可傳輸?shù)淖畲笮畔⒘俊Ｒ虼耍辔粰z測(cè)器與PID控制器必須具備足夠快的響應(yīng)速度，以覆蓋FM信號(hào)所需的工作帶寬。此外，采用具有高度線性響應(yīng)特性的振蕩器至關(guān)重要——這能最大限度降低解調(diào)信號(hào)失真，確保解調(diào)過(guò)程保持最佳線性度。具體而言，當(dāng)選用壓控振蕩器(VCO)作為受控振蕩器時(shí)，其電壓-頻率轉(zhuǎn)換曲線在FM信號(hào)接收頻段內(nèi)必須盡可能保持線性。

諧振驅(qū)動(dòng)

以受控相位和頻率驅(qū)動(dòng)器件在諸多應(yīng)用中具有關(guān)鍵作用，例如原子力顯微鏡（AFM）和微機(jī)電/納機(jī)電系統(tǒng)（MEMS/NEMS）。在此類(lèi)應(yīng)用中，系統(tǒng)某部分表現(xiàn)為具有洛倫茲型幅頻特性和S型相頻特性的諧振器，如圖8所示（展示了諧振頻率為1.84 MHz的諧振器的波特幅頻和相頻特性曲線）。通過(guò)在諧振點(diǎn)驅(qū)動(dòng)器件，可以獲得諧振增強(qiáng)效應(yīng)并使測(cè)量響應(yīng)線性化。通常，這類(lèi)系統(tǒng)的諧振頻率會(huì)隨溫度、作用力等物理量變化。因此，要在固定相位下驅(qū)動(dòng)諧振器，就必須根據(jù)環(huán)境參數(shù)引起的諧振頻率變化來(lái)調(diào)整信號(hào)頻率。采用鎖相環(huán)（PLL）控制驅(qū)動(dòng)頻率，使諧振器輸出相位保持在用戶(hù)設(shè)定點(diǎn)，即可實(shí)現(xiàn)這種諧振驅(qū)動(dòng)。圖9展示了PLL控制諧振驅(qū)動(dòng)的框圖，其中振蕩器同時(shí)為諧振器提供驅(qū)動(dòng)信號(hào)，為相位檢測(cè)器提供參考信號(hào)。PLL確保器件即使在其諧振頻率隨時(shí)間變化時(shí)，也能持續(xù)工作在相同的工作點(diǎn)。

圖8.（a）由蘇黎世儀器鎖定放大器的頻率響應(yīng)分析儀測(cè)量的晶體諧振器的波特幅度和（b）相位圖。

PID控制器將相位檢測(cè)器輸出的誤差信號(hào)轉(zhuǎn)換為振蕩器輸入的控制信號(hào)，根據(jù)諧振器響應(yīng)的變化來(lái)調(diào)節(jié)信號(hào)頻率。

圖9. 通過(guò)PLL對(duì)諧振器進(jìn)行閉環(huán)控制的示意圖。諧振器與儀器一起形成PLL系統(tǒng)，其中受控振蕩器通過(guò)保持相對(duì)相位恒定來(lái)跟隨變化的諧振頻率。

以AFM懸臂梁為例，其音叉諧振器通過(guò)諧振頻率的偏移來(lái)測(cè)量樣品表面施加的力場(chǎng)。要測(cè)量這種頻率偏移從而表征表面形貌，就需要PLL鎖定懸臂梁的諧振頻率。此時(shí)PLL的誤差信號(hào)即代表樣品表面特征。另一個(gè)典型示例是MEMS陀螺儀和加速度計(jì)等慣性測(cè)量系統(tǒng)[5]。必須使這類(lèi)系統(tǒng)的振動(dòng)質(zhì)量塊始終工作在諧振狀態(tài)，而不受其檢測(cè)到的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)影響。由于旋轉(zhuǎn)會(huì)改變諧振頻率，PLL對(duì)于傳感器在變化諧振頻率下的穩(wěn)定驅(qū)動(dòng)至關(guān)重要。PLL在諧振系統(tǒng)控制中的應(yīng)用還包括泵浦-探測(cè)、離子阱和參量反饋冷卻等實(shí)驗(yàn)，其中PLL會(huì)經(jīng)過(guò)特殊改進(jìn)以滿(mǎn)足特定應(yīng)用需求。例如在參量反饋冷卻[9]中，就需要在諧振頻率的二次諧波處對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行反相位驅(qū)動(dòng)。

振蕩器控制

如前所述，為簡(jiǎn)化分析，我們將所有待控制的外部振蕩器建模為壓控振蕩器(VCO)。在圖10所示的PLL配置中，內(nèi)部振蕩器為相位檢測(cè)器提供參考信號(hào)，用于測(cè)量外部振蕩器相對(duì)于該參考的相位。PID控制器將測(cè)量得到的相位差轉(zhuǎn)換為反饋信號(hào)，并施加至外部VCO以調(diào)節(jié)其輸出頻率。通過(guò)這種方式，可以將穩(wěn)定內(nèi)部數(shù)控振蕩器(NCO)的時(shí)基特性映射至外部系統(tǒng)。相位檢測(cè)器的頻譜濾波功能，結(jié)合模擬電壓信號(hào)的可編程輸出限幅器，即使在失鎖后重新鎖定的情況下，也能確保系統(tǒng)在目標(biāo)頻率下穩(wěn)定工作。此外，該系統(tǒng)不會(huì)在定義的可靠工作安全區(qū)之外運(yùn)行，即使積分器進(jìn)入飽和狀態(tài)也能保證穩(wěn)定操作。

圖10. 使用鎖相環(huán)基于參考振蕩器控制VCO的頻率。

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建立鎖相環(huán)(PLL)

以下步驟提供了成功閉合反饋環(huán)路并使PLL工作的系統(tǒng)方法：

1. 獲取系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)響應(yīng)。

2. 找到一組粗略且保守的PID參數(shù)來(lái)啟動(dòng)環(huán)路。

3. 調(diào)整PID參數(shù)以?xún)?yōu)化信噪比(SNR)、速度或魯棒性。

尋找合適的初始PID參數(shù)和啟動(dòng)條件可能具有挑戰(zhàn)性。蘇黎世儀器的控制軟件LabOne?為這三個(gè)步驟提供了有效工具，使PLL啟動(dòng)和優(yōu)化這一耗時(shí)過(guò)程盡可能高效簡(jiǎn)單。第一步需要獲取被測(cè)設(shè)備(DUT)的開(kāi)環(huán)響應(yīng)，這可以是諧振器的頻譜響應(yīng)，或是顯示VCO調(diào)諧電壓與頻率關(guān)系的曲線。LabOne的掃頻模塊提供了獲取系統(tǒng)開(kāi)環(huán)響應(yīng)所需的所有功能，它可以?huà)呙杷┘有盘?hào)的頻率、相位、幅度和偏置，并采集測(cè)量結(jié)果。此外，集成的數(shù)學(xué)工具如曲線擬合、跟蹤、峰谷查找等，可幫助用戶(hù)提取系統(tǒng)特性(如品質(zhì)因數(shù)、增益和斜率)，這些是正確調(diào)諧PID控制器所必需的。

一旦獲知系統(tǒng)響應(yīng)，就可以通過(guò)考慮相位檢測(cè)單元中使用的低通濾波器特性以及各環(huán)節(jié)引入的系統(tǒng)延遲，來(lái)設(shè)定特定的目標(biāo)帶寬。

LabOne提供的PID建議器采用優(yōu)化算法來(lái)調(diào)諧PID控制器，并確定給定PLL目標(biāo)帶寬所需的濾波器設(shè)置。該建議器會(huì)考慮硬件的所有物理延遲和增益，還包含多種數(shù)學(xué)模型來(lái)考慮連接設(shè)備的傳遞函數(shù)。選擇器件模型(無(wú)論是內(nèi)部PLL、外部諧振器還是VCO型配置)后，建議器會(huì)運(yùn)行算法計(jì)算P、I和D參數(shù)，獲取濾波器特性以及相位裕度和實(shí)際帶寬。它還會(huì)顯示各種時(shí)域和頻域圖形，包括波特幅頻和相頻圖，以及整個(gè)系統(tǒng)各入口點(diǎn)的階躍響應(yīng)，這些圖形展示了所設(shè)計(jì)PLL的工作速度和穩(wěn)定性。

將PID建議器獲得的參數(shù)設(shè)置應(yīng)用到儀器并啟用PID控制器，應(yīng)該能成功閉合PLL。使用LabOne的繪圖工具，可以持續(xù)監(jiān)控PID誤差和輸出信號(hào)，同時(shí)調(diào)整PID設(shè)置并觀察其對(duì)PLL性能的影響。除了手動(dòng)調(diào)整PID參數(shù)外，LabOne中PID控制器的自動(dòng)調(diào)諧功能可以自動(dòng)修改PID設(shè)置以提升PLL性能。圖11顯示了LabOne用戶(hù)界面的PID/PLL選項(xiàng)卡，其中所有設(shè)計(jì)、優(yōu)化和運(yùn)行PLL所需的工具都以用戶(hù)友好的網(wǎng)頁(yè)環(huán)境提供。

圖11. LabOne用戶(hù)界面的PLL/PID控制器選項(xiàng)卡，顯示輸入、輸出、相位解包和PID參數(shù)（左）、PID建議器、調(diào)諧器和DUT模型（中），以及最終閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（右）。

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PLL中的噪聲

鎖相環(huán)(PLL)的模擬輸出是一個(gè)具有固定幅度但頻率和相位隨設(shè)定點(diǎn)或參考信號(hào)變化的正弦信號(hào)。在設(shè)定點(diǎn)固定的理想PLL中，輸出信號(hào)的頻率和相位應(yīng)該是時(shí)不變的。然而，由于實(shí)際系統(tǒng)中的噪聲，PLL會(huì)遭受相位和頻率波動(dòng)的影響。相位波動(dòng)可以用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為σφ的零均值隨機(jī)過(guò)程φ(t)來(lái)建模。因此，設(shè)定點(diǎn)固定的PLL輸出可以表示為以下載頻為fc(Hz)、相位為ψ(rad)的正弦信號(hào)：

其中A是固定幅度。相位噪聲最好用其功率譜密度(PSD)Sφ(f)表示，這是通過(guò)對(duì)φ(t)的自相關(guān)進(jìn)行傅里葉變換得到的。相位噪聲PSD顯示了在偏離載頻fc的偏移頻率f處，1 Hz單位帶寬內(nèi)存在的噪聲功率。其單位是rad2/Hz；然而在許多應(yīng)用中，它也以相對(duì)于載波功率的dBc/Hz表示。這里我們解釋如何用不同單位表示相位噪聲。IEEE標(biāo)準(zhǔn)[10]將Sφ(f)定義為相位的單邊(雙邊帶或DSB)譜密度(單位rad2/Hz)，并引入雙邊(單邊帶或SSB)譜密度Lφ(f)作為以dBc/Hz表示相位噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方法：

因此，數(shù)據(jù)手冊(cè)中提供的相位噪聲PSD總是比實(shí)際單邊譜低3 dB；在基于譜密度計(jì)算噪聲功率和時(shí)域抖動(dòng)時(shí)需要特別注意。

換句話(huà)說(shuō)，測(cè)量帶寬δf內(nèi)的相位噪聲功率σφ2(單位rad2)可以通過(guò)以下兩個(gè)積分之一獲得：

(5)

例如，在某個(gè)偏移頻率附近具有-120 dBc/Hz恒定SSB相位噪聲的PLL，在該偏移頻率附近5 Hz測(cè)量帶寬導(dǎo)致的相位波動(dòng)為。

根據(jù)頻率和相位的基本關(guān)系，PLL輸出的頻率波動(dòng)ν(t)(單位Hz)可以通過(guò)其相位噪聲用以下表達(dá)式得到：

(6)

與相位噪聲PSD類(lèi)似，我們可以將頻率噪聲的功率譜密度定義為其自相關(guān)的傅里葉變換。頻率噪聲PSD記作Sν(f)，單位是Hz2/Hz，可以通過(guò)相位噪聲PSD用下面的等式得到：

(7)

根據(jù)應(yīng)用需求，可以關(guān)注相位或頻率噪聲；使用公式7可以實(shí)現(xiàn)將一種PSD轉(zhuǎn)換為另一種。

冪律模型

描述相位和頻率噪聲功率譜密度的一種啟發(fā)式方法是使用如下冪律函數(shù)[11]:

(8)

上述表達(dá)式中的每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)不同類(lèi)型或顏色的噪聲。例如，b1表示閃爍相位噪聲在譜密度中的貢獻(xiàn)，其特征斜率為-10 dB/十倍頻程；而b2對(duì)應(yīng)布朗相位噪聲，其噪聲譜斜率為-20 dB/十倍頻程。根據(jù)公式7，頻率噪聲譜可以用如下冪律函數(shù)描述：

(9)

表1. 各種類(lèi)型的相位和頻率噪聲及其對(duì)噪聲頻譜的貢獻(xiàn)

表1展示了構(gòu)成PLL整體噪聲譜密度的不同顏色相位和頻率噪聲。每種顏色決定了譜線在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上的斜率。實(shí)際上，表中的fi項(xiàng)對(duì)應(yīng)譜密度中斜率為10i dB/十倍頻程的噪聲顏色。圖12和圖13展示了一個(gè)PLL控制振蕩器的相位和頻率噪聲譜。根據(jù)PLL系統(tǒng)的組成元件，在特定頻率范圍內(nèi)可能以某一種噪聲顏色為主導(dǎo)，這可以從該頻率范圍內(nèi)譜曲線的斜率來(lái)判斷。

圖12. 相位噪聲譜密度和不同噪聲顏色的貢獻(xiàn)。

例如，在圖12所示案例中，對(duì)于1 kHz以上的頻率，相位噪聲幾乎是白噪聲，因?yàn)樵谠擃l率范圍內(nèi)頻譜曲線近似平坦。作為頻域分析工具，相位噪聲的冪律描述與阿倫方差或阿倫偏差緊密相關(guān)，后者是分析振蕩器噪聲特性的時(shí)域工具。通過(guò)測(cè)量頻譜或阿倫方差，我們可以輕松獲得另一個(gè)域的表示，從而在時(shí)域和頻域提供完整的相位和頻率噪聲描述[11]。

圖13. 頻率噪聲譜密度和不同噪聲顏色的貢獻(xiàn)。

Leeson效應(yīng)

諧振跟蹤中一個(gè)常見(jiàn)場(chǎng)景是由PLL驅(qū)動(dòng)的諧振器，其VCO的白相位噪聲占主導(dǎo)地位。因此，我們預(yù)期會(huì)出現(xiàn)f2量級(jí)的頻率噪聲。然而，除了這種紫色頻率噪聲外，我們還能觀察到一個(gè)可以用Leeson效應(yīng)[12]解釋的白頻率噪聲項(xiàng)。假設(shè)一個(gè)諧振頻率為f0、品質(zhì)因數(shù)為Q的諧振器由PLL的VCO驅(qū)動(dòng)。根據(jù)Leeson效應(yīng)，諧振器輸出端的相位噪聲Sφ可以通過(guò)諧振器輸入端的VCO相位噪聲Sψ由以下表達(dá)式獲得[11]:

(10)

其中fL=f0/2Q稱(chēng)為L(zhǎng)eeson頻率。如果VCO具有b0的白相位噪聲，那么根據(jù)公式10，諧振器的相位噪聲包含一個(gè)b0的白噪聲項(xiàng)和一個(gè)b0fL2/f2的紅噪聲項(xiàng)。將公式7應(yīng)用于諧振器相位噪聲，會(huì)產(chǎn)生包含兩項(xiàng)的頻率噪聲譜：一個(gè)b0f2的藍(lán)噪聲項(xiàng)和一個(gè)b0fL2的白噪聲項(xiàng)。圖14展示了當(dāng)諧振器由具有白相位噪聲的VCO驅(qū)動(dòng)時(shí)，其相位和頻率噪聲的頻譜。該圖清晰地顯示，對(duì)于高于諧振器Leeson頻率(本例中fL=20 Hz)的頻率，主導(dǎo)噪聲來(lái)自VCO；相比之下，對(duì)于低于fL的頻率，諧振器會(huì)對(duì)噪聲譜做出貢獻(xiàn)并改變?cè)肼曨伾?/p>

圖14.（a）由具有白相位噪聲（紅線）的受控振蕩器驅(qū)動(dòng)的Leeson頻率為20 Hz的諧振器（藍(lán)線）的相位噪聲。（b）諧振器的頻率噪聲。

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結(jié) 論

鎖相環(huán)作為相位和/或頻率跟蹤和同步的重要組成部分，廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、電子學(xué)、光子學(xué)和通信領(lǐng)域。PLL包括三個(gè)主要組件：相位檢測(cè)器、PID控制器和受控振蕩器。這些構(gòu)建塊中的每一個(gè)都有助于整個(gè)系統(tǒng)的整體響應(yīng)。

最常見(jiàn)的PLL應(yīng)用可以通過(guò)以下三種主要配置之一來(lái)實(shí)現(xiàn)：頻率跟蹤、諧振驅(qū)動(dòng)和振蕩器控制。基于FPGA的模擬信號(hào)，如蘇黎世儀器鎖相放大器提供的，提供閉環(huán)頻率和相位控制，具有相位展開(kāi)和自動(dòng)調(diào)諧功能等集成功能，以及用戶(hù)友好的工具，包括PID建議器和參數(shù)掃描器。

參考文獻(xiàn)

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